エピグループ

抽象代数学において、エピグループとは、すべての要素が部分群に属するべき乗を持つ半群のことです。正式には、半群Sのすべてのxに対して、正の整数nとSの部分群Gが存在し、x ^{n は}Gに属します。

エピ群は、準周期半群、群束縛半群、完全π正則半群、強π正則半群（sπr ^[1]）、^[2]、または単にπ正則半群^[3]（ただし、後者は曖昧）など、さまざまな名前で知られています。

より一般的には、任意の半群において、その要素が部分群に属するべきを持つ場合、その要素は群拘束されていると呼ばれます。

エピグループは環論にも応用されており、その性質の多くは環論の文脈で研究されている。^[4]

エピグループは1961年にダグラス・マンによって初めて研究され、擬似可逆と名付けられました。^[5]

プロパティ

エピ群は周期半群の一般化であり、^[6]したがってすべての有限半群もエピ群である。
エピグループのクラスには、すべての完全に正則な半群とすべての完全に0単純半群も含まれます。^[5]
すべてのエピグループは最終的には正則半群でもある。^[7] （π正則半群とも呼ばれる）
相殺的エピグループとは群である。[ 8 ^]
グリーン関係 DとJは任意のエピグループに対して一致する。^[9]
Sがエピグループである場合、 Sの任意の正規部分半群もエピグループである。^[1]
エピグループでは、ナンブーリパッド順序（PRジョーンズによって拡張された）と自然部分順序（ミッチの）が一致する。^[10]

例

与えられた大きさの正方行列全体の半群はエピグループである。^[5]
任意の半単純アルティン環の乗法半群はエピグループである。^[4]^{: 5}
任意の代数半群はエピグループです。

構造

周期半群との類推により、エピグループSはその冪等元によって与えられる類に分割され、各部分群の恒等元として働く。Sの各冪等元eに対して、集合: は単能性類と呼ばれる（周期半群の場合、通常の名前は捩れ類である）。^[5] $K_{e}=\{x\in S\mid \exists n>0:x^{n}\in G_{e}\}$

エピグループの部分半群はエピグループである必要はないが、そうである場合はサブエピグループと呼ばれる。エピグループSが単能サブエピグループ（つまり、それぞれが単一のべき等元を含む）への分割を持つ場合、この分割は一意であり、そのコンポーネントは上で定義した単能性類とまったく同じである。このようなエピグループは単能的に分割可能と呼ばれる。ただし、すべてのエピグループがこの特性を持つわけではない。簡単な反例として、5 つの要素を持つブラント半群B ₂がある。これは、そのゼロ元の単能性類がサブ半群ではないためである。B ₂は、実際には単能的に分割可能ではない典型的なエピグループである。エピグループが単能的に分割可能であるのは、単能エピグループの B 2 によるイデアル拡張であるサブ半群を含まない場合のみで_ある。[ 5 ^]

参照

半群の特別なクラス

参考文献

^ ab Lex E. Renner (2005). 線形代数モノイド. Springer. pp. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3。
^ AV Kelarev、「エピグループの次数付き環理論への応用」、セミグループフォーラム、第50巻、第1号（1995年）、327–350 doi：10.1007 / BF02573530
^ エリック・ジェスパース、ヤン・オクニンスキー (2007)。ノイザン半群代数。シュプリンガー。p. 16。ISBN 978-1-4020-5809-7。
^ ab Andrei V. Kelarev (2002).環の構築と応用. World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4。
^ abcde Lev N. Shevrin (2002)。「エピグループ」。Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev および Günter Pilz (編)。The Concise Handbook of Algebra。Springer。pp. 23–26。ISBN 978-0-7923-7072-7。
^ ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.4。ISBN 978-0-19-853577-5。
^ ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.50。ISBN 978-0-19-853577-5。
^ ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.12。ISBN 978-0-19-853577-5。
^ ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.28。ISBN 978-0-19-853577-5。
^ ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.48。ISBN 978-0-19-853577-5。

[Renner2005-1] Lex E. Renner (2005). 線形代数モノイド. Springer. pp. 27–28. ISBN 978-3-540-24241-3。

[2] AV Kelarev、「エピグループの次数付き環理論への応用」、セミグループフォーラム、第50巻、第1号（1995年）、327–350 doi：10.1007 / BF02573530

[JespersOkninski2007-3] エリック・ジェスパース、ヤン・オクニンスキー (2007)。ノイザン半群代数。シュプリンガー。p. 16。ISBN 978-1-4020-5809-7。

[Kelarev2002-4] Andrei V. Kelarev (2002).環の構築と応用. World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4。

[MikhalevPilz2002-5] Lev N. Shevrin (2002)。「エピグループ」。Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev および Günter Pilz (編)。The Concise Handbook of Algebra。Springer。pp. 23–26。ISBN 978-0-7923-7072-7。

[6] ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.4。ISBN 978-0-19-853577-5。

[7] ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.50。ISBN 978-0-19-853577-5。

[8] ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.12。ISBN 978-0-19-853577-5。

[9] ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.28。ISBN 978-0-19-853577-5。

[10] ピーター・M・ヒギンズ（1992年）。半群論の技法。オックスフォード大学出版局。p.48。ISBN 978-0-19-853577-5。