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折り紙や紙を折る技術は、数学的にかなり研究されてきました。関心分野としては、与えられた紙の模型の平らな折りやすさ（模型を損傷することなく平らにできるかどうか）や、紙の折り目を使って3次までの数式を解くことなどが挙げられます。 [1]
計算折り紙は、紙を折る問題を解くアルゴリズムの研究に関係する、コンピュータサイエンスの最近の分野です。計算折り紙の分野は、1990年代にロバート・ラングの TreeMaker アルゴリズムがベースの正確な折り畳みを支援するために始まって以来、大きく成長してきました。 [2]計算折り紙の結果は、折り紙のデザインまたは折り紙の折りやすさのいずれかに対処します。[3]折り紙のデザイン問題では、特定のターゲット構成を与えられた紙から折り出すことができるオブジェクトを設計することが目標です。折り紙の折りやすさの問題では、初期構成の折り目を使用して何かを折ることが目標です。折り紙のデザイン問題の結果は、折り紙の折りやすさの問題よりもアクセスしやすいものでした。[3]
歴史
1893年、インドの公務員T.スンダラ・ロウは、紙を折ることによって幾何学的構成の証明を示した『折り紙の幾何学的演習』を出版した。この作品は幼稚園の折り紙の使用にヒントを得たものである。ロウは角度のおおよその三等分を示し、立方根の構築は不可能であると示唆した。[4]
1922年、ハリー・フーディーニは「フーディーニの紙の魔法」を出版した。この本では、後に形式化された数学的アプローチから非公式に引き出された折り紙の技法が説明されている。[5]
1936年、マルガリータ・P・ベロッチは、後にフジタ・ハトリ公理の6番目に使用される「ベロッチ折り」の使用により、一般的な3次方程式を折り紙で解くことができることを示しました。[1]
1949年、RCイェイツの著書『幾何学的方法』では、藤田・羽鳥公理の第1、第2、第5公理に対応する3つの許容構成が説明された。[6] [7]
吉澤・ランドレット図解指導法は1961年に導入された。[8]
1980年に、角度を三等分できる構成が報告されました。ユークリッドの定理では三等分は不可能です。[9]
また、1980年に三浦公良と坂巻正守は、従来のように直角に折ることなく地図を広げられる、平行四辺形のパターンで折り畳む新しい地図折り技術を実証した。彼らのパターンは折り線が相互依存的であるため、地図は両端を引っ張ることで1回の動作で展開でき、同様に両端を押し合わせることで折りたたむことができる。過度に複雑な一連の動作は必要なく、折りたたまれた三浦折りは非常にコンパクトな形状に梱包できる。[10] 1985年に三浦は宇宙空間で大きな膜を梱包して展開する方法を報告し、[11]早くも2012年にこの技術は宇宙船の太陽電池パネルに適用された。[12] [13]
1986年にメッサーは、ユークリッド構成では不可能な立方体を2倍にする構成を報告した。 [14]
折り紙の7つの公理の最初の完全な記述は、フランスの折り紙家で数学者のジャック・ジャスティンによって1986年に書かれましたが、最初の6つが1989年にフミアキ・フジタによって再発見されるまで見過ごされていました。 [15]最初の国際折り紙科学技術会議（現在は科学、数学、教育における折り紙に関する国際会議として知られています）は、1989年にイタリアのフェラーラで開催されました。この会議で、Scimemiによって正七角形の構築が発表されました。[16]
1990年頃、ロバート・J・ラングらは初めて折り紙問題を解くコンピュータコードの作成を試みた。[17]
1996年、マーシャル・バーンとバリー・ヘイズは、平らな一枚の紙から平らな折り紙構造を作り出すために山折りと谷折りの折り目パターンを割り当てる問題がNP完全であることを示した。[18]
1999年、芳賀の定理により、正方形の辺を有理数に分割するための構成が提示された。[19] [20]
2001年後半から2002年初頭にかけて、ブリトニー・ギャリバンは、一定回数半分に折るのに必要な紙の最小の長さを証明し、長さ4,000フィート（1,200メートル）のトイレットペーパーを12回折りました。[21] [22]
2002年、サラ・マリー・ベルカストロとトム・ハルは、アフィン変換の言語を理論的な折り紙に導入し、単一頂点構築の場合にのみ2から3への拡張を行った。 [23]
2002年、アルペリンはアルハゼンの球面光学の問題を解決した。[24]同じ論文で、アルペリンは正七角形の構築を示した。[24] 2004年には、正七角形の折り畳みパターンがアルゴリズム的に証明された。[25] 2005年には、アルペリンは同じ構築に二等分と三等分を使用した。[26]
2003年、オックスフォード大学の研究者ジェレミー・ギボンズは、関数型プログラミングのスタイルを折り紙の観点から説明しました。彼はこのパラダイムを「折り紙プログラミング」と名付けました。彼は、折り畳みと展開を、折り紙の文脈で組み立てられる再帰データ型の自然な計算パターンとして特徴付けました。[27]
2005年、数学的折り紙と計算折り紙の原理と概念が、カウントダウンを解くために応用されました。カウントダウンは、英国のテレビで人気を博したゲームで、参加者はソースの数字のリストを使用して、目標の数字にできるだけ近い算術式を構築します。[28]
2009年、アルペリンとラングは、多様体折り目の概念を用いて、理論的折り紙を任意次数の有理方程式に拡張した。[29] [30]この研究は、ラングが2004年に未発表だった角の五分法のデモンストレーションを正式に拡張したものである。[30] [31]
純粋な折り紙
フラット折りたたみ
折り紙モデルの構築は、折り目パターンとして示されることがあります。このような折り目パターンに関する主な問題は、与えられた折り目パターンを平らなモデルに折りたたむことができるかどうか、そしてできる場合はどのように折りたたむかであり、これはNP完全問題です。[32]折り目が直交する場合の関連問題は、マップ折りたたみ問題と呼ばれます。平らに折りたためる折り紙の折り目パターンを生成するための数学的なルールが3つあります。[33]
- 前川の定理：どの頂点でも谷折りと山折りの数は必ず 2 ずつ異なります。
- このことから、すべての頂点には偶数の折り目があり、したがって折り目間の領域も 2 色で着色できることがわかります。
- 川崎の定理または川崎-ジャスティンの定理: どの頂点でも、すべての奇数角 (画像を参照) の合計は 180 度になり、偶数角も同様になります。
- シートが折り目を貫通することは決してありません。
紙は表面のすべての点でガウス曲率がゼロであり、曲率がゼロの線に沿ってのみ自然に折り曲げられます。平らにできない曲面は、紙に折り曲げていない折り目を付けることで作成できます。これは、濡れた紙や指の爪で簡単に行うことができます。
マーシャル・バーンとバリー・ヘイズによって、山折りと谷折りの折り目パターンを割り当てて平面モデルを作成することはNP完全であることが証明されている。[18]さらなる参考文献と技術的結果については、幾何学的折り畳みアルゴリズムの第2部で説明されている。[34]
フジタ・ジャスティン公理
幾何学の古典的な作図問題のいくつか、すなわち任意の角度を三等分したり、立方体を倍にしたりする問題は、コンパスと定規では解けないことが証明されていますが、いくつかの紙の折り方だけで解くことができます。[35]紙の折り紙のストリップは、4次までの方程式を解くように作ることができます。フジタ–ジャスティン公理またはフジタ–ハトリ公理は、この研究分野への重要な貢献です。これらは、一度に最大2つの点または線の配置で折り目のシーケンスを使用して何を構築できるかを説明しています。これらの公理を満たす方法を適用して4次までのすべての方程式を解く完全な方法については、幾何学的折り紙で詳しく説明されています。[36]
建設
幾何学の原理を応用した折り紙の研究の結果、芳賀の定理などの方法によって、正方形の辺を正確に3分の1、5分の1、7分の1、9分の1に折ることができるようになりました。他の定理や方法によって、正方形から正三角形、五角形、六角形、黄金比長方形や白銀比長方形などの特殊な長方形など、他の形状を作ることができるようになりました。正19角形までのほとんどの正多角形を折る方法が開発されています。[36]正n角形は、 nが異なるピアポント素数、2の累乗、3の累乗の積である場合に限り、 紙を折って作ることができます。
芳賀の定理
正方形の辺は、様々な方法で任意の有理分数に分割することができます。芳賀の定理によれば、特定の構成セットをそのような分割に使用できます。[19] [20]驚くべきことに、大きな奇数を生成するために必要な折り畳みはわずかです。たとえば、1 ⁄ 5 は3 回の折り畳みで生成できます。まず辺を半分にし、次に芳賀の定理を 2 回使用して最初に2 ⁄ 3 を生成し、次に1 ⁄ 5 を生成します。
添付の図は芳賀の第一定理を示しています。
長さAP をQCに変換する関数は自己逆関数です。x をAPとすると、他の長さもxの有理関数になります。たとえば、次のようになります。
芳賀の定理の一般化
芳賀の定理は次のように一般化されます。
したがって、BQ:CQ=k:1は正の実数kに対してAP:BP=k:2を意味する。[37]
立方体を倍にする
立方体を2倍にする古典的な問題は、折り紙を使って解くことができます。この構成はピーター・メッサーによるものです。[38] まず、正方形の紙を3つの等しいストリップに折ります。図に示すように、下端をコーナーポイントPが上端にあり、端の折り目がもう一方の折り目Qと合うように配置します。すると、長さPBはAPの長さの2倍の立方根になります。[14]
折り目マークのある辺はマーク付き定規とみなされますが、これはコンパスと定規による作図では許可されません。このようにマーク付き定規を使用することは、幾何学ではニューシス作図と呼ばれます。
角度を三等分する
角の三等分は、コンパスと目盛りのない定規では解けないが、折り紙を使えば解ける古典的な問題の1つである。[39]この作図は、1980年に報告され、阿部久によるものである。[38] [9]角CABは、底辺に平行なPP'と、その中間のQQ'の2つの折り目で三等分される。次に、点Pを折り曲げて直線AC上に置き、同時に点Aを直線QQ'上のA'に置かせる。角A'ABは、元の角CABの3分の1である。これは、PAQ、A'AQ、A'ARが3つの合同な三角形であるためである。2つの点を2本の直線上に並べることは、立方体を2倍にする解法のような別のニューシス作図である。[40] [9]
関連する問題
剛体折り紙の問題は、折り目を金属板などの 2 つの平らで硬い表面を接合するヒンジとして扱うものであり、実用上非常に重要です。たとえば、ミウラ折りは、宇宙衛星用の大型太陽電池パネルアレイを展開するために使用されてきた剛体折りです。
ナプキン折り問題とは、正方形または長方形の紙を、平面図形の周囲が元の正方形の周囲よりも大きくなるように折ることができるかどうかという問題です。
パターン内の曲線の折り目に点を配置するには、楕円積分の解が必要になる場合があります。曲線折り紙では、紙が平らではない展開可能な面を形成できます。 [41] ウェットフォールディング折り紙は、吉澤によって開発された技術で、曲線の折り目を使用して、より高次の複雑さを持つさらに幅広い形状を作成できます。
非圧縮性の材料を折ることができる最大回数が導出された。折るたびに、一定量の紙が潜在的な折り畳みによって失われる。紙を一方向に半分に折る場合の損失関数は と与えられた。ここで、Lは紙（または他の材料）の最小長さ、tは材料の厚さ、n は可能な折り畳み回数である。[42] 距離Lとt は、インチなどの同じ単位で表す必要がある。この結果は、カリフォルニア州の高校生、ブリトニー・ギャリバンが2001 年 12 月に導出した。2002 年 1 月、彼女は 4,000 フィート (1,200 m) の長さのトイレットペーパーを同じ方向に 12 回折り、紙は 8 回以上半分に折ることはできないという長年の迷信を覆した。[21] [22]
折り曲げて切る問題は、一枚の紙を平らに折り、1 回の完全な直線切断によってどのような形状が得られるかを問うものです。折り曲げて切る定理として知られるこの解法は、直線の辺を持つ任意の形状が得られるというものです。
実用的な問題は、最小限の労力や動きで地図を操作できるように地図を折る方法である。ミウラ折りはこの問題の解決策であり、他にもいくつかの折り方が提案されている。[43]
計算折り紙
計算折り紙は、紙を折る問題を解くアルゴリズムを研究するコンピュータサイエンスの一分野です。1990年代初頭、折り紙愛好家たちは、折り紙の虫に複雑さを加えることで仲間に勝つことを競う「バグウォーズ」と呼ばれる一連の折り紙コンテストに参加しました。コンテストの参加者のほとんどは、有名な日本のアーティストのグループである折り紙探偵団に属していました。[44] スタンフォード大学とカリフォルニア工科大学の研究者であるロバート・ラングもコンテストに参加しました。このコンテストは、折り紙のデザインと折りやすさを支援するための普遍的なモデルとツールの開発に対する集団的な関心を喚起するのに役立ちました。[44]
研究
紙折りの問題は、折り紙の設計問題または折り紙の折りやすさの問題に分類されます。計算折り紙の研究には、現在、主に普遍性の結果、効率的な決定アルゴリズム、計算上の扱いにくさの結果の 3 つのカテゴリがあります。[45]普遍性の結果は、特定の折り畳みモデルを与えられた場合に可能性の境界を定義します。たとえば、十分に大きな紙は、任意の樹形折り紙のベース、多角形のシルエット、および多面体の表面に折りたたむことができます。[46]普遍性の結果が得られない場合は、効率的な決定アルゴリズムを使用して、オブジェクトが多項式時間で折り畳めるかどうかをテストできます。[45]特定の紙折りの問題には効率的なアルゴリズムがありません。計算上の扱いにくさの結果は、特定の折り畳みの問題を解決するためのそのような多項式時間アルゴリズムが現在存在しないことを示しています。たとえば、与えられた折り目パターンが任意の平らな折り紙に折りたたまれるかどうかを評価することは NP 困難です。[47]
2017年、マサチューセッツ工科大学のエリック・デメイン氏と東京大学の舘知宏氏は、あらゆる3D構造を作り出す実用的な折り紙パターンを生成する新しい汎用アルゴリズムを発表しました。この新しいアルゴリズムは、1999年に彼らが発表した論文に基づいており、その論文では、最小限の縫い目を保証する折り紙形状を折りたたむための汎用アルゴリズムが初めて紹介されました。このアルゴリズムは、2008年に舘氏が初めてリリースした折り紙の折り目パターンを生成する無料ソフトウェアであるOrigamizerに組み込まれる予定です。[48]
ソフトウェアとツール
折り紙のデザインには、いくつかのソフトウェア設計ツールが使用されています。ユーザーは希望する形状や機能を指定し、ソフトウェアツールが折り畳みパターンや2Dまたは3Dモデルを構築します。マサチューセッツ工科大学、ジョージア工科大学、カリフォルニア大学アーバイン校、筑波大学、東京大学の研究者は、計算折り紙のツールを開発し、公開しています。TreeMaker、ReferenceFinder、OrigamiDraw、Origamizerは、折り紙のデザインに使用されているツールの一部です。[50]
DNA折り紙のCadnanoなど、紙以外の材料を使用して計算折り紙モデルを構築するソフトウェアソリューションは他にもあります。[51]
アプリケーション
計算折り紙は、ロボット工学、工学、バイオテクノロジーと医学、工業デザインへの応用に貢献しています。[52]折り紙の応用は、特に関数型プログラミングの設定において、プログラミング言語とプログラミングパラダイムの研究でも開発されています。[53]
ロバート・ラングは、ドイツのEASiエンジニアリングの研究者と自動車用エアバッグの折りたたみ設計を開発するプロジェクトに参加しました。[54] 2000年代半ば、ラングはローレンス・リバモア国立研究所の研究者と協力し、計算折り紙の原理とアルゴリズムを使用して、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡、特にその大型ミラーをロケットに収めるソリューションを開発しました。 [55]
2014年、マサチューセッツ工科大学、ハーバード大学、ワイス生物学インスパイアードエンジニアリング研究所の研究者らは、自動折り畳み機の製作方法を発表し、このプロジェクトの成功は計算折り紙の進歩によるものだと評価した。折り紙にインスパイアされたロボットは、4分で自ら折り畳み、人間の介入なしに歩き去ったと報告されており、ロボット工学における自律的な自己制御組み立ての可能性を実証した。[56]
その他の応用としては、DNA折り紙やRNA折り紙、製造器具の折り畳み、小型折り紙ロボットによる手術などがある。[57]
計算折り紙の応用は、様々な制作会社やコマーシャルで取り上げられてきました。ラングは、トヨタ・アバロンと協力してアニメーション折り紙シーケンスを制作したり、三菱・エンデバーと協力して折り紙のフィギュアだけで世界を作ったり、マクドナルドと協力してチーズバーガーの包み紙から多数の折り紙フィギュアを作ったりしたことで有名です。[58]
参照
ウィキメディア・コモンズには、折り紙数学に関連するメディアがあります。
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外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、折り紙数学に関連するメディアがあります。
- トム・ハル博士。「折り紙数学のページ」。
- カット・ザ・ノットの紙折り幾何学
- 紙を折って、結び目を切ることでセグメントを均等に分割する
- ブリトニー・ギャリバンが紙折り問題を解決
- 折り紙の公理の概要
- マリオ・シガダ著「折り紙で学ぶ統計学入門」
