フォックス派生

数学において、フォックス微分は自由群の理論における代数的構成であり、微積分の従来の微分と多くの類似点がある。フォックス微分とそれに関連する概念は、しばしばフォックス微分積分、または（フォックスの元の用語である）自由微分積分と呼ばれる。フォックス微分は、 1953年から 数学者ラルフ・フォックスによってAnnals of Mathematicsに発表された一連の5つの論文で開発された。

G が単位元eと生成元 g _{i を}持つ自由群である場合、 g _iに関するフォックス微分は、Gから と表記される整群環 への関数であり、次の公理に従います。 ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(g_{j})=\delta _{ij}}$クロネッカーデルタはどこにありますか${\displaystyle \delta_{ij}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(e)=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(uv)={\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)}$Gの任意の要素uとvについて。

最初の2つの公理は微積分の偏微分の同様の性質と同一であり、3番目は積の法則の修正版である。公理の結果として、逆関数の次の式が得られる。

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)}$Gの任意の元uに対して。

フォックス微分は、群コホモロジー、結び目理論、被覆空間理論など、数学のさまざまな分野に応用されています。

• アレクサンダー多項式
• 無料グループ
• リング（数学）
• 積分領域
• 微分（微分代数）

• ブラウン、ケネス S. ( 1972)。群のコホモロジー。数学大学院テキスト。第 87 巻。Springer Verlag。ISBN 0-387-90688-6MR  0672956 。
• フォックス、ラルフ(1953 年 5 月) 。 「自由微分積分学、 I :自由群環における微分」。Annals of Mathematics。57 (3): 547–560。doi :10.2307/1969736。JSTOR 1969736。MR  0053938  。
• フォックス、ラルフ (1954 年 3 月) 。 「自由微分積分II : 群の同型性問題」。Annals of Mathematics。59 ( 2): 196–210。doi :10.2307/1969686。JSTOR 1969686。MR  0062125  。
• フォックス、ラルフ (1956 年 11 月)。「自由微分積分学、III: 部分群」。Annals of Mathematics 。64 ( 2): 407–419。doi :10.2307/1969592。JSTOR 1969592。MR  0095876  。
• 陳 国蔡、ラルフ・フォックス、ロジャー・リンドン(1958年7 月)。「自由微分積分学IV: 下中央級数の商群」。Annals of Mathematics 。68 ( 1 ) : 81–95。doi :10.2307/1970044。JSTOR  1970044。MR 0102539  。
• フォックス、ラルフ (1960 年 5 月)。「自由微分積分学 V: アレクサンダー行列の再検討」。数学年報。71 ( 3): 408–422。doi :10.2307/1969936。JSTOR 1969936。MR  0111781  。