鞍点分岐

分岐理論の数学的な分野において、鞍点分岐、接線分岐、または折り畳み分岐は、力学系の2 つの固定点(または平衡点) が衝突して互いに消滅する局所的な分岐である。「鞍点分岐」という用語は、連続的な力学系に関して最もよく使用される。離散的な力学系では、同じ分岐は折り畳み分岐と呼ばれることが多い。別の名前は、2 つの固定点が突然生成されることに関連して、青空分岐である。 ^[1]

位相空間が 1 次元の場合、平衡点の 1 つは不安定 (鞍点) ですが、もう 1 つは安定 (節点) です。

サドルノード分岐は、ヒステリシスループや大惨事と関連している可能性があります。

鞍点分岐を持つ微分方程式の典型的な例は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

ここで は状態変数であり、 は分岐パラメータです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$

• 平衡点が 2 つある場合、安定した平衡点は にあり、不安定な平衡点は にあります。${\displaystyle r<0}$${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$
• （分岐点）にはちょうど 1 つの平衡点があります。この時点では、固定点はもはや双曲的ではありません。この場合、固定点は鞍点固定点と呼ばれます。${\displaystyle r=0}$
• 平衡点がない場合^[2]${\displaystyle r>0}$

実際、これはサドルノード分岐の通常の形です。のときに固定点を持つスカラー微分方程式は、 および を満たす限り、と局所的に位相的に同値です。最初の条件は非退化条件であり、2番目の条件は横断条件です。^[3]${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$

2 次元のサドルノード分岐の例は、2 次元の動的システムで発生します。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

パラメータを変化させて位相図をプロットしたアニメーションからわかるように、 ${\displaystyle \alpha}$

• が負の場合、平衡点は存在しません。${\displaystyle \alpha}$
• のとき、鞍点が存在します。${\displaystyle \alpha =0}$
• が正の場合、2 つの平衡点、つまり 1 つの鞍点と 1 つのノード (アトラクターまたはリペラー) が存在します。${\displaystyle \alpha}$

他の例としては、生物学的スイッチのモデリングがあります。^[4]最近、特定の条件下では、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式がフォールド分岐と同じ形になることが示されました。^[5]サドルノード分岐の非自律バージョン（つまり、パラメータが時間依存）も研究されています。^[6]

• ピッチフォーク分岐
• トランスクリティカル分岐
• ホップ分岐
• 鞍点

• クズネツォフ、ユーリ A. (1998)。応用分岐理論の要素（第 2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-98382-1。
• ストロガッツ、スティーブン H. (1994)。非線形ダイナミクスとカオス。アディソン ウェスリー。ISBN 0-201-54344-3。
• Weisstein、Eric W.「折り畳み分岐」。MathWorld。
• Chong, KH; Samarasinghe, S.; Kulasiri, D.; Zheng, J. (2015).生物学的スイッチの数学的モデリングにおける計算手法。Weber, T.、McPhee, MJ、Anderssen, RS (編) MODSIM2015、第 21 回モデリングおよびシミュレーションに関する国際会議 (MODSIM 2015)。オーストラリアおよびニュージーランド モデリングおよびシミュレーション協会、2015 年 12 月、pp. 578-584。ISBN 978-0-9872143-5-5。
• Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018).折り畳み分岐としてのアインシュタイン場の方程式。Journal of Geometry and Physics Volume 123、2018年1月、434-437ページ。