ベルトラン競争

ベルトラン競争は、経済学で用いられる競争モデルであり、ジョゼフ・ルイ・フランソワ・ベルトラン（1822年 - 1900年）にちなんで名付けられた。価格を設定する企業（売り手）と、設定された価格で数量を選択する顧客（買い手）の間のやりとりを説明する。このモデルは、1883年に、アントワーヌ・オーギュスタン・クールノーの著書『富の理論の数学的原理の研究』（1838年）のレビューの中でベルトランによって定式化された。この本の中で、クールノーはクールノー・モデルを提唱していた。 ^[1]クールノーのモデルは、各企業が数量レベルを選択し、その数量を販売するために価格レベルを調整することで、利益を最大化すべきであると主張した。モデルの均衡の結果、企業は限界費用を上回る価格設定をし、したがって競争価格となる。ベルトランは、そのレビューの中で、各企業は競合他社の価格が限界費用を上回っている場合には、競合他社の価格を下回る価格水準を選択することで利益を最大化すべきだと主張した。^[2]このモデルはベルトランによって形式化されたものではないが、 1889年にフランシス・イシドロ・エッジワースによって数学モデルとして発展した。^[3]

シンプルなフレームワークを考慮すると、ベルトラン モデルの基本的な仮定は次のようになります。

• 市場には同質の財、つまり同一の製品を生産する企業（ ）が競争している。 ^[4]${\displaystyle n}$${\displaystyle i=1,2,...}$
• 市場需要関数（Qは企業の生産量の合計）は連続的かつ下向きに傾斜している^[5] 。${\displaystyle Q=D(p)}$${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle D'(p)<0}$
• 限界費用は対称的である^[6] 。${\displaystyle c_{1}=c_{2}=...=c}$
• 企業には生産能力の制約がない。つまり、各企業は市場の需要を満たすのに十分な商品を生産する能力を持っている。^[7]
• 企業は、他の企業の決定を知らなくても同時に価格を設定し、消費者には検索コストがかからず、消費者は両方の企業の価格を観察できる。

さらに、市場における企業の競争の需要の法則を考慮すると、次のことが直感的に推測できます。

• 最低価格を設定する企業が市場全体を獲得する。なぜなら、製品は均質であり、顧客にとって切り替えコストがかからないからである。[ ^7]
• もし企業が設定する価格が同じであれば、企業は市場に平等にサービスを提供することになる。^[8]${\displaystyle p_{1}=p_{2}=...=p}$${\displaystyle {\frac {p}{n}}}$

ベルトランモデルでは、競争価格は戦略的な価格決定のナッシュ均衡として機能します。両企業が限界費用 (単位コスト) で競争価格を設定した場合、どちらの企業も利益を得ることはできません。一方の企業が限界費用に価格を合わせ、もう一方の企業が単位コストを超えて価格を上げると、消費者が競争価格のオプションを選択するため、後者は何も得ることができません。他の価格設定シナリオでは均衡に達しません。単位コストを超えて同じ価格を設定すると、各企業が他の企業よりも安く販売し、市場全体を獲得して利益を大幅に増やそうとする不安定なインセンティブにつながります。この均衡の欠如は、代替品がある市場で企業が競争し、消費者が同じ好みのためにより安い製品を好むことから生じます。さらに、企業が異なる価格を設定すると均衡は達成されません。価格が高い企業は何も得ることができないため、競合他社よりも安く販売するために価格を下げることになります。したがって、ベルトランモデルで唯一の均衡は、両企業が単位コストに等しい価格 (競争価格) を設定するときに現れます。^[9]

これは、ベルトラン均衡が弱いナッシュ均衡であることを強調するためです。企業は競争価格から逸脱しても何も失うことはありません。これは、他の企業が競争価格を設定し、その価格ですべての需要を満たす意思がある場合、各企業がゼロ以上の利益を得ることができないという単純な均衡です。

同質財を生産する複占市場における価格競争のベルトランモデルには、次の特徴があります。

• プレーヤー:限界費用が一定の2 つの企業。${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle c,\ (c_{1}=c_{2})}$
• 戦略変数: 企業は価格水準（すなわち、）を選択します。${\displaystyle p_{i}=p_{1}}$
• タイミング: 同時移動ゲーム。
• 企業の利益：利益、そして
• 情報: 完了。^[5]

  

企業の個々の需要関数は下向きに傾斜しており、各企業が設定した価格の関数である：^[9]${\displaystyle i}$

${\displaystyle D(p_{i},p_{j})={\begin{cases}D(p_{i}),&{\text{if }}p_{i}'',p_{j}\\{\frac {D(p_{i})}{2}},&{\text{if }}p_{i}=p_{j}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

重要なのは、この場合、市場の需要は連続的であるが、上記の関数ステートメントに見られるように、企業の需要は不連続であるということです。これは、企業の利益関数も不連続であることを意味します。^[5]したがって、企業は、以下のように、与えられたものとして、利益の最大化を目指します 。^[10]${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \pi _{i}=(p_{i}-c)D(p_{i})}$

企業 にとっての最善の対応 を導くために、を総産業利益を最大化する独占価格とします。ここで です。これは、企業がライバル企業を「下回る」インセンティブを浮き彫りにします。ライバルが価格を に設定した場合、 企業は最小の通貨単位 だけ価格を下げることで、市場需要 全体を獲得することができます。^[10]したがって、企業の最善の対応は次のようになります。^[5]${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle p_{m}=argmax_{p}(pc)D(p)}$${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle D(p)}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle R_{i}(p_{j})={\begin{cases}p_{m},&{\text{if }}p_{j}\geq p_{m}\\p_{j}-\epsilon ,&{\text{if }}c<p_{j}}p_{m}\\c,&{\text{if }}p_{j}\leq c\end{cases}}}$

図 1 は、企業 2 が設定した価格を前提とした企業 1 の最善の応答関数 を示しています。図中の は限界費用 を表していることに注意してください。ベルトラン モデルのナッシュ均衡( ) は相互の最善の応答であり、どちらの企業もそこから逸脱するインセンティブを持たない均衡です。図 2 に示すように、ベルトラン ナッシュ均衡は、両方の企業の最善の応答関数が の点で交差するときに発生します。これは、両方の企業が経済的利益をゼロにすることを意味します。^[5]${\displaystyle P_{1}''(P_{2})}$${\displaystyle MC}$${\displaystyle c}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P_{1}^{N}=P_{2}^{N}=MC}$

したがって、競合他社が限界費用を下回る価格設定をした場合、企業は追加需要を引き付けて損失を被ることになり、価格水準を限界費用に設定する方が得策となる。ここで重要なのは、ベルトランの価格競争モデルは完全競争の結果につながるということである。^[7]これはベルトランのパラドックスとして知られている。市場には2つの競争相手がいれば競争価格を生み出すのに十分であるが、この結果は現実世界の多くの産業では一貫していない。^[5]

一方の企業の平均コストが低い場合（生産技術が優れている場合）、その企業は、もう一方の企業の平均コストよりも低い最高価格（つまり、もう一方の企業が管理できる最低価格よりわずかに低い価格）を請求し、すべての取引を獲得します。これは「制限価格設定」として知られています。

ベルトランモデルは、いくつかの非常に極端な仮定に基づいています。たとえば、消費者は最も安い価格の企業から購入したいと仮定しています。多くの市場では、この仮定が成り立たない理由はさまざまです。価格以外の競争と製品の差別化、輸送費と探索費などです。たとえば、野菜の価格を 1% 節約するために、2 倍の距離を移動する人がいるでしょうか。ベルトランモデルは、製品や場所の差別化を含めるように拡張できますが、その場合、価格が限界費用まで引き下げられるという主な結果は成立しなくなります。探索費がある場合、競争価格とは別に他の均衡が存在する可能性があります。独占価格や価格分散でさえ、古典的な「バーゲンとぼったくり」モデルのように均衡になる可能性があります。^[11]

このモデルは、キャパシティ制約も無視している。もし単一の企業が市場全体に供給するキャパシティを持っていなければ、「価格は限界費用に等しい」という結果は成り立たないかもしれない。このケースの分析はフランシス・イシドロ・エッジワースによって始められ、ベルトラン・エッジワース・モデルとして知られるようになった。キャパシティ制約があると、純粋戦略ナッシュ均衡は存在しないかもしれない、いわゆるエッジワース・パラドックス。しかし、一般的には、ヒュー・ディクソンによって示されたように、混合戦略ナッシュ均衡が存在するだろう。^[12]

さらに、一部の経済学者は、企業が固定費用 を持ち、前述のように限界費用が一定である状況では、このモデルは非現実的な結果をもたらすと批判している。したがって、ユニットを生産するための総費用 は、 である。古典的なモデルで説明されているように、価格は最終的に限界費用まで引き下げられ、企業は経済的利益をゼロにし、限界以下のユニットから利益を得ることができない。したがって、企業は固定費用を回収することができない。しかし、企業の限界費用曲線が右上がりであれば、限界以下の販売で限界利益を得ることができ、固定費用の回収に貢献する。^[7]${\displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle TC}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle TC=F+cQ}$

ベルトランモデルでは、協力する大きなインセンティブがある。つまり、独占価格 を請求するために共謀し、市場を平等に共有する （ここで は市場における企業数）。^[13]しかし、共謀せずに限界費用を請求することは非協力的な結果であり、このモデルの唯一のナッシュ均衡である。 ^{[7]したがって、同時移動ゲームから無限の時間枠を持つ繰り返しゲームに移行すると、}フォーク定理により共謀が可能になる。^[14]${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle {\frac {p_{m}}{n}}}$${\displaystyle n}$

ベルトランとクールノーのモデルは競争プロセスのさまざまな側面に焦点を当てており、その結果、企業が示す市場需要の特性を変えるさまざまなメカニズムを特定しています。クールノーのモデルでは、市場は企業が生産した量に等しい販売を、市場によって決定される価格レベルで割り当てると想定しています。一方、ベルトランのモデルでは、最低価格の企業が市場でのすべての販売を獲得すると想定しています。^[2]

モデルを比較すると、寡占理論によれば、ベルトラン産業はクールノー産業よりも競争力が高いと示唆される。これは、クールノーモデルにおける数量が戦略的代替物とみなされるためである。つまり、ある企業の生産量の増加は、より少ない生産量のライバル企業によって吸収される。一方、ベルトランモデルにおける価格は戦略的補完物である。企業は価格水準の上昇に積極的に対抗し、ライバル企業よりも価格を下げる。^[15]

さらに、両方のモデルは、現実世界のシナリオと比較した仮定に基づいて批判されています。ただし、古典的なモデルの結果は、以下に示すような考え方で調和させることができます。市場でのモデルの適切な適用を検討すると、次のようになります。

• クールノー モデルは、企業が事前に生産決定を下し、その数量レベルで販売することを約束しなければならない市場に適用できます。そのため、競合他社の生産量の変動に反応する可能性は低くなります。
• ベルトランモデルは、生産能力が十分に柔軟であり、企業が自ら設定した価格水準で発生するあらゆる市場需要を満たすことができる市場に適用可能である。^[16]

どちらのモデルも、必ずしも他方より「優れている」わけではありません。各モデルの予測精度は、各モデルが業界の状況にどれだけ近いかによって、業界ごとに異なります。生産能力と出力を簡単に変更できる場合、Bertrand は一般に複占競争のより優れたモデルです。出力と生産能力を調整するのが難しい場合、Cournot は一般に優れたモデルです。

ある条件下では、クールノーモデルは 2 段階モデル​​として書き直すことができ、その場合、第 1 段階の企業は生産能力を選択し、第 2 段階ではベルトラン方式で競争することになります。

ベルトラン競争では、各企業が同一の財を生産し、同一のコストがかかるなど、いくつかの仮定を立てています。しかし、現実の世界では、レンタル費用や、規模の大きい企業の方が規模の経済を享受できるなど、異なる企業のコストがわずかに異なる要因が多数あるため、これは当てはまりません。そのため、さまざまな研究者が非対称限界費用でのベルトラン競争の結果を調査しようとしました。「非対称費用でのベルトラン競争：実験的証拠」の実験によると、著者は、費用の非対称性のレベルと企業が設定する価格との間に負の相関関係があることを発見しました（J Boone、et al。、2012）。^[17]これは、企業が価格を設定するための異なるインセンティブを持っていることを意味します。

Thomas Demuynckら(2019)は、非対称費用のベルトラン競争における純粋戦略の解決策を見つけるための研究を行った。 ^{[18] Haは、}正規形ゲームの近視眼的安定集合(MSS)を定義した。2つの企業があると仮定し、限界費用にCを使用し、 C1は企業1の限界費用を表し、C2は企業2の限界費用を表す。結果から、2つのケースが考えられる。

• C1 = C2 = C

これは、両社の限界費用が同じである基本的なベルトラン競争のケースです。図から、MSS は、両社が価格を設定する唯一の点があることを示しています。これは、ナッシュ均衡の純粋な戦略です。

• C1 < C2

これは、企業 2 の限界費用が企業 1 の限界費用よりも高いことを意味します。この状況では、企業 2 は限界費用と同じ価格しか設定できません。一方、企業 1 は、自社の限界費用と企業 2 の限界費用の間で価格を選択できます。したがって、企業 1 が価格を設定するポイントはたくさんあります。

ご覧のとおり、標準的なベルトラン競争モデルとは異なり、非対称費用の下では、企業は限界費用と同じ価格を設定することはできません。この状況から、限界費用が低い企業は、自社の限界費用と他の企業の限界費用の範囲内で好きなものを選択できます。どの価格を設定すべきかという絶対的な答えはなく、現在の市場状況などのさまざまな要因に基づいています。

同時に、Subhasish Dugarら(2009)は、コストの非対称性の大きさとベルトラン競争の関係について研究を行った。^[19]彼らは、コストの非対称性が小さい場合は競争への影響が比較的小さいため、大きな違いはないことを突き止めた。しかし、コストの非対称性が大きい場合は、低コストの企業が価格を下げて大きな市場シェアを獲得するだろう。

また、標準的なベルトラン競争では、すべての消費者がより安い価格の企業の製品を選択し、企業は限界費用に基づいてのみ価格を設定できると仮定しています。ただし、この理論ではネットワーク効果について言及されていないため、完全に正しいわけではありません。消費者は、それを使用している他の消費者の数に基づいて製品を購入します。これは非常に合理的で、スポーツシューズを購入する場合、ほとんどの人はナイキとアディダスを好むでしょう。これらは比較的大きなブランドであり、どちらも強力な顧客ネットワークを持っているため、多くの人がその製品を使用しているという一定の信頼保証があります。

しかし、ChristianとIrina（2008）は、市場にネットワーク効果がある場合には異なる結果を発見しました。^[20]企業は、より多くの顧客を引き付け、会社のネットワークを拡大するために、積極的に価格を設定することを好むでしょう。Masaki（2018）はまた、企業が積極的に価格を設定することでより大きな顧客基盤を獲得することができ、ネットワーク効果を通じてより多くの顧客を引き付けると述べています。^[21]これにより、正のフィードバックループが作成されます。ご覧のとおり、企業は盲目的に価格を設定しているだけでなく、より大きな顧客ネットワークを獲得しようとしています。

• 寡占理論を簡単に説明する、ヒュー・ディクソン著『サーフィン経済学』第 6 章。
• 純粋独占理論、フランシス・エッジワース
• ベルトランによるワルラスとクールノーのレビュー