推測による変化

寡占理論では、推測による変動とは、ある企業が自社の生産量や価格を変えた場合に競合他社がどのように反応するかについて、その企業がある程度の見当をつけているという信念です。企業は、自社の生産量の変化に伴う他の企業の生産量の変動について推測を立てます。たとえば、寡占の古典的なクールノー モデルでは、各企業が自社の生産量を選択する際に、他の企業の生産量を既知として扱うと想定されています。これは、標準的なナッシュ均衡の概念の基礎となるため、「ナッシュ予想」と呼ばれることもあります。ただし、別の想定を行うこともできます。同じ商品を生産する 2 つの企業があり、業界の価格は 2 つの企業の合計生産量によって決まるとします (クールノーの 1838 年のオリジナルの説明にある水道複占を考えてみてください)。ここで、各企業が -1 の「ベルトラン予想」と呼ばれるものを持っているとします。これは、企業 A が生産量を増やすと、企業 B が生産量を減らして企業 A の増加分を正確に相殺し、総生産量、ひいては価格が変わらないと推測することを意味します。ベルトラン予想では、各企業は、他の企業が総生産量が一定になるように生産量を調整すると信じているため、市場価格は自社の生産量に影響されないと信じているかのように企業が行動します。もう一方の極端な例は、+1 の共同利潤最大化予想です。この場合、各企業は、自社が行う生産量の変更を相手企業が正確に模倣すると信じており、その結果 (限界費用が一定であるため)、企業は単一の独占サプライヤーのように行動します。

推測の概念は、1924年にアーサー・ボウリー^[1]とラグナー・フリッシュ(1933) ^[2]が推測的変動均衡を発表して以来、産業組織論において長い歴史を維持してきた(歴史の有用な要約はジョコリ^[3]によって提供されている)。推測的変動(以下CV)モデルは、競争から協力まで、さまざまな行動結果を捉えることができるだけでなく、単純な経済的解釈ができる1つのパラメーターを持っている。CVモデルは、標準的なナッシュ均衡よりも企業行動のより一般的な説明を提供するという意味で、企業行動の実証分析においても非常に有用であることがわかっている。

スティーブン・マーティンは次のように主張している。

異なる市場の寡占企業がさまざまな方法で相互作用すると考える理由は十分にあり、そのような相互作用を広範囲に捉えることができるモデルを持つことは有用である。いずれにせよ、推測的寡占モデルは、産業経済学の実証研究の仕様を導く上で、ゲーム理論的寡占モデルよりも有用であった。^[4]

企業の CV は、その反応関数の傾きを決定します。たとえば、標準的なクールノー モデルでは、予想はゼロ反応ですが、クールノー反応関数の実際の傾きは負です。反応関数の実際の傾きが予想と等しくなるように要求するとどうなるでしょうか。一部の経済学者は、一貫性条件によって予想を限定できると主張しました。最も有名なのは、1981 年の Timothy Bresnahanです^。[5] Bresnahan の一貫性は、反応関数の実際の傾きが均衡出力で予想と等しくなることを要求するローカル条件でした。線形の産業需要と 2 次コストでは、これにより、一貫性のある推測は限界費用関数の傾きに依存するという結果になりました。たとえば、形式 cost = ax ² (以下を参照) の 2 次コストでは、一貫性のある推測は一意であり、 によって決定されます。a=0の場合、唯一の矛盾のない予想はベルトラン予想であり、a が大きくなるにつれて矛盾のない予想は増加します (負の値が小さくなります) が、有限のaに対しては常にゼロ未満になります。 ${\displaystyle \phi^{*}=-1}$

整合的推測の概念は、多くの著名な経済学者から批判された。^{[6] [7]本質的に、整合的推測の概念は、}ゲーム理論で採用されている合理性の標準的なモデルと互換性がないと考えられていた。

しかし、1990年代に経済学で進化ゲーム理論が流行しました。このアプローチは、一貫した推測の進化の基礎を提供できることが認識されました。ヒュー・ディクソンとエルネスト・ソマ^[8]は、企業の推測をミーム（遺伝子の文化的同等物）として扱うことができることを示しました。彼らは、標準的なクールノーモデルでは、一貫した推測は進化的に安定した戦略、つまりESSであることを示しました。^[9]著者が主張したように、「信念が行動を決定します。行動が報酬を決定します。進化の観点から、より高い報酬につながるタイプの行動がより一般的になります。」長期的には、一貫した推測を持つ企業はより大きな利益を獲得し、優位に立つ傾向があります。

2つの企業XとYがあり、それぞれxとyの生産量があるとする。市場価格Pは線形需要曲線で与えられる。

${\displaystyle P=1-xy}$

すると、X社の総収入は

${\displaystyle xP=x(1-xy)=xx^{2​​}-xy}$

簡単にするために、クールノーの 1838 年のモデルに従い、生産コストは存在せず、利益は収益に等しいと仮定しましょう。 ${\displaystyle \Pi =xx^{2​​}-xy}$

推測的なバリエーションを加えると、企業の第一条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\Pi}{dx}}=(1-2x-y)-x{\frac {dy}{dx}}=0}$

ここで、他の企業がどのように対応するかについての企業の推測、つまり推測変動または CV 項です。この 1 次最適化条件は、企業の反応関数を定義します。これは、特定の CV に対して、他の企業の出力を前提とした出力の最適な選択を示します。 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\phi }$

${\displaystyle x=R(y,\phi )={\frac {1-y}{2+\phi }}}$

クールノー・ナッシュ予想は であり、その場合、標準のクールノー反応関数となることに注意してください。CV 項は反応関数をシフトする役割を果たし、最も重要なのは、その後のその傾きをシフトすることです。両企業が同じ CV を持つ対称均衡を解くには、反応関数がx=y線を通過することに注意するだけです。 ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle y={\frac {1-x}{2+\phi }}}$したがって対称均衡では均衡価格は となる。 ${\displaystyle x^{*}=y^{*}={\frac {1}{3+\phi }}}$${\displaystyle P^{*}={\frac {1+\phi }{3+\phi }}}$

クールノー・ナッシュ予想 が成り立つ場合、 の標準クールノー均衡が得られます。しかし、ベルトラン予想 が成り立つ場合、価格が限界費用（ここではゼロ）に等しい完全競争の結果が得られます。共同利潤最大化予想を仮定すると、両方の企業が独占生産量の半分を生産し、価格は独占価格 になります。 ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle P^{*}={\frac {1}{3}}}$${\displaystyle \phi =-1}$${\displaystyle \phi =+1}$${\displaystyle P^{*}={\frac {1}{2}}}$

したがって、CV 項は、標準的なクールノー モデルを含む、競争から独占の結果まで、可能性のある市場結果の全範囲を表すことができる単純な行動パラメーターです。 ${\displaystyle \phi}$

前の例を見てみましょう。ここで、生産コストを次の形式にします: cost = ax ²。この場合、利益関数 (収益マイナスコスト) は次のようになります (企業 X の場合、企業 Y の場合も同様)。

${\displaystyle \Pi =(xx^{2​​}-xy)-{\frac {ax^{2}}{2}}}$

第一条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\Pi}{dx}}=(1-2x-y)-x{\frac {dy}{dx}}-ax=0}$

これは企業Xの反応関数を次のように定義します。

${\displaystyle x=R(y,\phi )={\frac {1-y}{2+a+\phi }}}$

これは傾斜を持っています（出力空間で）

${\displaystyle R_{y}=-{\frac {1}{2+a+\phi }}}$

企業Yについても同様で、企業Yも（我々は同じ推測をしていると仮定する）同じである。一貫性が何を意味するかを見るために、一定の限界費用a=0の単純なクールノー予想を考えてみよう。この場合、反応関数の傾きは−1/2であり、これは推測とは「矛盾」している。ブレスネハンの一貫性条件は、推測された傾きが実際の傾きに等しいということであり、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle R_{y}}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2+a+\phi }}}$

これは、唯一無二の一貫した推測を与える二次方程式である。

${\displaystyle \phi^{*}=-(1+{\frac{a}{2}})+{\sqrt{\frac{4a+a^{2}}{4}}}}$

これは、2 次方程式の正の根です。負の解は、-1 よりも負の推測となり、2 次条件に違反します。この例からわかるように、a = 0 (限界費用が水平) の場合、ベルトラン予想は一致しています。限界費用の急勾配が増す ( aが上昇する) につれて、一致した推測は増加します。有限のaに対して、一致した推測は常に 0 未満になることに注意してください。 ${\displaystyle \phi^{*}=-1}$

• 推測的変動と競争政策公正取引局報告書、2011 年。
• 数理経済学とゲーム理論シリーズ、第 2 巻: 推測的変分理論、Charles Figuières、Alain Jean-Marie、Nicolas Quérou、Mabel Tidball 著。