戦略的補完関係

経済学やゲーム理論では、2人以上のプレイヤーの意思決定は、互いに強化し合う場合は戦略的補完関係、互いに相殺し合う場合は戦略的代替関係と呼ばれます。これらの用語は、もともとBulow、Geanakoplos、Klemperer（1985）によって造語されました。^{[ 1 ]}

「強化」または「相殺」の意味を理解するために、Bulow et al.の論文のように、すべてのプレーヤーが同様の選択を迫られる状況を考えてみましょう。この論文では、プレーヤーはすべて不完全競争企業であり、それぞれがどれだけ生産するかを決定しなければなりません。この場合、ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収入を増加させる場合、生産決定は戦略的補完関係となります。なぜなら、他の企業も生産量を増やすインセンティブを持つようになるからです。これは、総体的な規模の経済が十分に強く、かつ/または企業の製品の需要曲線の自己価格弾力性が十分に低い場合に当てはまります。一方、ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収入を減少させ、生産量を減らすインセンティブを与える場合、生産決定は戦略的代替関係となります。

ラッセル・クーパーとアンドリュー・ジョンによれば、戦略的補完性は、協調ゲームにおける複数の均衡の例の根底にある基本的な特性である。^{[ 2 ]}

数学的に、それぞれ利得関数を持つ2人のプレイヤーによる対称ゲームを考えてみましょう。${\displaystyle \,\Pi (x_{i},x_{j})}$、 どこ${\displaystyle \,x_{i}}$プレイヤー自身の決定を表し、${\displaystyle \,x_{j}}$は相手プレイヤーの決定を表します。${\displaystyle \,\Pi }$プレイヤー自身の戦略において増加し凹型である${\displaystyle \,x_{i}}$これらの仮定の下では、各プレイヤー自身の意思決定の増加が、2つの意思決定の戦略的補完関係にある。${\displaystyle \,x_{i}}$限界収益を高める${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{j}}{\partial x_{j}}}}$相手プレイヤーの。言い換えれば、2 階微分が${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$はプラスです${\displaystyle i\neq j}$言い換えれば、これは関数が${\displaystyle \,\Pi }$は超モジュラーである。

一方、これらの決定は、以下の場合には戦略的代替物である。${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$負の値、つまり、${\displaystyle \,\Pi }$劣モジュラである。

Bulowらは、彼らの原著論文で、2つの企業間の競争の単純なモデルを用いて、彼らの考えを説明している。生産率を持つ企業xの収益は${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$は

${\displaystyle U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F}$

生産率の企業yの収益は$\displaystyle y_2}}$市場2では、

${\displaystyle U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2}/2-F}$

内部平衡状態においては、${\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})}$私たちは持っていなければならない

${\displaystyle {\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.}$

ベクトル解析、幾何代数、または微分幾何学を用いて、Bulow らは、Cournot 平衡が変化に対して敏感であることを示した。${\displaystyle p_{1}}$利得関数の2階偏導関数を用いて計算できる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial \begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}}$

いつ${\displaystyle 1/4\leq p_{1}\leq 2/3}$、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}$

つまり、市場1で価格が上昇すると、企業xは市場1での販売量を増やし、市場2での販売量を減らす一方、企業yは市場2での販売量を増やす。このモデルのクールノー均衡を明示的に計算すると、次のようになる。

${\displaystyle x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.}$

戦略的補完関係を持つゲームは、スーパーモジュラーゲームとも呼ばれます。これは最初に Topkis ^{[ 3 ]によって形式化され、Vives [ 4 ]}によって研究されました。このようなゲームでは、純粋戦略ナッシュ均衡を見つけるための効率的なアルゴリズムが存在します。^{[ 5 ] [ 6 ]}

スーパーモジュラーゲームは、戦略的相補性の原理によりプレイヤーの最適反応関数が単調（非減少）になることが保証されるため、特に重要で性質の良いゲームクラスである。

• スーパーモジュラー
• 協調性ゲーム
• 調整の失敗（経済学）
• 平衡の一意性または多重性
• 乗数（経済学）
• 集約型ゲーム