ゲーム理論の概念
経済学 と ゲーム理論 では 、2人以上のプレイヤーの決定が 相互に強化し合う場合は 戦略的補完物と呼ばれ、相互に相殺し合う場合は 戦略的代替物 と呼ばれます。これらの用語はもともとBulow、Geanakoplos、Klemperer（1985）によって造られました。 [1]
「強化」や「相殺」の意味を理解するには、Bulow らの論文のように、プレーヤー全員が同様の選択をしなければならない状況を考えてみましょう。この状況では、プレーヤーはすべて不完全競争企業であり、それぞれが生産量を決定する必要があります。ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収入を増加させる場合、生産決定は戦略的補完となります。なぜなら、それにより、他の企業にも生産量を増やすインセンティブが与えられるからです。これは、総合的な規模の 経済性 が十分に強い場合や、 企業製品の 需要曲線の価格 弾力性 が十分に低い場合に当てはまる傾向があります。一方、ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収入を減少させ、生産量を減らすインセンティブを与える場合、生産決定は戦略的代替となります。
ラッセル・クーパー とアンドリュー・ジョンによれば、戦略的補完性は 調整ゲーム における 多重均衡 の例の根底にある基本的な性質である 。 [2]
数学的には、 2 人のプレイヤーがそれぞれ利得関数 を持つ 対称ゲーム を考えます。 ここで、 は プレイヤー自身の決定を表し、 は 他のプレイヤーの決定を表します。は 増加しており、 プレイヤー自身の戦略 に対して 凹である と仮定します。これらの仮定の下では、各プレイヤー自身の決定の増加が他のプレイヤーの 限界利得を上げる場合、2 つの決定は戦略的補完です。 言い換えると、 の 2 番目の導関数 が正の場合、決定は戦略的補完です 。同様に、これは関数 が スーパーモジュラー で あることを意味します。
Π （
x
私
、
x
じゅう
）
{\displaystyle \,\Pi (x_{i},x_{j})}
x
私
{\displaystyle \,x_{i}}
x
じゅう
{\displaystyle \,x_{j}}
Π
{\displaystyle \,\Pi }
x
私
{\displaystyle \,x_{i}}
x
私
{\displaystyle \,x_{i}}
∂
Π
じゅう
∂
x
じゅう
{\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{j}}{\partial x_{j}}}}
∂
2
Π
じゅう
∂
x
じゅう
∂
x
私
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}
私 ≠ じゅう
{\displaystyle i\neq j}
Π
{\displaystyle \,\Pi }
一方、 が負の場合、つまり が サブ モジュラ の場合、決定は戦略的代替となります。
∂
2
Π
じゅう
∂
x
じゅう
∂
x
私
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}
Π
{\displaystyle \,\Pi }
例 オリジナルの論文では、ビューローらは2つの企業間の競争の単純なモデルを使って自分たちの考えを説明している。生産率を持つ企業xの収益は 次のように表される。
（
x
1
、
x
2
）
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
あなた
x
（
x
1
、
x
2
;
ええ
2
） =
p
1
x
1
+ （ 1 −
x
2
−
ええ
2
）
x
2
− （
x
1
+
x
2
）
2
/
2 − ふ
{\displaystyle U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F}
一方、市場2の生産率を持つ企業yの収益は 次のように表される。
ええ
2
{\displaystyle y_{2}}
あなた
ええ
（
ええ
2
;
x
1
、
x
2
） = （ 1 −
x
2
−
ええ
2
）
ええ
2
−
ええ
2
2
/
2 − ふ
{\displaystyle U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2} /2-F}
任意の
内部平衡において、
（
x
1
∗
、
x
2
∗
、
ええ
2
∗
）
{\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})}
∂
あなた
x
∂
x
1
= 0 、
∂
あなた
x
∂
x
2
= 0 、
∂
あなた
ええ
∂
ええ
2
= 0.
{\displaystyle {\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.}
ベクトル計算、幾何代数、微分幾何学を用いて、Bulow らは、クールノー均衡の変化に対する感度が、 ペイオフ関数の 2 番目の偏導関数で計算できることを示しました。
p
1
{\displaystyle p_{1}}
[
d
x
1
∗
d
p
1
d
x
2
∗
d
p
1
d
ええ
2
∗
d
p
1
]
=
[
∂
2
あなた
x
∂
x
1
∂
x
1
∂
2
あなた
x
∂
x
1
∂
x
2
∂
2
あなた
x
∂
x
1
∂
ええ
2
∂
2
あなた
x
∂
x
1
∂
x
2
∂
2
あなた
x
∂
x
2
∂
x
2
∂
2
あなた
x
∂
ええ
2
∂
x
2
∂
2
あなた
ええ
∂
x
1
∂
ええ
2
∂
2
あなた
ええ
∂
x
2
∂
ええ
2
∂
2
あなた
ええ
∂
ええ
2
∂
ええ
2
]
− 1
[
−
∂
2
あなた
x
∂
p
1
∂
x
1
−
∂
2
あなた
x
∂
p
1
∂
x
2
−
∂
2
あなた
ええ
∂
p
1
∂
ええ
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}}
いつ 、
1
/
4
≤
p
1
≤
2
/
3
{\displaystyle 1/4\leq p_{1}\leq 2/3}
[
d
x
1
∗
d
p
1
d
x
2
∗
d
p
1
d
y
2
∗
d
p
1
]
=
[
−
1
−
1
0
−
1
−
3
−
1
0
−
1
−
3
]
−
1
[
−
1
0
0
]
=
1
5
[
8
−
3
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}
これは、市場1で価格が上昇すると、企業xは市場1でより多くを販売し、市場2でより少なく販売し、一方、企業yは市場2でより多く販売する。このモデルのクールノー均衡を明示的に計算すると、
x
1
∗
=
max
{
0
,
8
p
1
−
2
5
}
,
x
2
∗
=
max
{
0
,
2
−
3
p
1
5
}
,
y
2
∗
=
p
1
+
1
5
.
{\displaystyle x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.}
スーパーモジュラーゲーム 戦略的補完を持つゲームは スーパーモジュラーゲームとも呼ばれる。これは最初にTopkis [3] によって形式化され 、Vives [4] によって研究された。このようなゲームでは純粋戦略ナッシュ均衡を見つけるための効率的なアルゴリズムが存在する。 [5] [6]
参照
参考文献
^ Bulow, Jeremy I.; Geanakoplos, John D.; Klemperer, Paul D. (1985). 「マルチマーケット寡占：戦略的代替と補完」 Journal of Political Economy . 93 (3): 488–511. ISSN 0022-3808. ^ ラッセル・クーパーとアンドリュー・ジョン（1988）、「ケインズモデルにおける調整の失敗の調整」 季刊経済学 103（3）、pp.441-63。 ^ Topkis, Donald M. (1979-11-01). 「非ゼロ和n人サブモジュラーゲームにおける均衡点」 SIAM Journal on Control and Optimization . 17 (6): 773–787. doi :10.1137/0317054. ISSN 0363-0129. ^ Vives, Xavier (1990-01-01). 「戦略的補完性を持つナッシュ均衡」. Journal of Mathematical Economics . 19 (3): 305–321. doi :10.1016/0304-4068(90)90005-T. ISSN 0304-4068. ^ エチェニケ、フェデリコ (2007-07-01). 「戦略的補完ゲームにおけるすべての均衡点の発見」. 経済理論ジャーナル . 135 (1): 514–532. doi :10.1016/j.jet.2006.06.001. ISSN 0022-0531. ^ Dang, Chuangyin; Qi, Qi; Ye, Yinyu (2020-05-01). Tarski の不動点とスーパーモジュラーゲームの計算と複雑性 (レポート). arXiv.org. 
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb1074b85460d982a391f2f9142a8908d48dec6)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc09743a8c9f98bddbbec4a76719d7ddbe4b20ab)
