初等算数

初等算数は、加算、減算、乗算、除算を含む数学の分野です。抽象度が低く、応用範囲が広く、すべての数学の基礎として位置付けられているため、初等算数は一般的に学校で最初に教えられる数学の分野です。^{[1] [2]}

記数法では、数字は数値を表すために使用される文字です。記数法の一例として、広く使用されているインド・アラビア数字システム（0〜9）が挙げられます。このシステムでは、 10進法の 位置表記法が使用されます。^[3]その他の記数法には、カクトビクシステム（アラスカ、カナダ、グリーンランドのエスキモー・アレウト語族でよく使用される）があり、これは20進法の位置表記システムです。^[4]使用する記数法に関係なく、算術演算の結果は影響を受けません。

初等算術では、自然数（ゼロを含む）の後続数は次の自然数であり、その数に1を加えた数である。自然数（ゼロを除く）の前続数はその前の自然数であり、その数から1を引いた数である。例えば、ゼロの後続数は1であり、11の前続数は10（および）である。すべての自然数には後続数があり、0以外のすべての自然数には前続数がある。^[5]${\displaystyle 0+1=1}$${\displaystyle 11-1=10}$

自然数は完全な順序付けを持ちます。ある数が別の数より大きい場合 ( )、後者は前者より小さい ( ) です。たとえば、3 は 8 より小さい ( ) ので、8 は 3 より大きい ( ) です。自然数は整列 でもあり、つまり自然数の任意の部分集合には最小の元が存在します。 ${\displaystyle >}$${\displaystyle <}$${\displaystyle 3<8}$${\displaystyle 8>3}$

カウントは、セット内の各オブジェクトに自然数を割り当てます。最初のオブジェクトは 1 で始まり、後続の各オブジェクトごとに 1 ずつ増加します。セット内のオブジェクトの数がカウントです。これは、セットの 基数とも呼ばれます。

カウントは、集合内の各オブジェクトにマークを付けるプロセスで ある集計プロセスでもあります。

加算は、 2つ以上の数（加数または被加数と呼ばれる）を組み合わせて、結合された数（合計と呼ばれる）を生成する数学演算です。2つの数の加算はプラス記号（）で表されます。^[6]これは次の規則に従って実行されます。 ${\displaystyle +}$

• 加数を加算する順序は合計に影響しません。これは加算の交換法則として知られています。(a + b)と(b + a)は同じ出力を生成します。^{[7] [8]}
• 2つの数の合計は一意であり、合計に対する正しい答えは1つだけです。^[8]

2桁の数字を足すと2桁の数字になる場合、「10の位」の数字は「繰り上がり数字」と呼ばれます。^[9]初等算数では、生徒は通常、整数の足し算を学び、負の数や分数などのトピックについても学ぶことがあります。

減算は2 つの数値の差を計算します。減算される数値は減算される数値で、減算される数値は減算される数値です。減算はマイナス記号 ( ) を使用して表されます。マイナス記号は負の数を表す場合にも使用されます。 ${\displaystyle -}$

減算は可換ではありません。つまり、数字の順序によって最終的な値が変わる可能性があります。は と同じではありません。初等算術では、減数は常に減数よりも大きいため、正の結果が生成されます。 ${\displaystyle 3-5}$${\displaystyle 5-3}$

減算は、分離、結合（たとえば、特定のセットのサブセットのサイズを見つける）、および他のコンテキストでの数量の検索にも使用されます。

減算を行う方法はいくつかあります。伝統的な数学の方法は、手計算に適した方法を使用して減算します。^[10] 改革数学は、特定の技術を優先せず、代わりに生徒が独自の計算方法を発明するように指導する点が特徴です。

アメリカの学校では、借り入れを使った引き算の方法を教える。^[11]のような引き算の問題は、引き算を容易にするために、十の位から10を借りて一の位に加えることで解く。6から9を引くには、十の位から10を借りて、問題を にする。これは、8を線で消し、その上に7を書き、6の上に1を書くことで示される。これらのマークは「松葉杖」と呼ばれ、ウィリアム・A・ブラウネルによって発明され、1937年11月に研究で使用された。^[12]${\displaystyle 86-39}$${\displaystyle 70+16-39}$

オーストリア式は加算法としても知られ、ヨーロッパの特定の国で教えられています^{[どの国？ ]}。前の方法とは対照的に、借用は使用されませんが、特定の国に応じて異なる松葉杖があります。^{[13] [14]}加算法では、減数を増すことが含まれます。これにより、前の問題は に変換されます。減数の数字の下に小さな 1 がリマインダーとしてマークされます。 ${\displaystyle (80+16)-(39+10)}$

792 と 308 を 1 の位から引くと、2 は 8 より小さくなります。借用法を使用すると、90 から 10 が借用され、90 が 80 に減ります。これにより、問題は に変わります。 ${\displaystyle 12-8}$

十の位では、80 と 0 の差は 80 です。

百の位では、700 と 300 の差は 400 です。

結果：

${\displaystyle 792-308=484}$

乗算は、加算を繰り返す数学的な演算です。2 つの数を乗算すると、結果の値は積になります。乗算される数は、被乗数、乗数、または因数です。乗算は、「5 掛ける 3 は 15 です」、「5 掛ける 3 は 15 です」、または「15 は 5 と 3 の積です」と表現できます。

乗算は、乗算記号 (×)、アスタリスク (*)、括弧 ()、またはドット (⋅) を使用して表されます。「5 かける 3 は 15 です」という文は、「」、「」、「」、または「」と書くことができます。 ${\displaystyle 5\times 3=15}$${\displaystyle 5\ast 3=15}$${\displaystyle (5)(3)=15}$${\displaystyle 5\cdot 3=15}$

初等算術において、乗算は次の性質を満たします^[a]：

• 可換性。積の順序を入れ替えても結果は変わりません。${\displaystyle a\times b=b\times a}$
• 結合性。積の中の括弧の順序を変えても結果は変わりません。${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$
• 分配法則。乗算は加算に対して分配されます。${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$
• 恒等式。任意の数に 1 を掛けると、その数自体になります。
• ゼロ。任意の数に 0 を掛けると 0 になります。

乗算アルゴリズムでは、2 つの数字の積の「10 の位」の数字は「繰り上がり数字」と呼ばれます。

729 と 3 を 1 の位から掛けると、9 と 3 の積は 27 になります。1 の位の下に 7 が書かれ、10 の位の上に繰り上がりの数字として 2 が書かれます。

2 と 3 の積は 6 であり、繰り上がりの数字は 6 に 2 を加えるので、十の位の列の下に 8 が書かれます。

7 と 3 の積は 21 であり、これが最後の桁であるため、2 は繰り上がり桁としてではなく、1 の横に書き込まれます。

結果：

${\displaystyle 3\times 729=2187}$

789 と 345 を 1 の列から掛け合わせると、789 と 5 の積は 3945 になります。

4 は 10 の位にあります。乗数は 4 ではなく 40 です。789 と 40 の積は 31560 です。

3 は百の位です。乗数は 300 です。789 と 300 の積は 236700 です。

すべての製品を追加すると、

結果：

${\displaystyle 789\times 345=272205}$

割り算は算術演算であり、掛け算の逆です。、 、 を考えると、${\displaystyle c\times b=a}$

割り算は、、またはa ⁄ bと表記されます。これは、口頭で言うと「a をbで割る」または「a をbで割る」となります。 ${\displaystyle a\div b}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

英語を話さない文化圏^{[どの文化圏ですか? ]}では、「aをbで割る」はa  : bと書きます。英語の用法では、コロン (:) は比率の概念(「aはbに対して」) に限定されます。

方程式では、a は被除数、b は除数、c は商です。ゼロによる除算は、初等算数レベルでは不可能であると考えられます。 ${\displaystyle a\div b=c}$

2 つの数を紙の上で長除法を使って割ることができます。長除法の短縮版である短除法は、より小さな除数に対して使用できます。

あまり体系的ではない方法としては、各段階で部分剰余からより多くの倍数を減算する チャンキングの概念が挙げられます。

272 を 8 で割る場合、百の位から始めると、2 は 8 で割り切れません。20 と 7 を加えると 27 になります。8 の約数を掛けても 27 を超えない最大の数は 3 なので、10 の位の列に記入します。27 から 24 (3 と 8 の積) を引くと、余りは 3 になります。

一の位の数字は 2 です。30 (余り 3 を 10 倍したもの) と 2 を加えると 32 になります。32 と 8 の商は 4 で、一の位の列の下に書かれています。

結果：

${\displaystyle 272\div 8=34}$

一部の学校で教えられている別の分割方法はバス停法で、次のように表記されることもあります。

            結果  
  (除数) 被除数

ここでの手順は、上記と同じ例を使用して以下に示します。

     0 3 4      
   8|272
     0         ( 8 ×   0 = 0)
      2 7 ( 2 - 0 =   2 )
      24        ( 8 ×   3 = 24)
       3 2 (27 - 24 =   3 )
       32       ( 8 ×   4 = 32)
       0 (32 - 32 = 0)

結果：

${\displaystyle 272\div 8=34}$

初等算数は、通常、小学校または中学校レベルで教えられ、地域の教育基準によって管理されています。米国とカナダでは、初等算数の指導内容と方法について議論がありました。^{[15] [16]}

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