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ベルンシュタイン多項式

J
Japedia 編集部
|更新日: 不明
曲線を近似するベルンシュタイン多項式

数値解析の分野において、ベルンシュタイン多項式とは、ベルンシュタイン基底多項式の線形結合として表される多項式のことである。この概念は、数学者セルゲイ・ナタノヴィチ・ベルンシュタインにちなんで名付けられた。

この形式の多項式は、バーンシュタインがワイエルシュトラスの近似定理の構成的証明において初めて使用しました。コンピュータグラフィックスの登場に伴い、区間[0, 1]に限定されたバーンシュタイン多項式は、ベジェ曲線の形で重要になりました。 

ベルンシュタイン形式の多項式を評価する数値的に安定した方法は、ド・カステリョーのアルゴリズムである。

4次曲線ブレンドのためのベルンシュタイン基底多項式

意味

ベルンシュタイン基底多項式

のn+1{\displaystyle n+1}次数 のベルンシュタイン基底多項式n{\displaystyle n}は次のように定義される。

bν、n（x） = （nν） xν（1−x）n−ν、  {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\ x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },~~}のために  ν=0 、 … 、n、{\displaystyle ~~\nu =0\ ,\ \ldots \ ,n,}

どこ（nν）{\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}は二項係数です。

例えば、b2、5（x） = （52）x2（1−x）3 = 10x2（1−x）3{\displaystyle b_{2,5}(x)\ =\ {\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}\ =\ 10x^{2}(1-x)^{3}}。

1、2、3、または4つの値を組み合わせるための最初のいくつかのベルンシュタイン基底多項式は次のとおりです。

b0、0（x）=1 、b0、1（x）=1−x 、b1、1（x）=xb0、2（x）=（1−x）2 、b1、2（x）=2x（1−x） 、b2、2（x）=x2b0、3（x）=（1−x）3 、b1、3（x）=3x（1−x）2 、b2、3（x）=3x2（1−x） 、b3、3（x）=x3。{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-x\ ,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2}\ ,&b_{1,2}(x)&=2x(1-x)\ ,&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2}\ ,&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x)\ ,&b_{3,3}(x)&=x^{3}.\end{aligned}}}

次数 のベルンシュタイン基底多項式n{\displaystyle n}ベクトル空間の基底を形成するΠn{\displaystyle \Pi _{n}}次数が最大で の多項式のn{\displaystyle n}すべて実数係数を持つ。

ベルンシュタイン多項式

ベルンシュタイン基底多項式の線形結合

Bn（x） = ∑ν=0nβνbν、n（x）{\displaystyle B_{n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}

次数がベルンシュタイン多項式またはベルンシュタイン形式の多項式と呼ばれる。n{\displaystyle n}[ 1 ]係数​βν{\displaystyle \beta _{\nu }}これらはベルンシュタイン係数またはベジェ係数と呼ばれます。

上記のベルンシュタイン基底多項式の最初の数個を単項式形式で表すと次のようになります。

b0、0（x）=1 、b0、1（x）=1−1x 、b1、1（x）=0+1xb0、2（x）=1−2x+1x2、b1、2（x）=0+2x−2x2 、b2、2（x）=0+0x+1x2b0、3（x）=1−3x+3x2−1x3 、b1、3（x）=0+3x−6x2+3x3 、b2、3（x）=0+0x+3x2−3x3、b3、3（x）=0+0x+0x2+1x3。{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-1x\ ,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2}\ ,&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3}\ ,&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}.\end{aligned}}}

不動産

ベルンシュタイン基底多項式は、以下の性質を持つ。

  • bν、n（x）=0{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}、 もしν<0{\displaystyle \nu <0}またはもしν>n{\displaystyle \nu >n}。
  • bν、n（x）≥0{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}のためにx∈[0、 1]{\displaystyle x\in [0,\ 1]}。
  • bν、n（1−x）=bn−ν、n（x）{\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)}。
  • bν、n（0）=δν、0{\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}そしてbν、n（1）=δν、n{\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}どこδ私、j{\displaystyle \delta _{i,j}}はクロネッカーのデルタ関数です。δ私j={0もし 私≠j、1もし 私=j。{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}
  • bν、n（x）{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}重複度を持つ根を持つν{\displaystyle \nu }地点でx=0{\displaystyle x=0}（注：ν=0{\displaystyle \nu =0}（ 0には根はありません）。
  • bν、n（x）{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}重複度を持つ根を持つ（n−ν）{\displaystyle \left(n-\nu \right)}地点でx=1{\displaystyle x=1}（注：ν=n{\displaystyle \nu =n}1には根はありません。
  • 導関数は、より低い次数の2つのベルンシュタイン多項式の組み合わせとして表すことができる。bν、n′（x）=n[ bν−1、n−1（x） − bν、n−1（x） ]。{\displaystyle b_{\nu ,n}'(x)=n{\bigl [}\ b_{\nu -1,n-1}(x)\ -\ b_{\nu ,n-1}(x)\ {\bigr ]}.}
  • 0におけるk階微分：bν、n（k）（0） = n!（n−k）!（kν）（−1）ν+k。{\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)\ =\ {\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}
  • 1におけるk階微分：bν、n（k）（1） = （−1）kbn−ν、n（k）（0）。{\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)\ =\ (-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}
  • ベルンシュタイン多項式を単項式に変換すると次のようになる。bν、n（x） = （nν）∑k=0n−ν（n−νk）（−1）kxν+k = ∑ℓ=νn（nℓ）（ℓν）（−1）ℓ−νxℓ、{\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{k}x^{\nu +k}\ =\ \sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}そして逆二項変換により、逆変換は[ 2 ]xk = ∑私=0n−k（n−k私）（n私）bn−私、n（x） = 1（nk）∑j=kn（jk）bj、n（x）。{\displaystyle x^{k}\ =\ \sum _{i=0}^{n-k}{\frac {\binom {n-k}{i}}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)\ =\ {\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}
  • 不定積分は次のように与えられる。∫bν、n（x） d⁡x=1n+1∑j=ν+1n+1bj、n+1（x）。{\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}
  • The definite integral is constant for a given n: ∫01bν,n(x) d⁡x=1n+1{\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}} for all ν=0,1, … ,n.{\displaystyle \nu =0,1,\ \dots \ ,n.}
  • If n≠0{\displaystyle n\neq 0}, then bν,n(x){\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} has a unique local maximum on the interval [0,1]{\displaystyle [0,\,1]} at x=νn{\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}. This maximum takes the value ννn−n(n−ν)n−ν(nν).{\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}
  • The Bernstein basis polynomials of degree n{\displaystyle n} form a partition of unity: ∑ν=0nbν,n(x) = ∑ν=0n(nν)xν(1−x)n−ν = (x+(1−x))n=1.{\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }\ =\ \left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}
  • By taking the first x{\displaystyle x}-derivative of (x+y)n{\displaystyle (x+y)^{n}}, treating y{\displaystyle y} as constant, then substituting the value y=1−x{\displaystyle y=1-x}, it can be shown that ∑ν=0nν bν,n(x)=n x.{\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu \ b_{\nu ,n}(x)=n\ x.}
  • Similarly the second x{\displaystyle x}-derivative of (x+y)n{\displaystyle (x+y)^{n}}, with y{\displaystyle y} then again substituted y=1−x,{\displaystyle y=1-x,} shows that ∑ν=1nν(ν−1) bν,n(x)=n(n−1) x2.{\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu \left(\nu -1\right)\ b_{\nu ,n}(x)=n\left(n-1\right)\ x^{2}.}
  • A Bernstein polynomial can always be written as a linear combination of polynomials of higher degree: bν,n−1(x) = (n−νn) bν,n(x) + (ν+1n) bν+1,n(x).{\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)\ =\ \left({\frac {n-\nu }{n}}\right)\ b_{\nu ,n}(x)\ +\ \left({\frac {\nu +1}{n}}\right)\ b_{\nu +1,n}(x).}
  • The expansion of the Chebyshev polynomials of the first kind into the Bernstein basis is[3]Tn(u) = (2n−1)!! ∑k=0n (−1)n−k  (2k−1)!! (2n−2k−1)!!  bk,n(u).{\displaystyle T_{n}(u)\ =\ (2n-1)!!\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {~(-1)^{n-k}\ }{\ (2k-1)!!\ (2n-2k-1)!!\ }}\ b_{k,n}(u).}

Approximating continuous functions

Let ƒ be a continuous function on the interval [0, 1]. Consider the Bernstein polynomial

Bn(f)(x)=∑ν=0nf(νn)bν,n(x).{\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}

It can be shown that

limn→∞Bn(f)=f{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}

uniformly on the interval [0, 1].[4][1][5][6]

Bernstein polynomials thus provide one way to prove the Weierstrass approximation theorem that every real-valued continuous function on a real interval [a, b] can be uniformly approximated by polynomial functions over R{\displaystyle \mathbb {R} }.[7]

A more general statement for a function with continuous kth derivative is

‖Bn(f)(k)‖∞≤(n)knk‖f(k)‖∞ and ‖f(k)−Bn(f)(k)‖∞→0,{\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}

where (n)k{\displaystyle (n)_{k}} is the falling factorial, and additionally

(n)knk=(1−0n)(1−1n)⋯(1−k−1n){\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}

is an eigenvalue of Bn; the corresponding eigenfunction is a polynomial of degree k.

Probabilistic proof

This proof follows Bernstein's original proof of 1912.[8] See also Feller (1966) or Koralov & Sinai (2007).[9][5]

Motivation

We will first give intuition for Bernstein's original proof. A continuous function on a compact interval must be uniformly continuous. Thus, the value of any continuous function can be uniformly approximated by its value on some finite net of points in the interval. This consideration renders the approximation theorem intuitive, given that polynomials should be flexible enough to match (or nearly match) a finite number of pairs (x,f(x)){\displaystyle (x,f(x))}. To do so, we might (1) construct a function close to f{\displaystyle f} on a lattice, and then (2) smooth out the function outside the lattice to make a polynomial.

The probabilistic proof below simply provides a constructive method to create a polynomial which is approximately equal to f{\displaystyle f}このような点格子上では、関数を「平滑化」することは必ずしも自明ではない。単純な分布を持つ確率変数の期待値を取ることは、平滑化の一般的な方法である。ここでは、ベルンシュタイン多項式が二項分布の期待値に似ているという事実を利用する。区間をn個の離散値の格子に分割する。次に、任意のf(x)を評価するために、二項分布によってランダムに選択されたxに近いn個の格子点の1つでfを評価する。この近似手法の期待値は、二項分布の確率変数の関数の期待値であるため、多項式となる。以下の証明は、これがfの一様近似を達成することを示している。証明の要点は、(1)二項分布の集中特性によって任意の点を二項分布によって選択された格子点に置き換えることを正当化し、(2)から推論を正当化することである。x≈X{\displaystyle x\approx X}にf（x）≈f（X）{\displaystyle f(x)\approx f(X)}均一な連続性によって。

バーンスタインの証明

K を、各試行で成功確率xを持つn 回の独立したベルヌーイ試行における成功回数として分布する確率変数とします。言い換えれば、Kはパラメータnとxを持つ二項分布に従います。すると、期待値は次のようになります。 E⁡[Kn]=x{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {K}{n}}\right]=x}そして

p（K）=（nK）xK（1−x）n−K=bK、n（x）{\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}

確率論の大数の弱法則により、

リムn→∞P（|Kn−x|>δ）=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}

δ  > 0のすべての場合において 、この関係はxに関して一様に成り立ちます。これは、 1 ⁄ n Kの分散が1 ⁄ n x (1 − x )に等しく、 xに関係なく1 ⁄ (4 n )で上から抑えられることを考慮に入れたチェビシェフの不等式による証明からわかります。  

閉区間でƒ が連続であるため、その区間で一様連続でなければならないことから、次の形式の命題が推論される。

リムn→∞P（|f（Kn）−f（x）|>ε）=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}

各xについて一様にϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}ƒが（与えられた区間で）有界であることを考慮すると、次のことがわかる。

リムn→∞E⁡（|f（Kn）−f（x）|）=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}

xに関して一様に。この主張を正当化するために、確率論でよく用いられる方法を用いて、確率の近さから期待値の近さに変換します。期待値を分割すると、|f（Kn）−f（x）|{\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|}2つの部分に分割されるかどうかに基づいて|f（Kn）−f（x）|<ϵ{\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon }差がε を超えない区間では、期待値は明らかにε を超えることはありません。もう一方の区間では、差は依然として 2 M を超えることはありません。ここでMは | ƒ (x)|の上限です(一様連続関数は有界であるため)。しかし、「確率の近さ」の記述により、この区間の確率はεを超えることはありません。したがって、期待値のこの部分は 2 M × εを超えることはありません。したがって、全体の期待値は以下になります。ϵ+2Mϵ{\displaystyle \epsilon +2M\epsilon }これは、小さなεを選択することで任意に小さくすることができる。

最後に、期待値の差の絶対値は、その差の絶対値の期待値を超えることは決してないことがわかります。これは、ヘルダーの不等式の結果です。したがって、上記の期待値を使用すると、( xに関して一様に)が成り立つことがわかります。

リムn→∞|E⁡f（Kn）−E⁡f（x）|≤リムn→∞E⁡（|f（Kn）−f（x）|）=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathbb {E} } f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathbb {E} } f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}

ランダム性がK上で、 xが定数であることに注目すると、 f(x)の期待値はf(x)と等しくなります。しかし、我々は次のことを示しました。Ex⁡f（Kn）{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}f(x)に収束する。その後、以下の条件を満たせば完了です。Ex⁡f（Kn）{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}これはxに関する多項式です(添え字はx がKの分布を制御することを示しています)。実際、それは次のようになります。

Ex⁡[f（Kn）]=∑K=0nf（Kn）p（K）=∑K=0nf（Kn）bK、n（x）=Bn（f）（x）{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}

関数間の均一な収束率

上記の証明において、fを含む各極限における収束はfの一様連続性に依存し、これは収束速度がfの 連続係数に依存することを意味することを思い出してください。ω{\displaystyle \omega }また、関数の絶対境界である「M」にも依存しますが、境界を1つ設定すればこれを回避できます。 ω{\displaystyle \omega }そして区間サイズ。したがって、この近似は固定されたfに対してx全体で一様に成り立つだけですが、等連続性の文脈で一連の関数を一連のベルンシュタイン多項式で一様に近似するように証明を容易に拡張できます。

初歩的な証明

確率的証明は、基礎となる確率的アイデアを使用しながら直接検証によって進めることで、初等的な方法で言い換えることもできます。[ 10 ] [ 6 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

以下の人物の身元は確認できます。

  1. ∑k（nk）xk（1−x）n−k=1{\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}（"確率"）
  2. ∑kkn（nk）xk（1−x）n−k=x{\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}（"平均"）
  3. ∑k（x−kn）2（nk）xk（1−x）n−k=x（1−x）n。{\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}（"分散"）

実際、二項定理によれば

（1+t）n=∑k（nk）tk、{\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}

この方程式は2回適用できますtddt{\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}式(1)、(2)、(3)は、置換を用いることで容易に導かれる。t=x/（1−x）{\displaystyle t=x/(1-x)}。

これら３つの恒等式においては、上記の基底多項式表記を用いる。

bk、n（x）=（nk）xk（1−x）n−k、{\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}

そして

fn（x）=∑kf（k/n）bk、n（x）。{\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}

したがって、恒等式（1）により

fn（x）−f（x）=∑k[f（k/n）−f（x）]bk、n（x）、{\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}

となることによって

|fn（x）−f（x）|≤∑k|f（k/n）−f（x）|bk、n（x）。{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}

fは一様連続であるため、ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}、δ>0{\displaystyle \delta >0}そのため|f（1）−f（b）|<ε{\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }いつでも |1−b|<δ{\displaystyle |a-b|<\delta }さらに、連続性により、M=すする|f|<∞{\displaystyle M=\sup |f|<\infty }しかしその後

|fn（x）−f（x）|≤∑|x−kn|<δ|f（k/n）−f（x）|bk、n（x）+∑|x−kn|≥δ|f（k/n）−f（x）|bk、n（x）。{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}

最初の和はεより小さい。一方、上記の恒等式(3)より、そして|x−k/n|≥δ{\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }2番目の和は以下によって制限される。2M{\displaystyle 2M}タイムズ

∑|x−k/n|≥δbk、n（x）≤∑kδ−2（x−kn）2bk、n（x）=δ−2x（1−x）n<14δ−2n−1。{\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.}
（チェビシェフの不等式）

したがって、多項式f n は一様にfに収束する。

高次元への一般化

ベルンシュタイン多項式はk次元に一般化することができ、結果として得られる多項式はB i 1 ( x 1 ) B i 2 ( x 2 ) ... B i k ( x k )の形になります。[ 1 ]最も単純なケースでは、単位区間[0,1]の積のみが考慮されますが、直線のアフィン変換を使用すると、ベルンシュタイン多項式は積[ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a k , b k ]に対しても定義できます。単位区間のk重積上の連続関数fに対して、 f ( x 1 , x 2 , ... , x k )が次のように一様に近似できることの証明は次のようになります。

∑私1∑私2⋯∑私k（n1私1）（n2私2）⋯（nk私k）f（私1n1、私2n2、…、私knk）x1私1（1−x1）n1−私1x2私2（1−x2）n2−私2⋯xk私k（1−xk）nk−私k{\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}

これは、1次元におけるバーンスタインの証明の単純な拡張である。 [ 14 ]

関連項目

注記

  1. 1 2 3ローレンツ 1953
  2. ↑ Mathar, RJ (2018). "ミニマックス特性を持つ単位円上の直交基底関数". 付録 B. arXiv : 1802.09518 [ math.NA ].
  3. ↑ Rababah, Abedallah (2003). "チェビシェフ・ベルンシュタイン多項式基底の変換" . Computational Methods in Applied Mathematics . 3 (4): 608– 622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID 120938358 . 
  4. ↑ナタンソン（1964） p.6
  5. 1 2フェラー 1966
  6. 1 2ビールズ 2004
  7. ↑ナタンソン（1964） 3ページ 
  8. ↑バーンスタイン 1912
  9. ↑コラロフ、L.;シナイ、Y. (2007)。 」「ワイエルシュトラスの定理の確率論的証明」「確率論とランダム過程（第2 版）。シュプリンガー。p.  29。」
  10. ↑ローレンツ1953、5-6頁 
  11. ↑ゴールドバーグ 1964
  12. ↑アキエゼル 1956
  13. ↑バーキル 1959
  14. ↑ Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "On linear functional operations and the moment problem for a finite interval in one or several dimensions" , Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi : 10.2307/1968205 , JSTOR 1968205 

参考文献

  • Bernstein, S. (1912)、「Démonstration du théorème de Weierstrass Fondée sur le calcul des probabilités (確率の計算に基づくワイエルシュトラスの定理の証明)」(PDF)、Comm.ハリコフの数学。社会、13 : 1-2​英語訳
  • ローレンツ、GG（1953）、『バーンスタイン多項式』、トロント大学出版局
  • アキエゼル、NI（1956）近似理論（ロシア語）、チャールズ・J・ハイマン訳、フレデリック・ウンガー、30～ 31ページ ロシア語版は1940年に初版が発行された。
  • Burkill, JC (1959)、多項式による近似に関する講義(PDF)、ボンベイ：タタ基礎研究所、7–8頁 
  • ゴールドバーグ、リチャード・R. (1964)、『実解析の方法』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 263-265頁 
  • Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (1993年7月)「Bernstein多項式近似に基づく一般化パラメトリックPR-QMF設計手法」IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (7): 2314–2321 . Bibcode : 1993ITSP...41.2314C . doi : 10.1109/78.224242 . Zbl 0825.93863 . 
  • コロフキン、PP（2001）[1994]、「ベルンシュタイン多項式」、数学百科事典、EMS Press
  • ナタンソン、IP（1964）。構成的関数理論。第1巻：一様近似。アレクシス・N・オボレンスキー訳。ニューヨーク：フレデリック・ウンガー。MR 0196340。Zbl 0133.31101。  
  • フェラー、ウィリアム（1966）、『確率論とその応用入門』第2巻、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 149～ 150ページ、218～ 222ページ 
  • ビールズ、リチャード（2004）、『分析入門』、ケンブリッジ大学出版局、 95-98頁、ISBN  0521600472
  • カック、マーク（1938年）。「MS バーンスタインの多ノームに関する注目点」。ステューディア マセマティカ。7 : 49–51 .土井: 10.4064/sm-7-1-49-51。
  • Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). "ベルンシュタイン多項式の反復法" . Pacific Journal of Mathematics . 21 (3): 511. doi : 10.2140/pjm.1967.21.511 .
  • エルサレム、スターク (1981)。 「バーンスタイン・ポリノーム、1912-1955」。 Butzer、PL (編)。ISNM60。 pp. 443–461。土井: 10.1007/978-3-0348-9369-5_40。ISBN  978-3-0348-9369-5。
  • Petrone, Sonia (1999). "ランダムバーンスタイン多項式". Scand. J. Stat . 26 (3): 373–393 . doi : 10.1111/1467-9469.00155 . S2CID 122387975 . 
  • Oruc, Halil; Phillips, George M. (1999). "A generalization of the Bernstein Polynomials" . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 42 (2): 403– 413. doi : 10.1017/S0013091500020332 .
  • Joy, Kenneth I. (2000). "Bernstein Polynomials" (PDF) . 2012年2月20日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2009年2月28日に取得。カリフォルニア大学デービス校より。9ページ目の最初の数式における総和の範囲に誤りがあることに注意してください。
  • Idrees Bhatti, M.; Bracken, P. (2007). "Solutions of differential equations in a Bernstein Polynomial basis" . J. Comput. Appl. Math . 205 (1): 272– 280. Bibcode : 2007JCoAM.205..272I . doi : 10.1016/j.cam.2006.05.002 .
  • カッセルマン、ビル（2008）。「ベジェからバーンスタインへ」。アメリカ数学会の特集コラム
  • Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "ベルンシュタイン多項式の母関数について". AIP Conf. Proc . AIP Conference Proceedings. 1281 (1): 1141. Bibcode : 2010AIPC.1281.1141A . doi : 10.1063/1.3497855 .
  • Doha, EH; Bhrawy, AH; Saker, MA (2011). "ベルンシュタイン多項式の積分: 高次偶数階微分方程式の解法への応用" . Appl. Math. Lett . 24 (4): 559– 565. doi : 10.1016/j.aml.2010.11.013 .
  • Farouki, Rida T. (2012). "ベルンシュタイン多項式基底：100周年回顧". Comp. Aid. Geom. Des . 29 (6): 379–419 . doi : 10.1016/j.cagd.2012.03.001 .
  • Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "関数の近似は、新しい一般化ベルンシュタイン演算子のファミリーによって行われる" . J. Math. Ann. Applic . 450 : 244–261 . doi : 10.1016/j.jmaa.2016.12.075 .
  • ワイスタイン、エリック W. 「バーンスタイン多項式」。マスワールド。
  • この記事は、PlanetMathのBernstein 多項式の性質に関する資料を組み込んでおり、PlanetMath はCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。