算術関数の極値順序

数学、特に数論において、算術関数の極値順序は、与えられた算術関数の可能な限りの境界である。具体的には、 f ( n )が算術関数であり、m ( n )が最終的に正で減少しない関数である場合、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty}{\frac {f(n)}{m(n)}}=1}$

m はfの最小順序であると言う。同様に、M ( n ) が最終的に正で、

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty}{\frac {f(n)}{M(n)}}=1}$

M はfの最大順序であると言える。^{[1] : 80}ここで、および はそれぞれ下位の極限 および 上位の極限を表す。 ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$

このテーマは1915年にラマヌジャンによって初めて体系的に研究されました^{。[1] : 87}

• 約数の和関数σ( n )については、常に σ( n ) ≥ n であり、素数についてはσ( p ) = p  + 1であるため、結果は自明です。これは1913 年にGronwallによって証明されています。 ^{[1] : 86  [2] : 定理 323  [3]}したがって、 n はσ( n ) の最小次数であり、e ^−γ n ln ln  n は最大次数です。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty}{\frac {\sigma (n)}{n}}=1}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma },}$$
• オイラーのトーティエントφ( n )については、φ( n ) ≤nが常に成り立ち、素数に対してφ( p )= p −1となるため、自明な結果が得られる。 これは1903年にランダウによって証明されている。 ^{[1] :84  [2] :定理328}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)}{n}}=1}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\phi (n)\ln \ln n}{n}}=e^{-\gamma },}$$
• 約数関数d ( n )の個数には、自明な下限 2 ≤ d ( n ) があり、nが素数の場合に等号となるため、2 は最小の順序である。ln  d ( n ) には最大順序ln 2 ln  n / ln ln  nがあり、これは 1907 年に Wigert によって証明された。^{[1] : 82  [2] : 定理 317}
• 異なる素因数ω( n )の個数には、自明な下限 1 ≤ ω( n ) があり、 nが素数のべき乗のときに等号が成立する。ω( n )の最大順序はln n / ln ln  nである。^{[1] : 83}
• 重複度Ω( n )で数えられる素因数の個数には、 1 ≤ Ω( n )という自明な下限があり、 nが素数の場合に等号となる。Ω( n )の最大順序はln  n / ln 2 ^{[1] : 83}である。
• メルテンス関数、またはメビウス関数の要約関数は を満たすと予想されますが、現在までにこの極限 が小さい定数よりも大きいことが示されているだけです。この記述は、数十年前の画期的な論文「メルテンス予想の反証」で Odlyzko と te Riele が示したメルテンス予想の反証と比較されます。対照的に、広範な計算証拠は上記の予想が正しいことを示唆しています。つまり、 が無限大に向かうある増加シーケンスに沿って の平均次数は無制限に増加しますが、リーマン予想は、極限がすべて (十分に小さい) に対して真であることと同等です。${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|M(x)|}{\sqrt {x}}}=+\infty ,}$${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$${\displaystyle {\sqrt {x_{n}}}|M(x_{n})|}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }M(x)/x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }=0}$${\displaystyle \epsilon >0}$

• 算術関数の平均次数
• 算術関数の通常の順序

• Nicolas, J.-L. (1988)。「高度合成数について」。Andrews , GE ; Askey, RA ; Berndt, BC ; Ramanathan, KG (編)。Ramanujan Revisited。Academic Press。pp. 215–244。ISBN 978-0-12-058560-1。広範な参考文献を付した極限秩序の調査。