n次元リーマン多様体(M,g)上の直交ウェブ（直交グリッドまたはリッチグリッドとも呼ばれる）は、 集合である。
1次元の連結部分多様体のn個のペアワイズ横断的かつ直交的な葉層構造。[ 3 ] 1次元の 2 つの部分多様体は、それらの法線ベクトルが直交する場合に限り直交し、非定値計量の場合、直交性は横断性を意味しないことに 注意してください。
ベクトル場は定常流の流線やファラデーの力線として視覚化できるため、空間内のゼロでないベクトル場は、各点を通る線で空間を埋め尽くすシステムを生成します。これは数学者にとって合同関係（つまり局所葉層構造）として知られています。リッチのアイデアは、n次元リーマン多様体を互いに直交するn 個の合同関係、つまり局所直交格子で埋め尽くすことでした。
ウェブの微分幾何学
ウェブの体系的な研究は、 1930年代にブラシュケによって開始された。彼は同じ群論的手法をウェブの幾何学に拡張した。
古典的な定義
させて
次元N=nrの微分可能多様体とする。開集合内の余次元 r の d-ウェブ W(d,n,r)
は、一般の位置にある余次元rのd個の葉層構造の集合である。
表記W(d,n,r)において、 dはウェブを形成する葉層の数、rはウェブの余次元、nは多様体Mの次元nrとウェブの余次元の比を表します。もちろん、rが周囲の多様体の次元の約数でなくても、余次元rのdウェブを定義することができます。
注記
- ↑ S. Benenti (1997). "ハミルトン・ヤコビ方程式における変数分離の本質的特徴付け". J. Math. Phys . 38 (12): 6578–6602 . Bibcode : 1997JMP....38.6578B . doi : 10.1063/1.532226 .
- ↑ Chanu, Claudia; Rastelli, Giovanni (2007). "リーマン多様体および擬リーマン多様体上のキリングテンソルと分離可能なウェブの固有値". SIGMA . 3 : 021、21ページ。arXiv : nlin/0612042 . Bibcode : 2007SIGMA...3..021C . doi : 10.3842/sigma.2007.021 . S2CID 3100911 .
- ↑ G. リッチ-クルバストロ(1896)。 「さまざまな問題を解決するための直交システム」。メム。準拠リンセイ。2 (5): 276 – 322。
参考文献
- Sharpe, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン・プログラムの一般化. ニューヨーク：Springer. ISBN 0-387-94732-9。
- ディレン、FJE。フェルストラーレン、LCA (2000)。微分幾何学のハンドブック。 Vol. 1. アムステルダム: 北オランダ。ISBN 0-444-82240-2。
