アダムズ決議

数学、特に代数的位相幾何学では、スペクトルの自由分解に類似した分解があり、アダムススペクトル列を構築するためのツールを生み出します。本質的には、有限型の連結スペクトルを取り、アイレンバーグ-マクレーンスペクトルを使用してコホモロジー類を分解するマップのホモトピー核にある他のスペクトルと反復的に分解するという考え方です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)}$

この構成は、ブラウン・ピーターソンスペクトルや複素コボルディズムスペクトルなどのスペクトルを使用して一般化することができ、アダムス・ノビコフスペクトル列^{[1] 49ページ}の構成に使用されます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle BP}$${\displaystyle MU}$

スペクトルの mod Adams分解は、分解されたスペクトルのコホモロジーを生成する一般化されたEilenberg-Maclaneスペクトルへの写像のファイバーを再帰的に調べることから誘導されるスペクトルの特定の「連鎖複合体」である^{[1] pg 43。}これにより、写像を考慮することから始める。${\displaystyle p}$${\displaystyle (X_{s},g_{s})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\K\end{matrix}}}$

ここで はの生成元を表すアイレンバーグ・マクレーンスペクトルなので、次の形式となる。${\displaystyle K}$${\displaystyle H^{*}(X)}$

${\displaystyle K=\bigwedge _{k=1}^{\infty }\bigwedge _{I_{k}}\Sigma ^{k}H\mathbb {Z} /p}$

ここで、 はの基底をインデックスし、写像はアイレンバーグ・マクレーンスペクトルの特性から来ています。次に、この写像のホモトピーファイバー（ホモトピー核として機能します）を使用して、空間 を得ることができます。ここで、と を設定することに注意してください。次に、可換図を形成できます。${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle H^{k}(X)}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{0}=X}$${\displaystyle K_{0}=K}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}\\\downarrow &&\\K_{0}\end{matrix}}}$

ここで、水平マップはファイバーマップである。この構成を再帰的に繰り返すと、可換図が得られる。

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}&\leftarrow &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}}$

コレクションを与える。これは${\displaystyle (X_{s},g_{s})}$

${\displaystyle X_{s}={\text{Hofiber}}(f_{s-1}:X_{s-1}\to K_{s-1})}$

は のホモトピーファイバーであり、ホモトピーファイバーの普遍的な性質から来ています。 ${\displaystyle f_{s-1}}$${\displaystyle g_{s}:X_{s}\to X_{s-1}}$

さて、アダムス分解を使ってスペクトルのコホモロジーの自由分解を構築することができる。アダムス分解から、短い完全列が存在する。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle H^{*}(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\leftarrow H^{*}(X_{s})\leftarrow H^{*}(K_{s})\leftarrow H^{*}(\Sigma X_{s+1})\leftarrow 0}$

それをつなげると長い正確なシーケンスを形成できる

${\displaystyle 0\leftarrow H^{*}(X)\leftarrow H^{*}(K_{0})\leftarrow H^{*}(\Sigma K_{1})\leftarrow H^{*}(\Sigma ^{2}K_{2})\leftarrow \cdots }$

を - モジュールとして自由に解決します。 ${\displaystyle H^{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$

一般に コホモロジー環を研究するのは技術的に難しいため^{[2] pg 280}、ここではホモロジー余代数（協同作用の）の場合に限定する。この場合、は双対スティーンロッド代数である点に注意する。は-コモジュレーターなので、2次群を形成できる。${\displaystyle E^{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E=H\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle H\mathbb {F} _{p*}(H\mathbb {F} _{p})={\mathcal {A}}_{*}}$${\displaystyle E_{*}(X)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$

${\displaystyle {\text{Ext}}_{E_{*}(E)}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(X))}$

これは、一連の技術的条件を満たすアダムス・ノビコフスペクトル列の -ページを含む^{[1] pg 50} 。このページを得るためには、上記のコホモロジー的解決にいくらか類似した-アダムス解決^{[1] pg 49}を構築する必要がある。${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\xleftarrow {g_{0}} &X_{1}&\xleftarrow {g_{1}} &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}}$

ここで、垂直矢印はアダムス分解であり、 ${\displaystyle f_{s}:X_{s}\to K_{s}}$${\displaystyle E_{*}}$

1. ${\displaystyle X_{s+1}={\text{ホファイバー}}(f_{s})}$は、​${\displaystyle f_{s}}$
2. ${\displaystyle E\wedge X_{s}}$は の逆写像なので、 は単射である。逆写像とは、${\displaystyle E\wedge K_{s}}$${\displaystyle E_{*}(f_{s})}$${\displaystyle h_{s}:E\wedge K_{s}\to E\wedge X_{s}}$${\displaystyle h_{s}(E\wedge f_{s})=id_{E\wedge X_{s}}}$
3. ${\displaystyle K_{s}}$撤回である${\displaystyle E\wedge K_{s}}$
4. ${\displaystyle {\text{Ext}}^{t,u}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(K_{s}))=\pi _{u}(K_{s})}$であれば、そうでなければ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 0}$

これはプロパティの長いリストのように思えますが、これらはスペクトル シーケンスの構築において非常に重要です。さらに、retract プロパティは、ジェネレータごとにスペクトルのウェッジ和を取る必要がなくなるため、-Adams 分解の構築構造に影響します。 ${\displaystyle E_{*}}$

-アダムス分解の構成は、いくつかの追加の仮定を満たす任意の結合的、可換的、連結的環スペクトルに対する以前の分解と比較すると、かなり簡単に述べることができる。これには、上で平坦であること、上で同型であること、が有限生成であることなどが含まれる。この場合、一意の環写像${\displaystyle E_{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle \pi _{*}(E)}$${\displaystyle \mu _{*}}$${\displaystyle \pi _{0}}$${\displaystyle H_{r}(E;A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subset A\subset \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \theta :\mathbb {Z} \to \pi _{0}(E)}$

最大限に拡張します。

${\displaystyle K_{s}=E\wedge F_{s}}$

そして

${\displaystyle f_{s}:X_{s}\to K_{s}}$

標準マップとして、

${\displaystyle X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})}$

は の環スペクトル構造からのリトラクトであることに注意。したがって はのリトラクトであり、同様に はのリトラクトである。さらに${\displaystyle E}$${\displaystyle E\wedge E}$${\displaystyle E\wedge X_{s}}$${\displaystyle E\wedge K_{s}=E\wedge E\wedge X_{s}}$${\displaystyle K_{s}}$${\displaystyle E\wedge K_{s}}$

${\displaystyle E_{*}(K_{s})=E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X_{s})}$

これにより、平坦性から 必要な条件が得られます。${\displaystyle {\text{Ext}}}$

すると、関連するアダムス・ノビコフスペクトル列の項はコバー複素数 になることがわかります。 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle C^{*}(E_{*}(X))}$

• アダムススペクトル列
• アダムス・ノビコフスペクトル列
• アイレンバーグ・マクレーンスペクトル
• ホップ代数