エルゴード仮説

物理学と熱力学において、エルゴード仮説^[1]は、長い期間にわたって、同じエネルギーを持つミクロ状態の位相空間のある領域でシステムが費やした時間は、この領域の体積に比例する、つまり、アクセス可能なすべてのミクロ状態は長い期間にわたって 等確率であると述べています。

リウヴィルの定理は、 ハミルトン系の場合、位相空間を通る粒子の経路に従うミクロ状態の局所密度は、集団とともに移動する観測者から見ると一定である（つまり、対流時間微分はゼロである）と述べています。したがって、ミクロ状態が最初に位相空間に均一に分布している場合、それらは常にその状態を維持します。ただし、リウヴィルの定理は、エルゴード仮説がすべてのハミルトン系に当てはまることを意味するものではありません。

エルゴード仮説は、計算物理学の統計分析でよく想定されます。分析者は、プロセス パラメータの時間の経過に伴う平均と統計アンサンブルの平均は同じであると想定します。この想定 (システムを長期間にわたってシミュレートすることは、同じシステムを独立して実現することと同じくらい良いという想定) は、常に正しいとは限りません。(たとえば、 1953 年のフェルミ、パスタ、ウラム、チンゴウの実験を参照してください。)

エルゴード仮説を仮定すると、第二種の永久機関の特定のタイプは不可能であることが証明されます。

エルゴードなシステムはエルゴード性の特性を持つと言われ、幾何学、物理学、確率の分野における広範囲のシステムがエルゴードです。エルゴードなシステムはエルゴード理論で研究されます。

マクロなシステムでは、システムがそれ自身の位相空間全体を実際に探索できる時間スケールは、熱力学的平衡状態が何らかの形のエルゴード性の破れを示すほど十分に大きい場合がある。一般的な例は、強磁性システムの自発磁化であり、キュリー温度未満では、システムが時間平均磁化がゼロになるはずのすべての状態を探索するため、エルゴード仮説によれば正味の磁化は存在しないはずであるにもかかわらず、システムは非ゼロの磁化を優先的に採用する。マクロなシステムがエルゴード仮説の文字通りの形に違反することが多いという事実は、自発的対称性の破れの一例である。

しかし、スピングラスのような複雑な無秩序系では、さらに複雑な形態のエルゴード性の破れが見られ、実際に見られる熱力学的平衡状態の特性は、対称性の議論だけで予測するのがはるかに困難です。また、従来のガラス（窓ガラスなど）も複雑な形でエルゴード性を破ります。実際には、これは、十分に短い時間スケール（数秒、数分、または数時間など）では、システムが固体、つまり正のせん断弾性率を持つように振る舞う可能性があるが、非常に長いスケール、たとえば数千年または数億年では、液体、または2つ以上の時間スケールとその間のプラトーとして振る舞う可能性があることを意味します 。^[2]

金融や投資で使用されるモデルは、明示的または暗黙的にエルゴード性を前提としています。エルゴード仮説は、現代ポートフォリオ理論、割引キャッシュフロー(DCF) モデル、マクロ経済学に浸透する集計指標モデルなどで広く使用されています。

これらの理論によってモデル化された状況は有用である可能性があります。しかし、多くの場合、それらは研究対象の特定の期間の大部分でのみ有用であり、すべてにおいて有用であるわけではありません。したがって、金融危機、債務危機、銀行システムのシステミックリスクなど、まれにしか発生しない標準モデルからの最も大きな逸脱の一部を見逃す可能性があります。

ナシム・ニコラス・タレブは、金融と投資における経験的現実の非常に重要な部分は非エルゴード的であると主張した。システムがあらゆる可能な状態に無限回戻るという確率の均等な統計的分布は、破滅が見られる状態である「吸収状態」に達した状況で観察されるケースとは明らかに異なる。個人の死、すべてのものの完全な喪失、国民国家とそれに伴う法制度の委譲または解体はすべて吸収状態である。したがって、金融では経路依存性が重要である。個人、企業、または国が「停止」にぶつかる経路、つまり吸収障壁、「ゲームに身を投じている人々がそこから抜け出すのを妨げるもの、そしてシステムが必ず向かうもの。これらの状況を破滅と呼びましょう。なぜなら、その状態から抜け出すことができないからです。中心となる問題は、破滅の可能性があると、費用便益分析がもはや不可能になるということです。」 ^{[3] は}非エルゴード的になります。標準的な確率統計に基づく従来のモデルはすべて、このような極端な状況では機能しなくなります。

エルゴード性経済学という新興分​​野では、非エルゴードダイナミクスを取り入れることで、新古典派経済学や多元主義経済学に対する批判の一部にどう対処できるかが示され始めています。^{[4] [5]また}、実際には、投資家や起業家が、ビジネスや投資ファンドの典型的な結果（非エルゴード資本ダイナミクス下）が期待値よりも低くなるのを修正するために何ができるかが示され始めています。この修正は、再生経済理論で説明されている再生経済が実際に機能するために必要です。

社会科学において、エルゴード仮説は、個人が集団を代表し、またその逆もまた真であり、集団の平均が個人に見られる特徴を適切に表すことができるという仮定に対応する。これは当てはまらないようで、集団レベルのデータは、個人レベルの変動を十分に示さないことが多く、^{[7] [8]}個人の標準偏差（SD）は、同じ人々の集団レベルのSDのほぼ8倍になる傾向がある。^[8]その結果、個人の観察の3分の1は、集団レベルのデータの99.9％信頼区間外になる。

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