AM-GM不平等

数学において、算術平均と幾何平均の不等式、またはより簡潔にAM-GM 不等式は、非負の実数のリストの算術平均が同じリストの幾何平均以上であること、さらに、リスト内のすべての数値が同じである場合にのみ2 つの平均が等しいこと(その場合には両方ともその数値である) を定義します。

最も単純で自明でないケースは、2つの非負数xと yの場合である。つまり、

${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}}$

が等しくなるのは、 x = yの場合のみです。これは、実数の平方は常に非負（ゼロ以上）であるという事実と、恒等式( a ± b ) ² = a ² ± 2 ab + b ²から導かれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq (xy)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}}$

したがって、( x + y ) ² ≥ 4 xyであり、 ( x − y ) ² = 0、つまりx = y のとき等式となります。両辺の正の平方根をとり、両辺を2で割ると、AM-GM 不等式が成り立ちます。

幾何学的な解釈としては、辺の長さが xと yの長方形を考えます。長方形の周囲は2 x + 2 y、面積はxyです。同様に、すべての辺の長さが√ xy の正方形の周囲は4 √ xyで、面積は長方形と同じです。AM-GM 不等式の最も単純で非自明なケースでは、周囲について2 x + 2 y ≥ 4 √ xyであり、面積が等しいすべての長方形の中で周囲が最小なのは正方形だけであることが示されています。  

最も単純な例はユークリッドの『原論』第5巻の命題25に暗示されている。 ^[2]

AM-GM不等式の拡張では、加重平均と一般化平均を扱います。

n個の数値x ₁、x ₂、 . . . 、x _nのリストの算術平均、またはより正確には平均は、数値の合計をn で割ったもの です。

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

幾何平均も同様ですが、非負の実数のリストに対してのみ定義され、加算と除算の代わりに 乗算とルートを使用します。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.}}$

x ₁、x ₂、...、x _n > 0の場合、これは数値の 自然対数の算術平均の指数に等しくなります。

${\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).}$

数学的記法を用いて不等式を言い直すと、n個の非負実数x ₁ , x ₂ , . . . , x _nの任意のリストに対して、

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,}$

そしてその等式はx ₁ = x ₂ = · · · = x _nの場合にのみ成立します。

2 次元では、2 x ₁ + 2 x _{2 は}、辺の長さが x ₁と x ₂の長方形の周囲です。同様に、4 √ x ₁ x _{2 は、}その長方形と同じ面積x ₁ x ₂の正方形の周囲です。したがって、 n = 2の場合、AM-GM 不等式は、与えられた面積の長方形が正方形でもある場合、その長方形の周囲は最小であることを示しています。

完全な不等式は、この考え方をn次元に拡張したものです。辺の長さが x ₁、x ₂、...、x _nであるn次元のボックスを考えます。ボックスのすべての頂点は、異なる方向のn個の辺に接続されているため、頂点に接続する辺の平均長さは( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n )/ nです。一方、 は、等しい体積のn次元の立方体の辺の長さであるため、立方体の頂点に接続する辺の平均長さでもあります。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

したがって、AM-GM不等式は、同じ体積を持つすべてのn次元ボックスの中で、各頂点に接続された辺の平均長さが最小となるのはn立方体だけであることを示しています。^[3]

ならば、AM-GM不等式は、 ${\displaystyle a,b,c>0}$

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

の単純な上限が見つかる。AM-GMは次のように述べている。 ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

など

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

で等しい。 ${\displaystyle n=1}$

同様に、

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

機能について考える

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac { z}{x}}}}$

すべての正の実数x、y、  zに対して、この関数の最小値を見つけたいとします。これは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

AM-GM不等式をn = 6に適用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

さらに、平均のすべての項が等しいとき、両辺が正確に等しいことがわかります。

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

これらの条件を満たすすべての点（x、y、z）は原点から始まる半直線上にあり、次のように表される。

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

AM-GM 等式はコーシー・シュワルツの不等式を証明するために使用できます。^[要出典]

金融数学において、AM-GM 不等式は、年率収益、すなわち幾何平均が平均年間収益、すなわち算術平均よりも小さいことを示します。

モツキン多項式は、 二乗多項式の和​​ではない非負多項式である。 、、のAM-GM不等式を使って非負であることが証明できる^[4]。つまり、 を簡略化して両辺を3倍すると、 となる[ ^5]。$${\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}$$${\displaystyle x_{1}=x^{4}y^{2}}$${\displaystyle x_{2}=x^{2}y^{4}}$${\displaystyle x_{3}=1}$$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}.}$$$${\displaystyle {3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1},}$$ $${\displaystyle {0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}.}$$

AM-GM 不等式はさまざまな方法で証明できます。

ジェンセンの不等式は、算術平均の凹関数の値は、関数の値の算術平均以上であると述べています。対数関数は凹なので、

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\prod x_{i}\right)^{1/n}.}$

左端と右端の 逆対数を取ると、AM-GM 不等式が得られます。

私たちはそれを示さなければなりません

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

すべての数字が等しい場合にのみ平等となります。

すべての数が等しいわけではない場合、となる数が存在する。x _iを で、x _jを で置き換えても、数の算術平均は変わらないが、幾何平均は増加する。 ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

それでも数値が等しくない場合は、上記のように数値の置き換えを続けます。最大でこのような置き換えステップを 回実行した後、すべての数値が に置き換えられますが、幾何平均は各ステップで厳密に増加します。最後のステップの後、幾何平均は になり、不等式が証明されます。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$

置換戦略は右辺からも同様に適用できることに留意してください。いずれかの数が 0 であれば幾何平均も 0 となり、不等式は自明に証明されます。したがって、すべての数が正であると仮定できます。すべてが等しくない場合は、 となる数が存在します。をに置換すると幾何平均は変わりませんが、算術平均は厳密に減少します。 ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$証明は、以前の置き換えの場合と同様の流れに沿って進みます。

非負の実数x ₁ , . . . , x _nについて、AM-GMステートメントは次と同等である。

${\displaystyle \alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

α = x _{i が}すべてのi ∈ {1, . . . , n }に対して成立する場合に限り、等式となります。

以下の証明では、数学的帰納法とよく知られた算術規則のみを適用します。

帰納的根拠: n = 1 の場合、ステートメントは等式で真です。

帰納法の仮説: AM-GM 命題がn 個の非負の実数のすべての選択に対して成り立つと仮定します。

帰納法のステップ: n + 1 個の非負実数x ₁ , . . . , x _{n +1} ,を考える。それらの算術平均α は次式を満たす。

${\displaystyle (n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.}$

すべてのx _iがαに等しい場合、AM-GM ステートメントで等号が成立し、これで完了です。一部がαに等しくない場合は、算術平均αより大きい数が 1 つ、 αより小さい数が 1 つ存在する必要があります。一般性を失うことなく、 x _{i を}並べ替えて、これらの 2 つの要素を最後に配置することができます。 x _n > αおよび x _{n +1} < αです。

${\displaystyle x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0}$

${\displaystyle \implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}$

ここでyを次のように 定義する。

${\displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,}$

そして、すべて負でない n個の数x ₁ , . . . , x _{n –1} , yを考える。

${\displaystyle (n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}}$

${\displaystyle n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},}$

したがって、αはn個の数値x ₁ , . . . , x _{n –1} , yの算術平均でもあり、帰納法の仮説は以下を示唆する。

${\displaystyle \alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)}$

(*)により、

${\displaystyle (\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,}$

したがって

${\displaystyle y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})}$

特にα > 0である。したがって、 x ₁、...、x _{n –1}の少なくとも 1 つが0 であれば、(**) で厳密な不等式が成立している。そうでない場合は、(**) の右辺が正であり、(***) の推定値を使用して (**) の右辺の下限値を求めることで厳密な不等式が成立する。したがって、どちらの場合も (***) を (**) に代入して、

${\displaystyle \alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,}$

これで証明は完了です。

まず、実数x ₁ < 1およびx ₂ > 1に対して次式が成り立つ ことを証明します。

${\displaystyle x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.}$

実際、不等式x ₂ > 1の両辺に1 – x ₁を掛けると、

${\displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},}$

そこから必要な不等式が直ちに得られます。

ここで、 x 1 . . . . x _n = ₁を満たす 正の実数x ₁ , . . . , x _nに対して、次が成り立つ ことを証明します。

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.}$

この等式はx ₁ = ... = x _n = 1の場合にのみ成立します。

帰納的根拠: n = 2 の場合、上記の性質により、このステートメントは真です。

帰納法の仮説: n – 1までのすべての自然数に対してこの命題が真であると仮定します。

帰納法のステップ:自然数n、つまり正の実数x ₁、...、x _nについて、 x ₁、...、x _n = 1が成り立ちます。 x _k < 1が少なくとも 1 つ存在するので、 x _j > 1が少なくとも 1 つ存在する必要があります。一般性を失うことなく、 k = n – 1、j = nとします。

さらに、等式x ₁ . . . x _n = 1は( x ₁ . . . x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1と書きます。すると、帰納法の仮定から次のことが分かります。

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})>n-1.}$

しかし、帰納的基礎を考慮すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}}$

これで証明は完了です。

正の実数a ₁ , . . . , a _nについて、

${\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.}$

数x ₁ , . . . , x _{n は}条件x ₁ . . . x _n = 1を満たす。したがって、

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,}$

そこから得られる

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}$

この等式はa ₁ = ... = a _nの場合にのみ成立します 。

以下の場合分けによる証明は、よく知られた算術規則に直接依存していますが、めったに使用されない前方後方帰納法の手法を採用しています。これは基本的にオーギュスタン＝ルイ・コーシーの著書「Cours d'analyse」に載っています。^[6]

すべての条件が等しい場合:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},}$

それらの合計はnx ₁なので、算術平均は x ₁です。また、それらの積はx ₁ ⁿなので、幾何平均はx ₁です 。したがって、算術平均と幾何平均は、期待どおりに等しくなります。

すべての項が等しくない場合、算術平均は幾何平均よりも大きくなることを示す必要があります。明らかに、これはn > 1 の場合にのみ可能です。

このケースは非常に複雑なので、サブケースに分割します。

n = 2の場合、 x ₁とx _{2 の}2 つの項があり、（仮定により）すべての項が等しいわけではないため、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$

ご希望に応じて。

n = 2 ^k（kは正の整数） の場合を考えます。数学的帰納法で進めていきます。

基本ケースでは、k = 1なので、n = 2です。 n = 2 のときに不等式が成り立つことはすでに示したので、これで終わりです。

ここで、与えられたk > 1に対して、不等式がn = 2 ^{k −1}に対して成立することをすでに示しており、それがn = 2 ^kに対して成立することを示したいとします。そのためには、不等式を2 ^{k -1 の}数に対して 2 回、2 の数に対して 1 回適用して、次の式を得ます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}$

最初の不等式では、両辺が等しいのは

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}$

そして

${\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}$

(この場合、最初の算術平均と最初の幾何平均は両方とも x ₁に等しく、2 番目の算術平均と 2 番目の幾何平均も同様です)。2 番目の不等式では、2 つの幾何平均が等しい場合にのみ、2 つの辺が等しくなります。2 k 個の数値がすべて等しいわけではないため、^両方の不等式が等しくなることは不可能であり、次のことがわかります。

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}$

ご希望に応じて。

もしn が2の自然冪でなければ 、それは確実に2 の自然冪より小さい。なぜなら、2、4、8、…、2 ^k、…という数列はそれ以上無限だからである。したがって、一般性を失うことなく、m をnより大きい 2の自然冪としよう。

したがって、 n個の項がある場合、それらの算術平均をαで表し 、項のリストを次のように拡張します。

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .}$

すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {(m-n)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}})(\because x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}={\frac {{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{n}})\\[3pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}$

それで

${\displaystyle \alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}$

そして

${\displaystyle \alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

ご希望に応じて。

次の証明では数学的帰納法といくつかの基本的な微分積分​​が使用されています。

帰納的根拠: n = 1の場合、このステートメントは等式とともに真です。

帰納法の仮説: AM-GM 命題がn 個の非負の実数のすべての選択に対して成り立つと仮定します。

帰納法のステップ： n + 1個の非負実数x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1}に対する命題を証明するには、次のことを証明する必要がある。

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

n + 1 個の数値がすべて等しい場合にのみ等しくなります。

すべての数がゼロの場合、不等式は等式とともに成立します。すべての数がゼロではなく一部の数がゼロの場合、厳密な不等式が成立します。したがって、以下では、n + 1 個の数はすべて正であると仮定できます。

最後の数x _{n +1を}変数として関数を定義する。

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

帰納法のステップを証明することは、すべてのt > 0に対してf ( t ) ≥ 0 であることを示すことと同等であり、 x ₁、...、x _{n 、}および tがすべて等しい場合にのみf ( t ) = 0になります。これは、いくつかの基本的な微積分を使用してfの 臨界点を分析することで実行できます。

fの1次導関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

臨界点t _{0 は}f′ ( t ₀ ) = 0 を満たす必要がある。これは

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

少しアレンジを加えると

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

そして最後に

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

これはx ₁、...、x _nの幾何平均です。これはfの唯一の臨界点です 。すべてのt > 0に対してf′′ ( t ) > 0であるため、関数 fは厳密に凸であり、 t ₀で 厳密な最小値を持ちます。次に、この最小値での関数の値を計算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

ここで、最終的な不等式は帰納法の仮説により成り立ちます。この仮説では、 x ₁、...、x _nがすべて等しい場合にのみ等式が成り立つとも述べています。この場合、それらの幾何平均  t ₀は同じ値を持ちます。したがって、 x 1 、...、 x n 、 x n +1 がすべて等しくない限り、_f ( x _n +1 ) _{> 0}となります。これで_証明は完了です。

この手法は、ユークリッド空間R ⁿにおける一般化 AM-GM 不等式とコーシー-シュワルツ不等式を証明するのにも同じ方法で使用できます。

ジョージ・ポリアは、次のような証明を提供しました。すべての実数 xについて、 f ( x ) = e ^{x –1} – xとし、第1導関数f′ ( x ) = e ^{x –1} – 1、第 2 導関数f′′ ( x ) = e ^{x –1}とします。すべての実数xについて、 f (1) = 0、f′ (1) = 0、f′′ ( x ) > 0であることに注目してください。したがって、f は厳密に凸であり、 x = 1で絶対最小値となります。したがって、すべての実数xについて 、 x ≤ e ^{x –1}であり 、 x = 1の場合にのみ等式となります。

非負の実数x ₁ , x ₂ , . . . , x _nのリストを考えます。これらがすべてゼロの場合、AM-GM不等式は等式で成り立ちます。したがって、以下ではそれらの算術平均α > 0を仮定できます。上記の不等式を n回適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

任意のi ∈ {1, . . . , n }に対してx _i = αが成立する場合に限り等式が成り立ちます。指数関数の引数は次のように簡略化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

(*)に戻ると、

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

これはx ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿを生成し、したがって結果は^[7]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

のいずれかが である場合、証明するものは何もありません。したがって、 はすべて厳密に正であると仮定できます。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x_{i}}$

算術平均と幾何平均は次数 1 の同次であるため、一般性を失うことなく と仮定します。、および と設定します。制約条件の下で の最小値がに等しく、 の場合にのみ最小値が達成されることを示すことができれば、不等式は (等式の場合とともに) 証明されます。まず、制約条件付き最小化問題には大域的最小値があることを示しましょう。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$

を設定します。共通部分はコンパクトなので、極値定理により、制約条件およびの制約下でのの最小値は、の内部のある点で達成されることが保証されます。一方、 のいずれかの場合、、およびとなるのに対し、 となることに注意してください。これは、の内部の任意の点でのの値が最小値よりも小さくなることはなく、 の内部以外の任意の点でのの値がにおける値よりも確実に大きく、 が最小値よりも小さくならないため、 の内部の最小値は実際には大域的最小値であることを意味します。 ${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x_{i}>n}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$

ラグランジュ乗数法によれば、ある に対して の勾配がの勾配を掛け合わせた点で、大域的最小値が得られる。これが起こる唯一の点はおよび の ときであることを示す。${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

計算 と ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

制約に沿って。したがって、勾配を互いに比例するように設定すると、それぞれ に対して となり、したがって となります。左辺は に依存しないため、 となり、 であるため、 となり、 であることが予想どおりとなります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$

加重算術平均と加重幾何平均にも同様の不等式が成り立ちます。具体的には、非負数 x ₁、x ₂、...、x _nと非負の重みw ₁、w ₂、...、w _nが与えられているとします。w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _nと設定します。  w > 0の場合、不等式は次 のようになります。

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

w _k > 0となるすべてのx _kが等しい場合にのみ等式が成立します。ここでは0 ⁰ = 1という規則が使用されています。

すべてw _k = 1の場合、これは上記の算術平均と幾何平均の不等式に帰着します。

これのより強力なバージョンは、アルダズによるもので、重み付けされていないバージョンの強化バージョンも提供します。特に、重み付けされた算術平均と重み付けされた幾何平均には同様の不等式があります。具体的には、非負数 x ₁、x ₂、...、x _nと非負の重みw ₁、w ₂、...、w _nが与えられているとします。さらに、重みの合計が 1 であると仮定します。すると、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$^[8 ]

自然対数に対するジェンセンの不等式の有限形式を使用すると、上記の加重算術平均と加重幾何平均の間の不等式を証明できます。

重みw _k = 0のx _{k は}不等式に影響を与えないため、以下ではすべての重みが正であると仮定できます。すべてのx _kが等しい場合、等式が成立します。したがって、すべてが等しくない場合は厳密な不等式を証明する必要がありますが、これも以下で仮定します。少なくとも 1 つのx _kがゼロ (すべてではない) の場合、加重幾何平均はゼロですが、加重算術平均は正であるため、厳密な不等式が成立します。したがって、すべてのx _kが正であるとも仮定できます。

自然対数は厳密に凹なので、ジェンセンの不等式の有限形式と自然対数の 関数方程式は次を意味する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}}$

自然対数は厳密に増加するので、

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.}$

算術幾何平均不等式のほとんどの行列一般化は、ユニタリ不変ノルムのレベルで適用されます。なぜなら、行列とが半正定値であっても、行列は半正定値ではない可能性があり、したがって標準平方根を持たない可能性があるからです。^[9]で、 BhatiaとKittanehは、任意のユニタリ不変ノルムと半正定値行列とに対して、次のようになること を証明しました。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle |||\cdot |||}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

その後、^[10]で同じ著者らは、

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

最後に、次元に対して、算術幾何平均不等式の次の最も強力な行列一般化が成り立つことが知られており、すべての次元に対して成り立つと推測される。${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

この不等式の推測は2012年にスティーブン・ドゥルーリーによって示されました。実際、彼は^{[11]を証明しました。}

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

金融分野では、将来の複数の期間にわたる資産の収益率を正確に予測することに多くの研究が行われています。対数正規分布の資産収益率の場合、幾何分布の資産収益率から算術分布の資産収益率を計算する正確な公式があります。

簡単にするために、 N年間の年間幾何収益r ₁、r ₂、...、r _Nを見ていると仮定します。つまり 、

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

どこ：

${\displaystyle V_{n}}$= 時点の資産の価値、${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n-1}}$= 時点における資産の価値。${\displaystyle n-1}$

幾何および算術リターンはそれぞれ次のように定義される。

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N},}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

年間幾何資産収益が対数正規分布している場合、次の式を使用して幾何平均収益を算術平均収益に変換できます。^[12]

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

ここで、は観測された資産収益の分散である_。このNに対する暗黙の方程式は次のように正確に解くことができる。まず、 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

2次の多項式方程式が得られます。

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

この方程式をzについて解き、 zの定義を使用すると、 N の 4 つの可能な解が得られ_ます。

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

しかし、

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$

これは、（資産収益が実数であるため）唯一の可能な解決策が次の 2 つであることを意味します。

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

最後に、 a _Nのg _Nに対する導関数は非負であることが期待されます。これは、幾何収益の増加が算術収益の減少を引き起こすことは決してないからです。実際、どちらも資産価値の平均成長を測るものなので、同様の方向に動くはずです。これにより、a _Nの暗黙の方程式の解が1つ得られます。

${\displaystyle a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

したがって、対数正規分布の資産収益率を仮定すると、算術資産収益率は幾何資産収益率によって完全に決定されます。

算術平均と幾何平均の不等式のその他の一般化には次のものがあります。

• ミュアヘッドの不等式、
• マクローリンの不等式、
• QM-AM-GM-HM不等式、
• 一般化平均不等式、
• 複素数の平均^[13]

• ホフマンのパッキングパズル
• Ky Fan 不平等
• ヤングの積の不等式

• Arthur Lohwater (1982)。「不等式入門」。PDF 形式のオンライン電子書籍。