スペクトル（トポロジー）

数学の一分野である代数的位相幾何学において、スペクトルは一般化されたコホモロジー理論を表現するオブジェクトである。そのようなコホモロジー理論はすべて表現可能であり、これはブラウンの表現可能性定理から導かれる。これは、コホモロジー理論が与えられた場合、

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}}$、

ある空間上の次数におけるコホモロジー理論を評価することが、その空間への写像のホモトピー類を計算することと等価となるような空間が存在する。つまり、${\displaystyle E^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]}$。

スペクトルにはいくつかの異なるカテゴリがあり、多くの技術的な困難につながることに注意してください^[1]が、それらはすべて同じホモトピーカテゴリ、つまり安定ホモトピーカテゴリを決定します。これは、スペクトルが安定ホモトピー理論の自然なホームを形成するため、スペクトルを導入するための重要なポイントの1つです。

定義には多くのバリエーションがあります。一般に、スペクトルは、構造マップ を伴う、尖った位相空間または尖った単体集合の任意のシーケンスです。ここで、 はスマッシュ積です。尖った空間と円のスマッシュ積は、の縮小サスペンションに同相で、 と表記されます。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \シグマX}$

以下はFrank Adams (1974) によるものです。スペクトル (または CW スペクトル)は、 CW 複合体のシーケンスであり、サスペンションの包含物がそのサブ複合体として含まれています。 ${\displaystyle E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}}$${\displaystyle E_{n+1}}$

その他の定義については、対称スペクトルと単体スペクトルを参照してください。

スペクトルの最も重要な不変量のいくつかは、そのホモトピー群である。これらの群は、サスペンションマップの構造がその定義に不可欠なので、空間の安定ホモトピー群の定義を反映している。スペクトルが与えられたとき、ホモトピー群を余極限として定義する。${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi _{n}(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

ここで、写像は写像の合成（つまり、の関数性によって与えられる）と構造写像から誘導されます。スペクトルが連結的であるとは、kが負の場合に 0 になることを意味します。 ${\displaystyle \Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})}$${\displaystyle [S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$${\displaystyle \pi_{k}}$

アーベル群の係数を持つ特異コホモロジー を考える。CW複体の場合、群はからへの写像のホモトピー類の集合、つまり次数 にホモトピーが集中するアイレンバーグ・マクレーン空間と同一視できる。これを次のように書く。${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{n}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

すると、対応するスペクトルは- 番目の空間を持ち、のアイレンバーグ・マクレーンスペクトルと呼ばれる。この構成は、任意の環をスペクトルのカテゴリに埋め込むために使用できることに注意する。この埋め込みは、導来代数幾何学のモデルであるスペクトル幾何学の基礎を形成する。この埋め込みの重要な特性の 1 つは、同型性である。${\displaystyle HA}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

スペクトルのカテゴリを示すことで、可換環の導出情報を追跡できます。ここで、スマッシュ積は導出テンソル積として機能します。さらに、アイレンバーグ–マクレーンスペクトルは、可換環の位相ホックシルトホモロジーなどの理論を定義するために使用できます。これは、古典的なホックシルトホモロジーよりも洗練された理論です。

2 番目の重要な例として、位相 K 理論について考えます。少なくともX がコンパクトな場合、はX上の複素ベクトル束のモノイドのグロタンディーク群として定義されます。また、は X のサスペンション上のベクトル束に対応する群です。位相 K 理論は一般化されたコホモロジー理論であるため、スペクトルを与えます。ゼロ番目の空間は であり、最初の空間は です。ここでは無限ユニタリ群であり、 はその分類空間です。ボット周期性により、すべてのnに対してと が得られるため、位相 K 理論スペクトルのすべての空間は または によって与えられます。複素ベクトル束の代わりに実ベクトル束を使用した対応する構成があり、これは 8 周期スペクトルを与えます。 ${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle BU}$${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$${\displaystyle U}$

スペクトルの典型的な例の1つは球スペクトル です。これは、球の安定ホモトピー群によってホモトピー群が与えられるスペクトルです。${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

このスペクトルを明示的に次のように記述することができます。ここで、スマッシュ積はこのスペクトル上の積構造を与えます。${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

は 上に環構造を誘導します。さらに、対称スペクトルのカテゴリを考慮すると、これは可換環のカテゴリにおける に類似した初期オブジェクトを形成します。${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

スペクトルのもう一つの標準的な例は、さまざまなコボルディズム理論を表すトム スペクトルです。これには、実コボルディズム、複素コボルディズム、フレーム コボルディズム、スピン コボルディズム、ストリング コボルディズムなどが含まれます。実際、任意の位相群に対してトム スペクトルが存在します。 ${\displaystyle MO}$${\displaystyle MU}$${\displaystyle MSpin}$${\displaystyle MString}$${\displaystyle G}$${\displaystyle MG}$

スペクトルは空間から構築される。空間 のサスペンションスペクトルはスペクトル（構造写像は恒等写像である）と表記される。例えば、0-球面のサスペンションスペクトルは、上で議論した球面スペクトルである。このスペクトルのホモトピー群は の安定ホモトピー群であるので、${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

サスペンションスペクトルの構成は、あらゆる空間がコホモロジー理論として考えられることを意味している。実際、それは関数を定義する。

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

CW複体のホモトピー圏からスペクトルのホモトピー圏への射影は次のように与えられる。

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

フロイデンタールの懸垂定理により、最終的には安定する。これは

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$そして${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

有限の整数に対してである。CW複素数に対しては、逆の構成があり、スペクトルを取り、空間を形成する。${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

スペクトルの無限ループ空間と呼ばれる。CW複素数の場合${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

そしてこの構成はあらゆる に対して包含関係を持つので、地図が得られる。${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

これは単射である。残念ながら、この2つの構造は、スマッシュ積の追加により、スペクトル理論において著しい複雑さをもたらす。なぜなら、これらの構造に関連する5つの公理のリストを満たすスペクトルの単一のカテゴリは存在できないからである。^[1]上記の随伴は、空間とスペクトルのホモトピーカテゴリでのみ有効であり、特定のスペクトルカテゴリ（ホモトピーカテゴリではない）では常に有効であるわけではない。

Ω スペクトルは、構造マップの随伴 (つまり、マップ) が弱同値であるスペクトルです。環の K 理論スペクトルは、 Ω スペクトルの例です。${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$

環スペクトルは、スマッシュ積に関して環公理を記述する図が「ホモトピーまで」可換であるスペクトルXです (恒等式に対応します)。たとえば、位相的K理論のスペクトルは環スペクトルです。モジュール スペクトルも同様に定義できます。 ${\displaystyle S^{0}\to X}$

さらに多くの例については、コホモロジー理論のリストを参照してください。

スペクトルをオブジェクトとし、その射を以下で定義する関数、マップ、またはホモトピー類とする自然カテゴリが 3 つあります。

2つのスペクトルEとFの間の関数は、 ΣE _n  →  E _{n +1}およびΣF n _→  F  n _+1のマップと可換なE _nからF _nへのマップのシーケンスです。

スペクトル が与えられた場合、サブスペクトルはスペクトルでもあるサブ複合体のシーケンスです。 の各iセルはの( i  + 1) セルに懸濁するため、共最終サブスペクトルは、有限回の懸濁の後に親スペクトルの各セルが最終的にサブスペクトルに含まれるサブスペクトルです。スペクトルのマップをの共最終サブスペクトルからへ の関数として定義することで、スペクトルをカテゴリに変換できます。ここで、2 つのこのような関数は、ある共最終サブスペクトルで一致する場合、同じマップを表します。 直感的には、このようなスペクトルのマップはどこでも定義されている必要はなく、最終的に定義されるだけでよく、共最終サブスペクトルで一致する 2 つのマップは同等であると言えます。 これにより、主要なツールであるスペクトル(およびマップ) のカテゴリが得られます。 このカテゴリには、尖った CW 複合体のカテゴリを自然に埋め込むことができます。つまり、 は、 n番目の複合体が である懸濁スペクトルになります。 ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle E_{j+1}}$${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma ^{n}Y}$

スペクトルと尖った複体のスマッシュ積は、スペクトルによって与えられる（スマッシュ積の結合性から、これがスペクトルであることがすぐにわかる）。スペクトル間の写像のホモトピーは写像 に対応し、ここで は基点とみなされる 分離和である。${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X}$${\displaystyle (E\wedge I^{+})\to F}$${\displaystyle I^{+}}$${\displaystyle [0,1]\sqcup \{*\}}$${\displaystyle *}$

安定ホモトピーカテゴリ、または(CW) スペクトルのホモトピーカテゴリは、オブジェクトがスペクトルであり、その射がスペクトル間のマップのホモトピークラスであるカテゴリとして定義されます。スペクトルの他の多くの定義は、非常に異なっているように見えますが、同等の安定ホモトピーカテゴリにつながります。

最後に、スペクトルのサスペンションを で定義できます。この変換サスペンションは可逆であり、 を設定することでサスペンションを解除することもできます。 ${\displaystyle (\Sigma E)_{n}=E_{n+1}}$${\displaystyle (\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}}$

安定ホモトピー圏は加法的である。つまり、ホモトピー群を定義するために使われるトラック加算の変形を使ってマップを追加することができる。したがって、あるスペクトルから別のスペクトルへのホモトピー類はアーベル群を形成する。さらに、安定ホモトピー圏は三角形に分割されており（Vogt (1970)）、シフトはサスペンションによって与えられ、区別される三角形はスペクトルの マッピング円錐シーケンスによって与えられる。

${\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X}$。

スペクトルのスマッシュ積は、CW 複体のスマッシュ積を拡張します。これにより、安定ホモトピー カテゴリがモノイド カテゴリになります。言い換えると、アーベル群の (導来) テンソル積のように動作します。スマッシュ積の主な問題は、それを定義するための明白な方法により、ホモトピーまでしか結合的および可換的にならないことです。対称スペクトルなどの最近のスペクトルの定義では、この問題が解消され、ホモトピー クラスに進む前に、マップのレベルで対称モノイド構造が提供されます。

スマッシュ積は三角形のカテゴリ構造と互換性があります。特に、スペクトルを持つ区別された三角形のスマッシュ積は区別された三角形です。

スペクトルの（安定な）ホモトピー群は次のように 定義できる。

${\displaystyle \displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]}$、

ここで は球面スペクトルであり、は からへの写像のホモトピー類の集合である。スペクトルEの一般化ホモロジー理論を次のように 定義する。${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]}$

そしてその一般化されたコホモロジー理論を次のように定義する。

${\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}$

ここにはスペクトル、または（そのサスペンション スペクトルを使用することで）空間が存在する可能性があります。 ${\displaystyle X}$

スペクトルを扱い、スペクトルのカテゴリを定義する際の典型的な複雑さの1つは、これらのカテゴリのそれぞれが、スペクトルの無限ループ空間に関する5つの一見明白な公理を満たすことができないという事実から生じます。${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}}$

送信

${\displaystyle QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

空間のカテゴリとスペクトルのカテゴリの両方における随伴関手のペア、およびスマッシュ積。を基底付きコンパクト生成の弱ハウスドルフ空間のカテゴリ、 をスペクトルのカテゴリとすると、スペクトルの特定のモデルでは次の5つの公理が満たされることはありません。^[1]${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\text{Top}}_{*}}$${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$

1. ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$はスマッシュ積に関して対称モノイドカテゴリである${\displaystyle \wedge }$
2. この関手は左随伴であり、${\displaystyle \Sigma ^{\infty }}$${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$
3. スマッシュ積の単位は球スペクトルである${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S} }$
4. 両方のカテゴリに自然変換が存在するか、単位オブジェクトと交換する自然変換が存在し、両方のカテゴリに可換同型と結合同型が存在します。${\displaystyle \phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$${\displaystyle \gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$
5. 交換図が存在する自然な弱同値性があります。${\displaystyle \theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX}$${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})}$

   ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}}$

   付加関数の単位マップはどこですか。${\displaystyle \eta }$

このため、スペクトルの研究は、使用されているモデルに基づいて細分化されます。概要については、上記の記事を参照してください。

スペクトルの概念の一種は、1958 年のElon Lages Limaの博士論文で導入されました。彼の指導教官Edwin Spanier は1959 年にこの主題についてさらに執筆しました。スペクトルは、 1960 年代初頭にMichael AtiyahとGeorge W. Whiteheadの一般化ホモロジー理論に関する研究で採用されました。1964 年のJ. Michael Boardmanの博士論文では、スペクトルのカテゴリとそれらの間のマップ (ホモトピー類だけではない) の実行可能な定義が与えられました。これは、不安定な場合の CW 複合体のカテゴリと同じくらい、安定なホモトピー理論で役立ちます。(これは基本的に上記のカテゴリであり、現在でも多くの目的で使用されています。他の説明については、Adams (1974) または Rainer Vogt (1970) を参照してください。) ただし、1990 年以降、さらに重要な理論的進歩が遂げられ、スペクトルの形式的な特性が大幅に改善されました。その結果、最近の多くの文献では、スペクトルの修正された定義が使用されています。Michael Mandellらを参照してください。 (2001) では、これらの新しいアプローチを統一的に扱いました。

• リングスペクトル
• 対称スペクトル
• Gスペクトル
• スペクトルのマッピング
• サスペンション（トポロジー）
• アダムススペクトル列

• アダムス、J.フランク（1974）。安定ホモトピーと一般化ホモロジー。シカゴ大学出版局。ISBN 9780226005249。
• Elmendorf, Anthony D.; Kříž, Igor; Mandell, Michael A.; May, J. Peter (1995)、「安定ホモトピー理論の現代的基礎」(PDF)、James., Ioan M. (ed.)、Handbook of algebraic topology、アムステルダム: North-Holland、pp. 213–253、CiteSeerX  10.1.1.55.8006、doi :10.1016/B978-044481779-2/50007-9、ISBN 978-0-444-81779-2、MR  1361891

• Mandell, Michael A.; May, J. Peter ; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001)、「ダイアグラムスペクトルのモデルカテゴリ」、Proceedings of the London Mathematical Society、シリーズ 3、82 ( 2): 441–512、CiteSeerX  10.1.1.22.3815、doi :10.1112/S0024611501012692、MR  1806878、S2CID  551246

• アティヤ、マイケル F. (1961)。「ボルディズムとコボルディズム」。ケンブリッジ哲学協会紀要。57 (2) : 200–8。doi :10.1017 / s0305004100035064。S2CID  122937421。

• リマ、エロン・ラゲス (1959)、「新しいホモトピーカテゴリーにおけるスパニアー・ホワイトヘッド双対性」、Summa Brasil. Math.、4 : 91–148、MR  0116332
• リマ、エロン・ラゲス（1960）「安定ポストニコフ不変量とその双対」、ブラジル数学大全、4：193-251
• Vogt、Rainer (1970)、Boardman の安定したホモトピー カテゴリ、講義ノート シリーズ、No. 21、マテマティスク研究所、オーフス大学、オーフス、MR  0275431
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1962)、「一般化ホモロジー理論」、アメリカ数学会誌、102 (2): 227–283、doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

• スペクトルシーケンス -アレン・ハッチャー- スペクトルの優れた入門書であり、アダムススペクトルシーケンスを構築するためのアプリケーションが含まれています。
• 対称スペクトルに関する無題の書籍プロジェクト
• 「スペクトルは本当にコホモロジー理論と同じなのか？」