位相シフトキーイング

エラー率を数学的に求めるためには、いくつかの定義が必要となる。

• ${\displaystyle E_{b}}$ビットあたりのエネルギー
• ${\displaystyle E_{s}=nE_{b}}$nビットのシンボルあたりのエネルギー
• ${\displaystyle T_{b}}$、 ビット期間
• ${\displaystyle T_{s}}$、 シンボル期間
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{0}}$、ノイズパワースペクトル密度（W / Hz）
• ${\displaystyle P_{b}}$ビット エラーの確率
• ${\displaystyle P_{s}}$記号誤りの確率

${\displaystyle Q(x)}$平均ゼロ、分散1のガウス確率密度関数を持つランダムプロセスから抽出された単一のサンプルが、以下以上になる確率を示します。${\displaystyle x}$これは、相補ガウス誤差関数のスケーリングされた形式です。

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0}$。

ここで引用されているエラー率は、加法性白色ガウス雑音（AWGN）におけるものです。これらのエラー率はフェージングチャネルで計算されたエラー率よりも低いため、比較対象として適切な理論的ベンチマークとなります。

BPSKの一般式は次の式で表されます。

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi (1-n)),\quad n=0,1.}$

これにより、0とπの2つの位相が得られます。具体的な形式では、バイナリデータはしばしば次の信号で伝達されます。^{[ 1 ]： 123–128}

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$バイナリ「0」の場合

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$バイナリ「1」の場合

ここで、fはベースバンドの周波数である。

したがって、信号空間は単一の^基底関数^{[ 1 ]で表すことができる。123–128}

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$

ここで 1 は次のように表される${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$0は次のように表されます${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$この割り当ては任意です。

この基底関数の使用法は、次のセクションの最後に信号タイミング図で示されています。一番上の信号は、BPSK変調器が生成するBPSK変調されたコサイン波です。この出力を生成するビットストリームは信号の上に示されています（この図の他の部分はQPSKにのみ関係します）。変調後、ベースバンド信号は乗算によって高周波帯域に移動します。${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$。

The bit error rate (BER) of BPSK under additive white Gaussian noise (AWGN) can be calculated as:^{[2][1]:123–128}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$ or ${\displaystyle P_{e}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Since there is only one bit per symbol, this is also the symbol error rate.

The implementation of QPSK is more general than that of BPSK and also indicates the implementation of higher-order PSK. Writing the symbols in the constellation diagram in terms of the sine and cosine waves used to transmit them:^[1]

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

This yields the four phases π/4, 3π/4, 5π/4 and 7π/4 as needed.

This results in a two-dimensional signal space with unit basis functions^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\\\phi _{2}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{aligned}}}$

The first basis function is used as the in-phase component of the signal and the second as the quadrature component of the signal.

したがって、信号コンスタレーションは信号空間の4つの点から構成されます^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}&\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

係数1/2は、総電力が2つの搬送波間で均等に分配されることを示しています。

これらの基底関数をBPSKの基底関数と比較すると、QPSKが2つの独立したBPSK信号としてどのように捉えられるかが明確にわかります。BPSKの信号空間点では、BPSKコンスタレーション図に示されている方式のように、シンボル（ビット）エネルギーを2つの搬送波に分割する必要がないことに注意してください。

QPSKシステムは様々な方法で実装できます。送信機と受信機の主要構成要素の図を以下に示します。

QPSKは4値変調と見なすこともできますが、2つの独立して変調された直交搬送波として捉える方が分かりやすいでしょう。この解釈では、偶数（または奇数）ビットは搬送波の同相成分を変調するために使用され、奇数（または偶数）ビットは搬送波の直交位相成分を変調するために使用されます。BPSKは両方の搬送波に適用され、それぞれ独立して復調できます。

その結果、QPSKのビット誤り確率はBPSKと同じになります。^{[ 1 ]}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

しかし、BPSKと同じビット誤り確率を達成するためには、QPSKは2倍の電力を使用する（2ビットを同時に送信するため）。

シンボルエラー率は次のように表されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}\\&=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}.\end{aligned}}}$

信号対雑音比が高い場合（実用的なQPSKシステムに必要な条件）、シンボル誤りの確率は次のように近似できます。

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

ランダムなバイナリデータストリームの短いセグメントについて、変調された信号を以下に示します。上記の信号空間解析で示されているように、2つの搬送波はコサイン波とサイン波です。ここでは、奇数ビットが同相成分に、偶数ビットが直交成分に割り当てられています（最初のビットを1とします）。2つの成分の合計である全体の信号は、下部に示されています。PSKでは各ビット周期の開始時に各成分の位相が変化するため、位相のジャンプが見られます。最上部の波形のみ、上記のBPSKの説明と一致します。  

この波形によって伝達されるバイナリデータは、11000110です。

• ここで強調表示されている奇数ビットは、同相成分に寄与します: 1 1 0 0 0 1 1 0
• ここで強調表示されている偶数ビットは、直交位相成分に寄与します。1 1 0 0 0 1 1 0

一般的なM-PSKの場合、シンボル誤り確率の単純な式はありません。${\displaystyle M>4}$残念ながら、それは以下からしか入手できません。

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-\pi /M}^{\pi /M}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r},}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)&={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-{\frac {1}{2}}\left(V-2{\sqrt {\gamma _{s}}}\cos \theta _{r}\right)^{2}}\,dV,\\V&={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}},\\\theta _{r}&=\tan ^{-1}\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right),\\\gamma _{s}&={\frac {E_{s}}{N_{0}}}\end{aligned}}}$

そして${\displaystyle r_{1}\sim N\left({\sqrt {E_{s}}},{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$そして${\displaystyle r_{2}\sim N\left(0,{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$これらはそれぞれガウス分布に従う確率変数である。

これは高レベルで近似できる${\displaystyle M}$そして高い${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$による：

$${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right).}$$

ビットエラー確率${\displaystyle M}$-PSKはビットマッピングがわかって初めて正確に決定できます。ただし、グレイコーディングを使用する場合、1つのシンボルから次のシンボルへの最も可能性の高いエラーは、1ビットのエラーのみを生成し、

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}.}$

(Using Gray coding allows us to approximate the Lee distance of the errors as the Hamming distance of the errors in the decoded bitstream, which is easier to implement in hardware.)

The graph on the right compares the bit-error rates of BPSK, QPSK (which are the same, as noted above), 8-PSK and 16-PSK. It is seen that higher-order modulations exhibit higher error-rates; in exchange however they deliver a higher raw data-rate.

Bounds on the error rates of various digital modulation schemes can be computed with application of the union bound to the signal constellation.

Bandwidth (or spectral) efficiency of M-PSK modulation schemes increases with increasing of modulation order M (unlike, for example, M-FSK):^[8]

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [{\text{ビット}}/{\text{秒}}\cdot {\text{Hz}}]}$

The same relationship holds true for M-QAM.^[9]

Differential phase shift keying (DPSK) is a common form of phase modulation that conveys data by changing the phase of the carrier wave. As mentioned for BPSK and QPSK there is an ambiguity of phase if the constellation is rotated by some effect in the communications channel through which the signal passes. This problem can be overcome by using the data to change rather than set the phase.

For example, in differentially-encoded BPSK a binary "1" may be transmitted by adding 180° to the current phase and a binary "0" by adding 0° to the current phase. Another variant of DPSK is symmetric differential phase shift keying, SDPSK, where encoding would be +90° for a "1" and −90° for a "0".

In differentially-encoded QPSK (DQPSK), the phase-shifts are 0°, 90°, 180°, −90° corresponding to data "00", "01", "11", "10". This kind of encoding may be demodulated in the same way as for non-differential PSK but the phase ambiguities can be ignored. Thus, each received symbol is demodulated to one of the ${\displaystyle M}$ points in the constellation and a comparator then computes the difference in phase between this received signal and the preceding one. The difference encodes the data as described above. Symmetric differential quadrature phase shift keying (SDQPSK) is like DQPSK, but encoding is symmetric, using phase shift values of −135°, −45°, +45° and +135°.

The modulated signal is shown below for both DBPSK and DQPSK as described above. In the figure, it is assumed that the signal starts with zero phase, and so there is a phase shift in both signals at ${\displaystyle t=0}$.

分析によると、差分符号化は通常の符号化に比べてエラー率が約2倍になる。${\displaystyle M}$-PSKですが、これはわずかな増加で克服できる可能性があります。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$さらに、この分析（および下記のグラフ結果）は、唯一のノイズ源が加法性白色ガウス雑音（AWGN）であるシステムに基づいています。しかし、実際の通信システムでは、送信機と受信機の間に物理的なチャネルが存在します。このチャネルは、一般にPSK信号に未知の位相シフトをもたらします。このような場合、差動方式は、正確な位相情報に依存する通常の方式よりも優れた誤り率を実現できます。

DPSKの最も一般的な用途の1つはBluetooth規格であり、${\displaystyle \pi /4}$-DQPSKと8-DPSKが実装されました。

差動符号化された信号の場合、復調には別の方法が考えられます。通常の復調のように搬送波位相の曖昧さを無視するのではなく、連続する2つの受信シンボル間の位相を比較し、データが何であったかを判断します。このように差動符号化を用いる方式は、差動位相偏移変調（DPSK）と呼ばれます。ただし、受信時に受信シンボルを1つずつコンスタレーションポイントに復号するのではなく、シンボル同士を直接比較するため、これは単なる差動符号化PSKとは微妙に異なります。

受信したシンボルを呼び出します${\displaystyle k}$^thタイムスロット${\displaystyle r_{k}}$そしてフェーズを持たせる${\displaystyle \phi _{k}}$一般性を失うことなく、搬送波の位相はゼロであると仮定する。加法性白色ガウス雑音（AWGN）項を次のように表す。${\displaystyle n_{k}}$。 それから

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}.}$

決定変数${\displaystyle k-1}$^th記号と${\displaystyle k}$^th記号は、${\displaystyle r_{k}}$そして${\displaystyle r_{k-1}}$つまり、もし${\displaystyle r_{k}}$投影される${\displaystyle r_{k-1}}$結果として得られる複素数の位相に基づいて決定が下される。

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\varphi _{k}-\varphi _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\varphi _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\varphi _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}^{*}}$

ここで、上付き文字 * は複素共役を表します。ノイズがない場合、この位相は次のようになります。${\displaystyle \phi _{k}-\phi _{k-1}}$受信された2つの信号間の位相差は、送信されたデータを特定するために使用できます。

DPSKの誤り確率は一般的に計算が難しいが、DBPSKの場合は次のようになる。

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {E_{b}}{N_{0}}}},}$^{[ 10 ]}

数値的に評価すると、特に高周波数帯では、通常のBPSKと比べてわずかに劣るだけである。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$価値観。

DPSKを使用することで、正確な位相推定を行うための複雑な搬送波回復方式が不要になり、通常のPSKに代わる魅力的な選択肢となり得る。

光通信では、データはレーザーの位相に差動的に変調されます。変調には、連続波を放射するレーザーと、電気的なバイナリデータを受信するマッハ・ツェンダー変調器が用いられます。BPSKの場合、レーザーはバイナリ「1」の場合はそのままの信号を、そして「0」の場合は逆極性の信号を伝送します。復調器は、 1ビットを遅延させる遅延線干渉計で構成されており、これにより2ビットを同時に比較できます。さらに、フォトダイオードを用いて光信号を電流に変換することで、情報を元の状態に戻します。

右のグラフでは、DBPSKとDQPSKのビット誤り率を、それぞれの非差動方式と比較しています。DBPSKを使用することによる損失は、複雑さの軽減に比べて十分に小さいため、BPSKを使用するような通信システムでよく用いられます。一方、DQPSKの場合、通常のQPSKと比較して性能の低下は大きいため、システム設計者は複雑さの軽減とのバランスを取る必要があります。

で${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$タイムスロット呼び出しで変調するビットを指定します${\displaystyle b_{k}}$差分符号化ビット${\displaystyle e_{k}}$そして結果として生じる変調信号${\displaystyle m_{k}(t)}$コンスタレーション図においてシンボルが±1（BPSK）の位置にあると仮定します。差動エンコーダは以下を生成します。

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}$

どこ${\displaystyle \oplus {}}$2進数加算またはモジュロ2加算を示します。

それで${\displaystyle e_{k}}$状態が変化するのは、バイナリ「0」からバイナリ「1」、またはバイナリ「1」からバイナリ「0」の場合のみです。${\displaystyle b_{k}}$はバイナリ「1」です。それ以外の場合は、以前の状態のままです。これが、上記で説明した差動符号化BPSKの説明です。

受信信号は復調され、${\displaystyle e_{k}=\pm 1}$そして、差動デコーダはエンコード手順を逆にして、

${\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}$

2進数の減算は2進数の加算と同じだから。

したがって、${\displaystyle b_{k}=1}$もし${\displaystyle e_{k}}$そして${\displaystyle e_{k-1}}$異なり、${\displaystyle b_{k}=0}$両者が同じであれば。したがって、両方${\displaystyle e_{k}}$そして${\displaystyle e_{k-1}}$反転しています、${\displaystyle b_{k}}$それでも正しく復号される。したがって、180°の位相曖昧性は問題にならない。

他のPSK変調方式についても、同様の方法で差動方式を考案することができる。DPSKの波形は、上記に示した差動符号化PSKの波形と同じである。これは、両方式の違いは受信側のみにあるためである。

この例のBER曲線は、右側の通常のBPSKと比較されています。前述のように、エラー率は約2倍になりますが、必要な増加は${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$これを克服するのはわずかです。${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$しかし、符号化システムにおける差動変調を克服するために必要な値は、通常約3dBと、より大きくなります。この性能低下は、非コヒーレント伝送の結果であり、この場合、位相追跡が完全に無視されることを意味します。