2 21 多面体

6次元幾何学において、2 ₂₁多面体は、 E ₆群の対称性の範囲内で構築された一様な6次元多面体である。これはソロルド・ゴセットによって発見され、1900年の論文で発表された。彼はこれを6次元半正則図形と呼んだ。^[1]これはシュレーフリ多面体とも呼ばれる。

コクセター記号は2 ₂₁で、 2つのノード列の一方の端に1つの環を持つ分岐コクセター・ディンキン図を表します。彼はまた、立方体表面上の27本の直線との関連を研究しました^{[2] 。この直線は自然に2} ₂₁の頂点に対応します。

平行化された 2 ₂₁は、 2 ₂₁の中央辺の点によって構成されます。二重平行化された 2 _{21 は}、 2 ₂₁の三角形の面の中心の点によって構成され、平行化された 1 ₂₂と同じになります。

これらの多面体は、6 次元の39 個の凸均一多面体のファミリーの一部であり、均一な 5 多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図のリングのすべての順列によって定義されます。。

2 ₂₁には 27 個の頂点と 99 個の面があり、そのうち 27 個は5 次元正多面体、72 個は5 次元単体です。その頂点図形は5 次元半立方体です。

視覚化のために、この 6 次元多面体は、その 27 個の頂点が 12 角形の正多角形 (ペトリー多角形と呼ばれる) 内に収まる特殊な歪んだ正投影方向で表示されることがよくあります。その 216 の辺は、12 個の頂点の 2 つのリングと、中心に投影された 3 つの頂点の間に描かれます。高次の要素 (面、セルなど) も抽出して、この投影上に描画できます。

シュレーフリグラフはこの多面体の1 次元スケルトンです。

• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV _{27 （頂点が27個であることから）と名付けた。} ^[3]
• イコシヘプタ・ヘプタコンティディ・ペトン- 27-72面体ポリペトン（頭字語 jak）（ジョナサン・バワーズ）^[4]

27 個の頂点は、 4 ₂₁多面体の辺図形として 8 次元空間で表現できます。

(-2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0),
( 0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),
( 0, 0, -2, 0, -2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, -2),
( 0, 0, 0, 0, 0, -2, -2, 0)

( 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0),
( 0, 2, 0, 0, -2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 2, 0, -2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 2, -2, 0, 0, 0),
( 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 2)

(-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、-1)、
(-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),
(-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),
(-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1),
(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),
(-1、1、-1、1、-1、-1、-1、-1)、
(-1、1、1、-1、-1、-1、-1、-1)、
( 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),
( 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),
( 1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1),
( 1、1、-1、-1、-1、-1、-1、-1)、
(-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),
( 1、1、1、1、-1、-1、-1、-1)

その構造はE ₆グループに基づいています。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、5単体が残ります。。

2長枝の末端の節点を除去すると、5-オルソプレックスは交互形態となる: ( 2 ₁₁ )、。

すべての単体面は 5 つのオルソプレックス面と接しますが、オルソプレックスの交互面は単体または別のオルソプレックスと接します。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5-デミキューブ （1 ₂₁多面体）が作成されます。辺図形は頂点図形の頂点図形であり、平行化された5セル（0 ₂₁多面体）である。。

配置行列で見ると、要素数はコクセター群の順序から導くことができる。^[5]

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。色別の頂点の数は括弧内に表示されます。

2 ₂₁は、 E6/F4コクセター・ディンキン図の幾何学的折り畳みによって24 セルに関連付けられています。これは、コクセター平面投影で確認できます。24 セルの 24 頂点は、 2 ₂₁で見られるのと同じ 2 つのリングに投影されます。

この多面体はユークリッド 6 次元空間をタイル状に分割し、次の Coxeter-Dynkin 図で2 ₂₂ハニカムを形成できます。。

正複素多角形 ₃ {3} ₃ {3} ₃、は2 ₂₁多面体として実数表現され、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$、4次元空間で。エドモンド・ヘスにちなんでヘッセ多面体と呼ばれている。27の頂点、72の3辺、27の3{3}3面を持つ。その複素鏡映群は₃ [3] ₃ [3] ₃ 、位数648である。

2 _21は、半正多面体の次元シリーズの 4 番目です。各進行一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構築されます。1900 年にThorold Gosset は、このシリーズがすべての正多面体の面、すべての単体と正多面体を含むと特定しました。

2 ₂₁多面体は次元数列 2 _k2の 4 番目です。

2 ₂₁多面体は次元数列 2 _2kの 2 番目です。

平行四辺形2 ₂₁には 216 の頂点と 126 の面があり、そのうち 72 は平行四辺形 5 単体、27 は平行四辺形 5 正多角形、27 は5 半立方体です。その頂点図形は平行四辺形 5 セルプリズムです。

• 修正されたイコシヘプタ-ヘプタコンティディ-ペトン、修正された27-72面体ポリペトン（頭字語ロジャック）（ジョナサン・バワーズ）^[6]

その構成はE ₆グループに基づいており、この多面体を表す環状Coxeter-Dynkin 図から情報を抽出できます。。

短い枝のリングを取り除くと、整流された5単体が残ります。。

他の2長枝の末端の環を除去すると、整流された5-オルソプレックスは交互の形で残る：t ₁ (2 ₁₁ )、。

同じ長さ2の枝の端にある環を取り除くと、5デミキューブが残る：（1 ₂₁）、。

頂点図形は、リングリングを除去し、隣接するリングをリングリングすることによって決定される。これにより、 5セルの直角柱t ₁ {3,3,3}x{}が作成され、。

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。

切り詰められた 2 ₂₁には、432 個の頂点、5040 個の辺、4320 個の面、1350 個のセル、および 126 個の 4 面があります。その頂点図形は、修正された 5 セルのピラミッドです。

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色、緑、シアン、青、紫の順に色分けされます。

• E6多面体のリスト

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• Elte, EL (1912)、「超空間の半正則多面体」、フローニンゲン：フローニンゲン大学
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 17) Coxeter、Coxeter-Dynkin ダイアグラムの進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] 図 1 を参照: (p. 232) (ポリトープのノードエッジ グラフ)
• Klitzing、Richard。「6D 均一多面体 (ポリペタ)」。x3o3o3o3o *c3o - ジャック、o3x3o3o3o *c3o - ロジャック