1 22 多面体

6次元幾何学において、1 ₂₂多面体は、 E ₆群から構成される一様多面体である。これは、 EL Elteの 1912 年の半正則多面体のリストで初めて発表され、V ₇₂ (72 個の頂点を持つ) と名付けられました。^[1]

そのCoxeter 記号は1 ₂₂で、分岐Coxeter-Dynkin 図を表し、1 ノード シーケンスの端に 1 つのリングがあります。 1 ₂₂の要素上の位置点によって構築される2 つの平行化があります。平行化された 1 _22は、 1 ₂₂の中央辺の点によって構築されます。二重平行化された 1 _22は、 1 ₂₂の三角形の面の中心の点によって構築されます。

これらの多面体は、6 次元の39 個の凸均一多面体の族に属し、均一多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図の環のすべての順列によって定義されます。。

1 ₂₂多面体には 72 個の頂点と 54 個の 5 次立方体面が含まれます。この多面体は5 次元の双曲線 頂点図を持ちます。この多面体の 72 個の頂点は単純リー群 E ₆のルートベクトルを表します。

• ペンタコンタテトラペトン（頭字語Mo） - 54面体ポリペトン（ジョナサン・バウワーズ）^[2]

これは、6 次元空間内の 6 つの超平面ミラーのセット上のWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

2長枝のいずれかのノードを削除すると、5デミキューブ、1 _31が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5次元の双対単体、0 ₂₂、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[3]

正複素 多面体₃ {3} ₃ {4} ₂、は、4次元空間の1 ₂₂多面体として実数表現される。72の頂点、216の3辺、54の3{3}3面を持つ。その複素反射群は₃ [3] ₃ [4] ₂、位数1296である。半対称準正則構成は、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ヘッセ多面体の修正として、^[4 ]

半正多面体2 ₂₁とともに、これは6 次元の39 個の凸一様多面体の族の 1 つでもあり、一様多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図の環のすべての順列によって定義されます。。

1 ₂₂は、コクセター・ディンキン図の E6 → F4 の幾何学的折り畳みによって24 セルと関連しており、E6 は6 次元の1 ₂₂に、F4 は 4 次元の 24 セルにそれぞれ対応しています。これは、コクセター平面投影で確認できます。24 セルの 24 頂点は、1 ₂₂で見られるのと同じ 2 つのリングに投影されます。

この多面体は6次元空間2 ₂₂の一様モザイクの頂点図形である。。

修正された1 ₂₂多面体（0 ₂₂₁とも呼ばれる）は、 E6*ハニカム格子（E6格子の双対）のボロノイセルとして6次元空間を分割することができる。 ^[5]

• 2 ₂₁多面体の双曲
• 修正五角形テトラペトン（略称ラム） - 修正54面体ポリペトン（ジョナサン・バワーズ）^[6]

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。

その構成はE ₆グループに基づいており、この多面体を表す環状Coxeter-Dynkin 図から情報を抽出できます。。

短枝の環を除去すると、5次元双対単体が残る。。

いずれかの2長枝の環を除去すると、5-オルソプレックスの交互形態であるt ₂ (2 ₁₁ )が残る。。

頂点図形は、リングノードを削除し、隣接するリングをリング化することによって決定されます。これにより、3-3デュオプリズムプリズム、{3}×{3}×{}、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導出できる。^{[7] [8]}

• 切断された 1 ₂₂多面体

その構成はE ₆グループに基づいており、この多面体を表す環状Coxeter-Dynkin 図から情報を抽出できます。。

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。

• 双眼 2 ₂₁
• 二重ペンタコンティテトラペトン（バーム）（ジョナサン・バウワーズ）^[9]

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。

• 三角錐 2 ₂₁
• 三重整流ペンタコンティテトラペトン（トリムまたはカカム）（ジョナサン・バウワーズ）^[10]

• E6多面体のリスト

• Elte, EL (1912)、「超空間の半正則多面体」、フローニンゲン：フローニンゲン大学
• HSM Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] p334 (図3.6a) Peter mcMullen著参照: (1 ₂₂の12角形ノードエッジグラフ)
• Klitzing、Richard。「6D 均一多面体 (ポリペタ)」。o3o3o3o3o *c3x - モ、o3o3x3o3o *c3o - ラム、o3x3o3x3o *c3o - バーム