ZX計算

ZX計算は、量子ビット間の線形マップについて推論するための厳密なグラフィカル言語であり、線形マップはZX ダイアグラムと呼ばれるストリング ダイアグラムとして表されます。ZX ダイアグラムは、特定のテンソルを表すスパイダーと呼ばれるジェネレータのセットで構成されます。これらは、ペンローズ グラフィカル表記法に似たテンソル ネットワークを形成するために相互に接続されます。スパイダーの対称性と基礎となるカテゴリの特性により、ZX ダイアグラムを位相的に変形しても (つまり、接続を変更せずにジェネレータを移動しても)、それが表す線形マップには影響しません。位相的な変形によって生成される ZX ダイアグラム間の等式に加えて、計算には、ダイアグラムを相互に変換するためのグラフィカル書き換え規則のセットもあります。ZX 計算は、量子ビット間の任意の線形マップをダイアグラムとして表現できるという意味で普遍的であり、さまざまな線形マップのファミリに対してさまざまなグラフィカル書き換え規則のセットが完備しています。 ZX ダイアグラムは量子回路表記法の一般化と見なすことができ、量子スピン システムの一般的な融合カテゴリと波動関数を表すテンソル ネットワークの厳密なサブセットを形成します。

ZX計算は、カテゴリカル量子力学の推論学派の拡張として、2008年にボブ・コッケとロス・ダンカンによって初めて導入されました。彼らは、スパイダー、強い相補性、標準的な書き換え規則のほとんどなどの基本概念を導入しました。 ^{[1] [2]}

2009年にダンカンとペルドリックスはアダマールゲートに対する追加のオイラー分解規則を発見し、^[3] 2013年にバケンスがそれを用いてZX計算の最初の完全性の結果を確立した。^{[4]つまり、}安定子ZX図間のすべての等式を証明するのに十分な書き換え規則の集合が存在するということである。ここで位相は の倍数であり、グローバルスカラーまでである。この結果は後にスカラー因子を含む完全性まで洗練されました。^[5]${\displaystyle \pi /2}$

不完全性の結果に続いて^[6] 、 2017年に、近似的に普遍的なフラグメントに対するZX計算の完全性が発見され^[7] 、さらに普遍的なZX計算（位相が任意の実数値を取ることが許可されている）に対する2つの異なる完全性の結果が得られました。^{[8] [9]}${\displaystyle \pi /4}$

また、2017年には、ZX計算を用いて量子理論を基礎から構築した「Picturing Quantum Processes」という本が出版されました。 ^[10] 2019年の書籍「Categories for Quantum Theory」も参照してください。^[11]

ZX ダイアグラムは、スパイダーと呼ばれる緑と赤のノードで構成され、ワイヤで接続されています。ワイヤは曲がったり交差したり、任意の数のワイヤが同じスパイダーに接続したり、同じノードのペア間に複数のワイヤが通ったりすることができます。また、通常黄色のボックスで示されるアダマール ノードもあり、これは常に 2 本のワイヤに接続されます。

ZX ダイアグラムは、量子回路が量子ビット間のユニタリマップを表すのと同様に、量子ビット間の線形マップを表します。ZX ダイアグラムは、主に 2 つの点で量子回路と異なります。1 つ目は、ZX ダイアグラムは回路の厳格な位相構造に従う必要がないため、任意に変形できることです。2 つ目は、ZX ダイアグラムには、総称してZX 計算と呼ばれる一連の書き換え規則が備わっていることです。これらの規則を使用すると、グラフィカル言語自体で計算を実行できます。

ZX 計算の構成要素または生成子は、計算基底とアダマール変換基底およびにおける特定の状態、ユニタリ演算子、線形等長変換、および射影のグラフィカル表現です。緑色 (または白色の場合もあります) は計算基底を表し、赤色 (または灰色の場合もあります) はアダマール変換基底を表します。これらの生成子のそれぞれは、区間 からの実数である位相によってさらにラベル付けできます。位相が 0 の場合は、通常は記述されません。 ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle ={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle |-\rangle ={\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle [0,2\pi )}$

ジェネレーターは次のとおりです。

ジェネレータは次の 2 つの方法で構成できます。

• 1 つのジェネレータの出力線を別のジェネレータの入力線に順番に接続することにより、
• 2 台の発電機を垂直に積み重ねて並列に接続します。

これらの法則は、線形写像の合成とテンソル積に対応します。

このようにジェネレーターを組み合わせて作成されたダイアグラムは、ZX ダイアグラムと呼ばれます。ZX ダイアグラムは、両方の合成法則の下で閉じています。つまり、1 つの ZX ダイアグラムの出力を別の ZX ダイアグラムの入力に接続すると、有効な ZX ダイアグラムが作成され、2 つの ZX ダイアグラムを垂直に積み重ねると、有効な ZX ダイアグラムが作成されます。

2 つのダイアグラムは、同じ方法で接続された同じジェネレータで構成されている場合、同じ線形演算子を表します。言い換えると、2 つの ZX ダイアグラムが位相変形によって相互に変換できる場合は常に、同じ線形マップを表します。したがって、制御 NOT ゲートは次のように表すことができます。

次の量子回路の例は、GHZ 状態を構築します。これを ZX ダイアグラムに変換し、「同じ色の隣接するクモはマージする」、「アダマールはクモの色を変更する」、「パリティ 2 のクモは同一である」というルールを使用すると、GHZ 状態にグラフィカルに縮小できます。

量子ビット間の任意の線形写像は ZX 図として表すことができます。つまり、ZX 図は普遍的です。与えられた ZX 図は、2 つの図が同じ線形写像を表す場合のみ、ZX 計算の書き換え規則を使用して別の ZX 図に変換できます。つまり、ZX 計算は健全かつ完全です。

ZX ダイアグラムのカテゴリはダガーコンパクトカテゴリです。つまり、対称モノイド構造 (テンソル積 ) を持ち、コンパクトに閉じており(カップとキャップ を持つ)、ダガーが装備されているため、これらすべての構造が適切に相互作用します。カテゴリのオブジェクトは自然数であり、テンソル積は加算によって与えられます (カテゴリはPROPです)。このカテゴリの射が ZX ダイアグラムです。2 つの ZX ダイアグラムは、それらを水平に並べ、左側のダイアグラムの出力を右側のダイアグラムの入力に接続することによって構成されます。2 つのダイアグラムのモノイド積は、一方のダイアグラムをもう一方のダイアグラムの上に配置すると表されます。

実際、すべての ZX ダイアグラムは、合成とモノイド積を介して、一連のジェネレータから自由に構築され、コンパクト構造によって誘導される等式と、以下に示す ZX 計算のルールを法としています。たとえば、オブジェクトのアイデンティティは、左から右への平行ワイヤとして表され、特別なケースは空のダイアグラムです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$

次の表は、ディラック記法で表現された線形写像としての標準的な解釈とともに生成元を示します。計算基底状態は で表され、アダマール変換された基底状態は です。ベクトルの 倍テンソル積はで表されます。 ${\displaystyle \mid 0\rangle ,\vert 1\rangle }$${\displaystyle \mid \pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\vert 0\rangle \pm \vert 1\rangle )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mid \psi \rangle }$${\displaystyle \mid \psi \rangle ^{\otimes n}}$

ZX 計算にはさまざまなバージョンがあり、異なる書き換え規則のシステムを公理として使用しています。すべてに共通するメタ規則は「トポロジーのみが重要」です。つまり、同じジェネレータが同じ方法で接続されていれば、2 つの図は、図の中でこれらのジェネレータがどのように配置されているかに関係なく、等しいということです。以下は、書き換え規則のコア セットの一部です。ここでは「スカラー係数まで」と示されています。つまり、2 つの図は、線形マップとしての解釈が非ゼロの複素係数だけ異なる場合、等しいと見なされます。

ZX 計算は、さまざまな量子情報および計算タスクで使用されてきました。

• これは測定ベースの量子計算やグラフ状態を記述するために使用されてきた。^{[3] [16] [17]}
• ZX計算は曲面コード上の格子演算のための言語である。^{[18] [19]}
• これは量子誤り訂正符号の正しさを発見し検証するために使用されてきた。^{[20] [21] [22]}
• 量子回路の最適化に利用されてきた。^[23]

ZX計算の書き換え規則は、二重プッシュアウト書き換えのインスタンスとして形式的に実装できます。これは、ソフトウェアQuantomaticでZX図（またはより一般的なストリング図）の自動書き換えを可能にするために使用されています。^[24]スパイダー融合規則で使用されるような任意の数のワイヤを示す「ドット」の使用を形式化するために、このソフトウェアはバンボックス表記法^[25]を使用して、スパイダーが任意の数の入力または出力を持つことができる書き換え規則を実装します。

ZXダイアグラムを扱う最近のプロジェクトはPyZXであり、主に回路の最適化に焦点を当てています。^[15]

LaTeXパッケージzx-calculus を使用すると、ZX 図をタイプセットできます。多くの著者は、図をタイプセットするためのGUIとして TikZiT ソフトウェアも使用しています。

ZX計算は、量子ビット間の線形写像を記述するためのいくつかのグラフィカル言語のうちの1つにすぎません。ZW計算はZX計算と並行して開発され、W状態とフェルミオン量子コンピューティングを自然に記述できます。^{[26] [27]}これは、量子ビット間の線形写像のほぼ普遍的なセットに対する完全なルールセットを備えた最初のグラフィカル言語であり、^[8] ZX計算の初期の完全性の結果はZW計算への還元を使用しています。

より新しい言語はZH計算である。これはHボックスをジェネレーターとして追加し、ZX計算のアダマールゲートを一般化する。トフォリゲートを含む量子回路を自然に記述することができる。^[28]

スカラーまで、- ラベル付きスパイダーによって生成される位相フリー ZX 計算は、有限体上の線型関係のダガーコンパクト閉カテゴリと同等です。言い換えると、位相フリー ZX 計算で入力と出力を持つダイアグラムが与えられた場合、そのX 安定子はの線型部分空間を形成し、位相フリー ZX ダイアグラムの合成はこれらの部分空間の関係合成に対応します。特に、Zコモノイド(1 つの入力と 2 つの出力を持つ Z スパイダーと、1 つの入力と出力のない Z スパイダーによって与えられる) と Xモノイド(1 つの出力と 2 つの入力を持つ X スパイダーと、1 つの出力と入力のない X スパイダーによって与えられる) は、モノイド積としての 直和に関して上の行列の対称モノイドカテゴリを生成します。${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}\oplus \mathbb {F} _{2}^{m}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

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