グラフの状態

量子コンピューティングにおいて、グラフ状態はグラフで表現できる特殊なタイプのマルチ量子ビット状態です。各量子ビットはグラフの頂点で表現され、相互作用する量子ビットのペア間にはエッジが存在します。特に、グラフ状態は特定のタイプのエンタングルメント状態を表現するのに便利な方法です。

グラフ状態は、量子誤り訂正コード、エンタングルメント測定と精製、および測定ベースの量子コンピューティング モデルにおける計算リソースの特性評価に役立ちます。グラフ状態は、安定状態の特殊なケースであると同時に、エッジのカーディナリティが 1 から N までである一般化である 2 均一ハイパーグラフ状態でもあります。

量子グラフの状態は、量子回路の概念と安定化形式主義という 2 つの同等の方法で定義できます。

グラフ、頂点の集合、辺の集合が与えられた場合、対応するグラフ状態は次のように定義されます。 ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\left|G\right\rangle }=\prod _{(a,b)\in E}U^{\{a,b\}}{\left|+\right\rangle }^{\otimes V}}$

ここで、演算子は2つの頂点（2つの量子ビットに対応）間の制御されたZ相互作用であり、${\displaystyle {\left|+\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\left|0\right\rangle }+{\left|1\right\rangle })}$${\displaystyle U^{\{a,b\}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle U^{\{a,b\}}=\left[{\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{-1}\end{array}}\right]}$

代替の同等の定義は次の通りであり、これは安定化形式論を利用する。

の各頂点に対して演算子を定義します。 ${\displaystyle S_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{v}=\sigma _{x}^{(v)}\prod _{u\in N(v)}\sigma _{z}^{(u)}}$

ここで、はパウリ行列、は に隣接する頂点の集合です。演算子は可換です。グラフ状態は、演算子の同時 -固有値固有状態として定義されます。 ${\displaystyle \sigma _{x,y,z}}$${\displaystyle N(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle S_{v}}$${\displaystyle {\left|G\right\rangle }}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \left|V\right|}$${\displaystyle \left\{S_{v}\right\}_{v\in V}}$

${\displaystyle S_{v}{\left|G\right\rangle }={\left|G\right\rangle }}$

したがって、すべてのグラフ状態は安定状態です。

2つの定義の同等性の証明は^{[1] [2]で見ることができる。}

• が3頂点パスである場合、安定化パスは${\displaystyle G=P_{3}}$${\displaystyle S_{v}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes I,\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

対応する量子状態は

${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }+{\left|111\right\rangle })}$

• が3つの頂点を持つ三角形である場合、安定因子は${\displaystyle G=K_{3}}$${\displaystyle S_{v}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

対応する量子状態は

${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }={\frac {1}{\sqrt {8}}}({\left|000\right\rangle }+{\left|100\right\rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\left|011\right\rangle }-{\left|111\right\rangle })}$

と は局所的に等価であること、つまり 1 量子ビットのユニタリ変換を適用することで互いにマッピングできることに注目してください。実際、最初と最後の量子ビットでとを入れ替え、中間の量子ビットでと を入れると、一方の安定群がもう一方の安定群にマッピングされます。 ${\displaystyle {\left|P_{3}\right\rangle }}$${\displaystyle {\left|K_{3}\right\rangle }}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \sigma _{z}}$

2 つのグラフ状態は、一方が他方にローカル ユニタリ ゲートで変換できる場合、ローカル同値と呼ばれます。一方の状態から他方の状態への変換がClifford 群からのローカル ゲートで実行できる場合、2 つの状態はローカル Clifford 同値と呼ばれます。2 つのグラフ状態がローカル Clifford 同値である場合にのみ、一方のグラフは、いわゆる「ローカル補完」のシーケンスによって他方に変換できます。^{[3]これにより、単純なグラフ操作ルールによってローカル Clifford 同値を調べるための便利なツールが提供され、グラフ状態の対応する同値クラスが Ref. [1] [4] [5]}で調べられています。ただし、グラフ状態のローカル Clifford 同値性は、小さなグラフ状態^[1]のローカル ユニタリ同値性とのみ一致し、通常は同一ではありません。^[6]

実験でグラフ状態が生成された後、実際に量子もつれ状態が生成されたことを確認することが重要です。-量子ビットグラフ状態に関する忠実度は次のように与えられます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle |G_{N}\rangle }$

${\displaystyle F_{GN}={\rm {Tr}}(\rho |G_{N}\rangle \langle G_{N}|),}$

連結グラフに対応する非自明なグラフ状態の場合、その状態は真の多粒子エンタングルメントを持つことが示されている。 ^{[7] [8]}したがって、グラフ状態に近いエンタングルメントを検出する エンタングルメント証拠 を得ることができる。${\displaystyle F_{GN}>1/2}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle W_{GN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identity}}-|G_{N}\rangle \langle G_{N}|.}$

ここで、真の多粒子エンタングルメントが示されます。 ${\displaystyle \langle W_{GN}\rangle <0}$

このような証拠は直接測定できません。相関項の合計に分解して測定する必要があります。ただし、大規模なシステムではこのアプローチは困難です。

非常に大規模なシステムで機能するエンタングルメントの証人も存在し、グラフ状態に近い真の多部間エンタングルメントも検出します。この場合、グラフ状態自体は真の多部間エンタングルメントでなければなりません。つまり、接続されたグラフに対応している必要があります。証人は、2色グラフに対応するグラフ状態に対して、最小限の2つのローカル測定設定のみを必要とします。^{[7] [8]}同様の条件を使用して、理想的なグラフ状態に対する忠実度の下限を設定することもできます。^[8] これらの基準は、光子を使用して4量子ビットのクラスター状態を実現する実験で最初に使用されました。^[9]これらのアプローチは、光格子で実現された大規模なクラスター状態またはグラフ状態のより小さな部分でエンタングルメントを検出する方法を提案するためにも使用されています。^[10]

ベル不等式はクラスター状態に対しても開発されている。^{[11] [12] [13]}これらのエンタングルメント条件とベル不等式はすべて安定化形式論に基づいている。^[14]

• 絡み合い
• クラスターの状態
• 一方向量子コンピュータ

• M. Hein; J. Eisert; HJ Briegel (2004). 「グラフ状態におけるマルチパーティエンタングルメント」. Physical Review A. 69 ( 6): 062311. arXiv : quant-ph/0307130 . Bibcode :2004PhRvA..69f2311H. doi :10.1103/PhysRevA.69.062311. S2CID  108290803.
• S. Anders、HJ Briegel (2006)。「グラフ状態表現を使用した安定化回路の高速シミュレーション」。Physical Review A . 73 (2): 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Bibcode :2006PhRvA..73b2334A. doi :10.1103/PhysRevA.73.022334. S2CID  12763101。
• M. Van den Nest; J. Dehaene; B. De Moor (2005). 「安定状態の局所ユニタリーと局所クリフォード等価性」. Physical Review A. 71 ( 6): 062323. arXiv : quant-ph/0411115 . Bibcode :2005PhRvA..71f2323V. doi :10.1103/PhysRevA.71.062323. S2CID  119466090.

• 量子グラフの状態: 2つの同等の定義