ヤング・ラプラス方程式

物理学において、ヤング・ラプラス方程式( / l ə ˈ p l ɑː s / ) は、水と空気など2 つの静的な流体の界面で生じる毛細管圧力差を記述する代数方程式です。この圧力差は表面張力または壁面張力の現象によって生じますが、壁面張力の使用は壁面が非常に薄いと仮定した場合にのみ適用できます。ヤング・ラプラス方程式は、圧力差と表面または壁面の形状を関連付けるもので、静的な毛細管表面の研究において基本的に重要です。これは、界面で出会う静的な流体の法線応力バランスを記述したもので、界面は表面(厚さ 0) として扱われます。 ここで、 はラプラス圧力、流体界面の圧力差 (外圧から内圧を引いたもの)、は表面張力(または壁面張力)、は表面から外を指す単位法線、は平均曲率、および は主曲率半径です。静的界面は接線応力が存在しない場合にのみ可能であるため、法線応力のみが考慮されることに注意してください。^[1]$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

この方程式は、1805年に表面張力の定性的理論を開発したトーマス・ヤングと、翌年に数学的記述を完成させたピエール・シモン・ラプラスにちなんで名付けられました。1830年にカール・フリードリヒ・ガウスがヤングとラプラスの研究を統合し、ヨハン・ベルヌーイの仮想仕事原理を使用して微分方程式と境界条件の両方を導出したため、ヤング・ラプラス・ガウス方程式と呼ばれることもあります。^[2]

圧力差がゼロの場合、つまり重力のない石鹸膜の場合、界面は最小表面の形状をとります。

この式は、エマルジョンを生成するために必要なエネルギーも説明しています。エマルジョンの小さくて大きく湾曲した液滴を形成するには、その小さな半径から生じる大きな圧力を克服するための余分なエネルギーが必要です。

ラプラス圧は液滴が小さいほど大きくなり、エマルジョン内の最小の液滴から分子が拡散し、オストワルド熟成によってエマルジョンが粗大化します。^[要出典]

十分に狭い（つまり、ボンド数が低い）円形断面（半径a）の管では、2つの流体の界面は、半径Rの球の表面の一部であるメニスカスを形成します。この表面を横切る圧力の上昇は、半径と表面張力 γ と次のように関係しています。 $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

これは、接触角境界条件と、たとえばメニスカスの底部における所定の高さ境界条件を持つ球面形式でヤング・ラプラス方程式を記述することで示せます。解は球の一部であり、解は上記に示した圧力差に対してのみ存在します。圧力差を指定する別の方程式や法則がないため、これは重要です。圧力差の特定の値に対する解の 存在は、それを規定します。

球の半径は接触角θのみの関数となり、接触角θは流体の正確な特性と、流体が接触/接合する容器の材質によって決まります。 $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

したがって、圧力差は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

静水圧平衡を維持するために、誘起された毛細管圧力は高さhの変化によってバランスが取られます。高さ hは、濡れ角が 90° より小さいか大きいかによって、正または負になります。密度ρ の流体の場合: ここで、g は重力加速度です。これは、 1718 年にこの効果を研究したJames Jurinにちなんで、Jurin の法則またはJurin 高さ^[3]と呼ばれることもあります。 ^[4]$${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

海面上の空気中に水を満たしたガラス管の場合：

• γ = 0.0728 J/m ²（20 ℃）
• θ = 20° (0.35ラジアン)
• ρ = 1000 kg/m ³
• g = 9.8 m/s ²

したがって、水柱の高さは次のように求められます。 したがって、幅 2 mm (半径 1 mm) のチューブの場合、水は 14 mm 上昇します。ただし、半径 0.1 mm の毛細管の場合、水は 14 cm (約 6インチ) 上昇します。 $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$

一般的なケースでは、自由表面に対して、平衡状態の界面に「過剰圧力」Δ pが加えられている場合、加えられた圧力、静水圧、および表面張力の影響の間でバランスが取れています。ヤング・ラプラス方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

この式は、その特性長さスケール、毛細管長、 および特性圧力に関して無次元化することができる。$${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ $${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

標準温度および標準圧力のきれいな水の場合、毛細管の長さは約 2 mmです。

無次元方程式は次のようになります。 $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$$

したがって、表面の形状は、流体の過剰圧力 Δ p ^*という 1 つのパラメータのみによって決定され、表面のスケールは毛細管の長さによって決まります。方程式を解くには、位置の初期条件と、開始点における表面の勾配が必要です。

軸対称面の（無次元）形状r（z）は、主曲率の一般的な表現を代入して静水力ヤング・ラプラス方程式を与えることによって求めることができる：^[5] $${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt { 1+r'^{2}}}}=z-\デルタ p^{*}}$$ $${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$$

医学では、ラプラスの法則と呼ばれることが多く、心臓血管生理学の文脈で使用されますが、^[6]呼吸生理学でも使用されますが、後者の使用はしばしば誤りです。^[7]

フランシス・ホークスビーは1709年に最も初期の観察と実験をいくつか行い^[8]、1718年にジェームズ・ジュリンが毛細管柱内の流体の高さは表面の断面積のみの関数であり、柱の他の寸法には依存しないことを観察した^{[4] [9] 。}

トーマス・ヤングは1804年の論文「流体の凝集力に関する論文」^[10]でこの方程式の基礎を築き、流体間の接触を支配する原理（および流体挙動のその他の多くの側面）を記述的に示しました。 ピエール・シモン・ラプラスは天空の力学^[11]でこれを継承し、上記のような正式な数学的記述を行い、ヤングが先に述べた関係を記号的に再現しました。

ラプラスは、ハウクスビーが著書『物理力学実験』（1709年）で提唱した、この現象は感知可能な距離では感知できない引力によるものだという考えを受け入れた。^{[12] [13]}固体の液体に対する作用と2つの液体の相互作用を扱う部分は完全には解明されなかったが、最終的にはカール・フリードリヒ・ガウスによって完成された。^[14] フランツ・エルンスト・ノイマン（1798-1895）が後にいくつかの詳細を補った。^{[15] [9] [16]}

• マクスウェル、ジェームズ・クラーク、ストラット、ジョン・ウィリアム(1911)。「毛細管作用」 。ヒュー・チザム(編) 著。ブリタニカ百科事典。第 5 巻 (第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。pp. 256–275。
• バチェラー、GK (1967)流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局
• Jurin, J. (1716)。「王立協会で行われたいくつかの実験の記録。毛細管内の水の上昇と浮遊の原因についての調査」。王立協会哲学論文集。30 (351–363): 739–747。doi :10.1098/rstl.1717.0026。S2CID 186211806  。
• Tadros TF (1995)農薬における界面活性剤、界面活性剤科学シリーズ、第54巻、デッカー