ウィルソン電流ミラー

より厳密な形式的解析では、予想される静的誤差が示されています。以下を仮定します。

1. すべてのトランジスタは同じ電流利得βを持つ。
2. Q1とQ2_は整合しており、ベース・エミッタ間電圧_が同じであるため、コレクタ電流は等しくなります。

したがって、${\displaystyle \scriptstyle i_{C1}~=~i_{C2}~\equiv ~i_{C}}$そして${\displaystyle \scriptstyle i_{B1}~=~i_{B2}~\equiv ~i_{B}}$_Q3のベース電流は次式で与えられる。${\displaystyle \scriptstyle i_{B3}~=~{\frac {i_{C3}}{\beta }}}$そしてエミッタ電流は、

${\displaystyle i_{E3}={\frac {\beta +1}{\beta }}i_{C3}}$…（１）

_{Q3のエミッタ、 Q2}のコレクタ、および_Q1とQ2_のベースが共有するノードにおける電流の合計から、 _Q3のエミッタ電流は次のようになるはずです。

${\displaystyle i_{E3}=i_{C2}+i_{B1}+i_{B2}=i_{C}+2i_{B}={\frac {\beta +2}{\beta }}i_{C}}$…（２）

式を等しくすると${\displaystyle \scriptstyle i_{E3}}$（１）と（２）では、次のようになる。

${\displaystyle i_{C}=\left({\frac {\beta +1}{\beta +2}}\right)i_{C3}}$…（３）

入力ノードにおける電流の合計は、${\displaystyle \scriptstyle i_{\text{in}}~=~i_{C1}\,+\,i_{B3}~=~i_{C}\,+\,{\frac {i_{C3}}{\beta }}}$. を置き換える${\displaystyle \scriptstyle i_{C}}$（３）から以下が得られる：${\displaystyle \scriptstyle i_{\text{in}}~=~\left({\frac {\beta \,+\,1}{\beta \,+\,2}}\,+\,{\frac {1}{\beta }}\right)i_{C3}}$ または ${\displaystyle \scriptstyle i_{C3}~=~\left({\frac {\beta \left(\beta \,+\,2\right)}{\beta \left(\beta \,+\,2\right)\,+\,2}}\right)i_{\text{in}}}$。

なぜなら${\displaystyle \scriptstyle i_{C3}}$出力電流、静的誤差、入力電流と出力電流の差は、次のとおりです。

$${\displaystyle i_{\text{in}}-i_{\text{out}}={\frac {2i_{\text{in}}}{\beta \left(\beta +2\right)+2}}\approx {\frac {2i_{\text{in}}}{\beta ^{2}}}}$$…（４）

NPNトランジスタの場合、電流利得は、${\displaystyle \scriptstyle \beta }$は100程度の値であり、原理的には、不一致は約1:5000である。

図2のウィルソン電流源の場合、ミラーの入力電流は次のようになる。${\displaystyle \scriptstyle I_{R1}~=~{\frac {1}{R1}}\left(V_{CC}\,-\,V_{BE2}\,-\,V_{BE3}\right)}$ベース・エミッタ間電圧は、${\displaystyle \scriptstyle V_{BE}}$、通常0.5～0.75ボルトの間であるため、一部の著者^{[ 1 ]} はこの結果を次のように近似している。${\displaystyle \scriptstyle I_{\text{out}}\approx {\frac {V_{CC}\,-\,1.4\ V}{R1}}}$_{出力電流は、V CC}と R ₁にほぼ依存し、回路は定電流源として動作します。つまり、負荷のインピーダンスが変化しても電流は一定に保たれます。ただし、V _{CCの変化や温度による R 1}の値の変化は、出力電流の変化として現れます。抵抗器を使用して電源から基準電流を直接生成するこの方法は、実用的な用途には十分な安定性をほとんど持たず、温度や電源電圧に依存しない基準電流を提供するために、より複雑な回路が使用されます。^{[ 4 ]}

式(4)は、この回路で一般的に見られる入力電流と出力電流の差を大幅に過小評価している。理由は3つある。まず、Q1とQ2によって形成される内部カレントミラーのエミッタ・コレクタ電圧が_同じで_はない。トランジスタQ2_はダイオード接続されており、${\displaystyle \scriptstyle v_{CE2}~=~v_{BE2}}$これは通常0.6～0.7ボルト程度です。Q1のコレクタ・エミッタ間電圧はQ3のベース・エミッタ間電圧分だけ高い_{ため、 Q2}の両端の電圧の約2倍になります。Q1_のアーリー効果（ベース幅変調）により、コレクタ電流は_Q2のコレクタ電流よりもわずかに高くなります。この問題は、図4aの改良型ウィルソン電流ミラーに_Q4として示されている4番目のトランジスタを追加することで、ほぼ解消できます。Q4_はQ1のコレクタと直列にダイオード接続されており、コレクタ電圧を下げて、ほぼ等しくなるようにします。${\displaystyle \scriptstyle v_{CE}}$_Q2について。

第二に、ウィルソン電流ミラーは電流ゲインの不一致の影響を受けやすく、${\displaystyle \scriptstyle \beta }$トランジスタの、特にマッチング${\displaystyle \scriptstyle \beta _{3}}$ そして、対応するペア Q ₁と Q ₂の現在の利益。^{[ 3 ]}${\displaystyle \scriptstyle \beta }$3つのトランジスタすべてに違いがあるため、${\displaystyle \scriptstyle i_{\text{in}}\,-\,i_{\text{out}}~=~{\frac {2\left({\overline {\beta _{12}}}\,-\,\beta _{3}\right)\,+\,2}{{\overline {\beta _{12}}}\beta _{3}\,+\,2{\overline {\beta _{12}}}\,+\,2}}}$どこ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {\beta _{12}}}}$_Q1とQ2_の現在のゲインの調和平均または${\displaystyle \scriptstyle {\overline {\beta _{12}}}~=~2\left[{\frac {1}{\beta _{1}}}\,+\,{\frac {1}{\beta _{2}}}\right]^{-1}}$ベータの不一致が5%以上あることが報告されており^{[ 3 ]} 、静的誤差が桁違いに増加する原因となっている。

最後に、低および中程度のエミッタ電流におけるバイポーラトランジスタのコレクタ電流は、次の関係にほぼ適合する。${\displaystyle \scriptstyle i_{C}~=~I_{SC}\exp \left({\frac {v_{BE}}{V_{T}}}\right)}$どこ${\displaystyle \scriptstyle V_{T}~=~{\frac {kT}{q}}}$熱電圧と${\displaystyle \scriptstyle I_{SC}}$は温度、ドーピング濃度、コレクタ-エミッタ電圧に依存する定数です。 ^{[ 5 ]} トランジスタ Q1 と Q2 の電流は一致しており、_同じ方程式_への適合性に依存しますが、観測された不一致は${\displaystyle \scriptstyle I_{SC}}$形状に依存し、範囲は${\displaystyle \scriptstyle \pm 1{\text{ to }}\pm 10}$パーセント。^{[ 6 ]} _Q1とQ2_の間のこのような違いは、ミラー全体で同じパーセントの静的誤差に直接つながります。この誤差源を最小限に抑えるには、慎重なレイアウトとトランジスタ設計を使用する必要があります。たとえば、Q1_とQ2_はそれぞれ、電流利得の局所的な勾配の影響を減らすために、共通中心レイアウトでクロスカップルされたクワッドとして配置された並列トランジスタのペアとして実装できます。^{[ 3 ]}ミラーを固定バイアスレベルで使用する場合は、このペアのエミッタのマッチング抵抗により、マッチングの問題の一部をトランジスタからこれらの抵抗に転送できます。

回路が電流源となるのは、その出力電流が出力電圧に依存しない場合に限られます。図1および図2の回路では、重要な出力電圧はQ3のコレクタから接地までの電位です_。その独立性の尺度は、回路の出力インピーダンス、すなわち出力電圧の変化とそれによって生じる電流の変化の比です。図3は、テスト電圧源を用いて描かれたウィルソン電流ミラーの小信号モデルを示しています。${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{test}}}$出力に接続します。出力インピーダンスは次の比率です。${\displaystyle \scriptstyle z_{\text{out}}~\equiv ~{\frac {v_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}}}$低周波数ではこの比率は実数であり、出力抵抗を表します。

図3では、トランジスタQ1_とQ2_が標準的な2トランジスタ電流ミラーを構成している様子が示されている。出力インピーダンス^{[ 1 ] [ 3 ]}を計算するには、この電流ミラーサブ回路の出力電流が、${\displaystyle \scriptstyle i_{c1}}$は入力電流に等しく、${\displaystyle \scriptstyle i_{e3}}$、 または${\displaystyle \scriptstyle i_{c1}~\approx ~i_{e3}}$トランジスタQ3は、_コレクタ電流用の電流制御依存電流源を備えた低周波ハイブリッドπモデルで表されます。

_Q3のエミッタノードにおける電流の合計は、次のことを意味する。

${\displaystyle i_{\text{test}}=i_{e3}+i_{c1}=2i_{c1}{\text{ or }}i_{c1}={\frac {1}{2}}i_{\text{test}}}$…（５）

ダイオード接続トランジスタQ ₂の動的抵抗は、2 トランジスタ電流ミラーの入力抵抗よりもはるかに小さいため、${\displaystyle \scriptstyle r_{O3}}$試験電圧、${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{test}}}$_{は、 Q3}のコレクタ-エミッタ端子間に効果的に現れます。Q3のベース電流は${\displaystyle \scriptstyle i_{b3}~=~-i_{c1}}$式(5)を用いて${\displaystyle \scriptstyle i_{c1}}$_Q3のコレクタノードにおける電流の合計は次のようになる。${\displaystyle \scriptstyle i_{\text{test}}~=~{\frac {v_{\text{test}}}{r_{O3}}}\,-\,{\frac {\beta }{2}}i_{\text{test}}}$出力インピーダンスを求めると、次のようになる。

${\displaystyle z_{\text{out}}={\frac {v_{\text{test}}}{i_{\text{test}}}}=\left(1+{\frac {\beta }{2}}\right)r_{O3}\approx {\frac {\beta }{2}}r_{O3}}$ …（６）

標準的な2トランジスタ電流ミラーでは、出力インピーダンスは出力トランジスタの動的アーリー抵抗となり、この場合、その等価値は${\displaystyle \scriptstyle r_{O3}}$ウィルソン電流ミラーの出力インピーダンスは、係数だけ高い。${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\beta }{2}}}$およそ50倍。

電流ミラーの入力インピーダンスは、入力電圧の変化（図1および図2の入力端子から接地までの電位）と、それを引き起こす入力電流の変化の比です。出力電流の変化は入力電流の変化とほぼ等しいので、Q3のベース・エミッタ間電圧の_変化は${\displaystyle \scriptstyle \Delta V_{BE3}~=~{\frac {\Delta I_{\text{in}}}{g_{m3}}}}$_{式（3）は、 Q2}のコレクターがほぼ同じ量だけ変化することを示しているので、${\displaystyle \scriptstyle \Delta V_{BE2}~\approx ~{\frac {\Delta I_{\text{in}}}{g_{m2}}}}$_{入力電圧はQ2}とQ3_のベース・エミッタ間電圧の合計であり、Q2とQ3のコレクタ電流はほぼ等しいので、${\displaystyle \scriptstyle g_{m2}~=~g_{m3}}$入力インピーダンスは${\displaystyle \scriptstyle z_{\text{in}}~=~{\frac {2}{g_{m3}}}}$標準式を使用して${\displaystyle \scriptstyle g_{m}~=~{\frac {I_{C}}{V_{T}}}}$結果として以下につながる：

${\displaystyle z_{\text{in}}={\frac {2kT}{qI_{\text{in}}}}}$ …（７）

どこ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {kT}{q}}=V_{T}}$は通常の熱電圧であり、ボルツマン定数と絶対温度の積を電子の電荷で割ったものです。このインピーダンスは の値の 2 倍です。${\displaystyle \scriptstyle z_{\text{in}}}$標準的な2トランジスタ電流ミラーの場合。

電流ミラーは、集積回路の信号経路で頻繁に使用されます。たとえば、演算増幅器内での差動信号からシングルエンド信号への変換などです。バイアス電流が低い場合、回路のインピーダンスは十分に高いため、周波数の影響は、入力ノードと出力ノードを接地へ並列接続するデバイス容量と寄生容量によって支配され、入力インピーダンスと出力インピーダンスが低下します。^{[ 3 ]}コレクタ-ベース容量、${\displaystyle \scriptstyle C_{\mu 3}}$, of Q₃ is one component of that capacitive load. The collector of Q₃ is the output node of the mirror and its base is the input node. When any current flows in ${\displaystyle \scriptstyle C_{\mu 3}}$, that current becomes an input to the mirror and the current is doubled at the output. Effectively the contribution from Q₃ to the total output capacitance is ${\displaystyle \scriptstyle 2C_{\mu 3}}$. If the output of the Wilson mirror is connected to a relatively high impedance node, the voltage gain of the mirror may be high. In that case the input impedance of the mirror may be affected by the Miller effect because of ${\displaystyle \scriptstyle C_{\mu 3}}$, although the low input impedance of the mirror mitigates this effect.

When the circuit is biased at higher currents that maximize the frequency response of the transistor current gain, it is possible to operate a Wilson current mirror with satisfactory results at frequencies up to approximately one tenth of the transition frequency of the transistors.^[3] The transition frequency of a bipolar transistor, ${\displaystyle \scriptstyle f_{T}}$, is the frequency at which the short-circuit common-emitter current gain falls to unity.^[7] It is effectively the highest frequency for which a transistor may supply useful gain in an amplifier. The transition frequency is a function of the collector current, increasing with increasing current until a broad maximum at a collector current slightly less than what causes the onset of high injection. In simple models of the bipolar transistor when the collector is grounded, ${\displaystyle \scriptstyle \beta \left(f\right)}$ shows a single-pole frequency response so ${\displaystyle \scriptstyle f_{T}}$ is also the current gain-bandwidth product. Crudely this implies that at ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {f_{T}}{10}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle \beta \left({\frac {f_{T}}{10}}\right)~\approx ~-j10}$. By equation (4) one might expect the magnitude of the ratio of output to input current at that frequency to differ from unity by about 2%.

The Wilson current mirror achieves the high output impedance of equation (6) by negative feedback rather than by emitter degeneration as cascoded mirrors or sources with resistor degeneration do. The node impedance of the only internal node of the mirror, the node at the emitter of Q₃ and the collector of Q₂, is quite low.^[3] At low frequency, that impedance is given by ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {V_{T}}{\beta I_{\text{in}}}}~=~{\frac {kT}{q\beta I_{\text{in}}}}}$. For a device biased at 1 mA having a current gain of 100, this evaluates to 0.26 ohms at 25 °C. Any change in output current with output voltage results in a change in the emitter current of Q₃ but very little change in the emitter node voltage. The change in ${\displaystyle \scriptstyle i_{E3}}$_Q2とQ1_を通して入力ノードにフィードバックされ、_Q3のベース電流を変化させることで出力電流の正味の変化を減少させ、フィードバックループを閉じます。

負帰還ループ（電流ループまたは電圧ループ）を含む回路で、ループゲインが1に近いか1を超える場合、ループ内の信号の位相シフトが負帰還を正帰還に変換するのに十分な場合、周波数応答に望ましくない異常が生じる可能性があります。ウィルソン電流ミラーの電流帰還ループの場合、この効果は出力電流と入力電流の比に強い広帯域共振ピークとして現れます。${\displaystyle \scriptstyle H_{WCM}\left(s\right)~\equiv ~{\frac {i_{\text{out}}\left(s\right)}{i_{\text{in}}\left(s\right)}}}$約${\displaystyle \scriptstyle {\frac {f_{T}}{3}}}$ギルバート^{[ 3 ]}は、 NPNトランジスタで実装されたウィルソン電流ミラーのシミュレーションを示しています。${\displaystyle \scriptstyle f_{T}~=~3.0}$GHzと電流利得${\displaystyle \scriptstyle \beta ~=~100}$ピーク値は7.5dBである 。${\displaystyle \scriptstyle \left(\left|H_{WCM}\left(s\right)\right|~=~2.4\right)}$1.2  GHzにおいて、この挙動は非常に好ましくなく、基本ミラー回路をさらに改良することで大部分を解消できます。図4bは、Q1とQ2のベースをQ2のコレクタから切り離し、Q3に2つ目のエミッタを追加して内部ミラーのベースを駆動することでこのピークを低減する、ウィルソンミラーの可能な_{バリエーション}を_示してい_ます。同じバイアス条件とデバイスタイプの場合、この回路は50 MHzまで平坦な周波数応答を示し、ピーク応答は0.7 dB 未満です。 ${\displaystyle \scriptstyle \left(\left|H_{WCM}\left(s\right)\right|~=~1.08\right)}$160MHzでは 、低周波応答が350MHzで低下する 。

電流源のコンプライアンス、すなわち出力電流がほぼ一定に保たれる出力電圧の範囲は、電流源が組み込まれた回路のバイアスおよび動作に利用できる電位に影響を与える。例えば、図2では、「負荷」に利用可能な電圧は電源電圧と電圧の差である。${\displaystyle \scriptstyle V_{CC}}$_{そして、Q 3}のコレクタ電圧。Q ₃のコレクタはミラーの出力ノードであり、そのコレクタの接地に対する電位がミラーの出力電圧、すなわち、${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{mirror out}}~=~v_{BE2}\,+\,v_{CE3}}$そして「負荷」電圧は${\displaystyle \scriptstyle V_{CC}\,-\,v_{\text{mirror out}}}$負荷電圧範囲は最小値で最大化されます${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{mirror out}}}$また、電流ミラーソースをシステムの一段の能動負荷として使用する場合、次の段への入力は、ソース出力ノードとミラーと同じ電源レールに直接接続されることがよくあります。このため、最小${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{mirror out}}}$後段のバイアス調整を簡素化し、過渡状態や過負荷状態においてその段を完全にオフにできるようにするために、できるだけ小さく保つ必要がある。

ウィルソン電流ミラーの最小出力電圧は、Q ₂のベース・エミッタ電圧を十分に上回って、Q _{3 が}飽和ではなくアクティブモードで動作するようにする必要があります。ギルバート^{[ 3 ]}は、880 ミリボルトという低い出力電圧でも一定の出力電流を示す代表的なウィルソン電流ミラーの実装に関するデータを報告しています。回路は高周波動作用にバイアスされているため、${\displaystyle \scriptstyle V_{BE}~\geq ~0.7}$_{これは、 Q3}の飽和電圧が0.1～0.2ボルトであることを示しています。対照的に、標準的な2トランジスタミラーは、出力トランジスタの飽和電圧まで動作します。

ウィルソン電流ミラーの入力電圧は${\displaystyle \scriptstyle v_{\text{in}}=v_{BE2}+v_{BE3}}$入力ノードは低インピーダンスノードであるため、動作中は電圧がほぼ一定に保たれます。${\displaystyle \scriptstyle 2V_{BE}\approx 1.4}$ボルト。標準的な2トランジスタミラーの等価電圧は、ベース-エミッタ間電圧降下1つ分だけです。${\displaystyle \scriptstyle V_{BE}}$または、ウィルソンミラーの半分です。ミラーへの入力電流を生成する回路に利用可能なヘッドルーム（反対側の電源レールとミラーの入力間の電位差）は、電源電圧とミラー入力電圧の差です。ウィルソン電流ミラー構成の高い入力電圧と高い最小出力電圧は、電源電圧が低い回路、特にバッテリー駆動デバイスで見られるような3ボルト未満の電源電圧では問題になる可能性があります。