マン・ホイットニーU検定

マン・ホイットニー検定${\displaystyle U}$（マン・ホイットニー・ウィルコクソン（MWW/MWU）、ウィルコクソン順位和検定、またはウィルコクソン・マン・ホイットニー検定とも呼ばれる）は、2 つの母集団からランダムに選択された値XとYについて、 XがYより大きい確率はYがXより大きい確率に等しいという帰無仮説のノンパラメトリック 統計検定です。

2 つの従属サンプルに使用されるノンパラメトリック検定は、符号検定とウィルコクソンの符号順位検定です。

ヘンリー・マンとドナルド・ランサム・ホイットニー^[1]は、連続的な応答を仮定し、対立仮説として一方の分布が他方の分布よりも確率的に大きいという仮定の下でマン・ホイットニーのU検定を開発しましたが、マン・ホイットニーのU検定が有効な検定を与えるように帰無仮説と対立仮説を定式化する方法は他にもたくさんあります。 ^[2]

非常に一般的な定式化では、次のように仮定します。

1. 両グループからの観察結果は互いに独立しており、
2. 回答は少なくとも順序付けられている（つまり、少なくとも2つの観測値のうちどちらが大きいかを言える）。
3. 帰無仮説H0の下では_、両集団の分布は同一である。^[3]
4. 対立仮説H ₁は、分布が同一ではないというものです。

一般的な定式化では、テストはH ₁で次の条件が満たされる場合にのみ一貫しています。

1. 母集団Xの観測値が母集団Yの観測値を超える確率は、母集団Yの観測値が母集団 Xの観測値を超える確率とは異なります (大きい、または小さい) 。つまり、 P( X > Y ) ≠ P( Y > X )またはP( X > Y ) + 0.5 · P( X = Y ) ≠ 0.5 です。

上記の一般的な定式化よりも厳密な仮定、たとえば、応答が連続的であり、対立仮説が位置のシフトに制限されている場合、つまりF ₁ ( x ) = F ₂ ( x + δ )の場合、有意な Mann–Whitney U検定は中央値の差を示していると解釈できます。この位置シフトの仮定の下では、Mann–Whitney U検定は、2 つの母集団間の中心傾向の差のHodges–Lehmann 推定値が 0 と異なるかどうかを評価するものと解釈することもできます。この 2 標本の問題に対するHodges–Lehmann 推定値は、最初の標本の観測値と 2 番目の標本の観測値の間のすべての可能な差の 中央値です。

それ以外の場合、両方のサンプルの分散と分布の形状の両方が異なる場合、マン・ホイットニーU検定は中央値の検定に失敗します。中央値が数値的に等しいにもかかわらず、検定が小さなp値で帰無仮説を棄却する例を示すことは可能です。^{[4] [5] [6]}

Mann–Whitney U検定 / Wilcoxon 順位和検定はWilcoxon符号順位検定と同じではありませんが、どちらもノンパラメトリックで順位の合計を伴います。Mann–Whitney U検定は独立サンプルに適用されます。Wilcoxon 符号順位検定は、マッチングサンプルまたは従属サンプルに適用されます。

をグループ 1、からのiid サンプル、 をグループ 2、 からの iid サンプルとし、両方のサンプルが互いに独立しているとします。対応するMann–Whitney U 統計量は、次の小さい方として定義されます。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n_{1}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n_{2}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle U_{1}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{1}(n_{1}+1)}{2}}-R_{1},U_{2}=n_{1}n_{2}+{\tfrac {n_{2}(n_{2}+1)}{2}}-R_{2}}$

と

${\displaystyle R_{1},R_{2}}$は、両グループのすべてのサンプルを順位付けした後、最小値が1位、最大値が となるようにグループ1と2の順位の合計である。^[7]${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$

U統計量は受信者動作特性曲線 （AUC ）の下の面積と関連している：^[8]

${\displaystyle \mathrm {AUC} _{1}={U_{1} \over n_{1}n_{2}}}$

これは共通言語効果サイズと同じ定義、つまり分類器が第1グループからランダムに選択されたインスタンスを第2グループからランダムに選択されたインスタンスよりも高くランク付けする確率であることに注意してください。^[9]

U統計量は確率的な形式であるため、2つ以上のクラスに対する分類器の分離力の尺度として一般化することができる。^[10]

${\displaystyle M={1 \over c(c-1)}\sum \mathrm {AUC} _{k,\ell }}$

ここで、c はクラスの数であり、AUC _{k 、 ℓ}のR _{k、ℓ項は、クラス}kとℓに属するアイテムの順位付けのみを考慮します（つまり、他のすべてのクラスに属するアイテムは無視されます）。順位付けは、それらのアイテムがクラスkに属する確率に関する分類器の推定値に基づきます。 AUC _{k、k は}常にゼロになりますが、2 クラスの場合とは異なり、一般にAUC _k、ℓ ≠ AUC _ℓ、kです。そのため、M尺度はすべての ( k、ℓ ) ペアを合計し、実質的に AUC _k、ℓと AUC _ℓ、kの平均を使用します。

この検定では、帰無仮説の下での分布が既知である統計量（通常はUと呼ばれる）の計算が行われます。

• サンプル数が少ない場合は、分布は表にまとめられる。
• サンプルサイズが約 20 を超える場合、正規分布を使用した近似値はかなり良好です。

あるいは、順列検定とモンテカルロシミュレーションを 使用してヌル分布を近似することもできます。

いくつかの書籍では、 U自体ではなく、サンプルの 1 つにおける順位の合計など、Uと同等の統計を表にまとめています。

マン・ホイットニーのU検定は、ほとんどの統計パッケージに含まれています。

特にサンプル数が少ない場合は、手作業で簡単に計算できます。計算方法は 2 つあります。

方法 1:

2 つの小さな観測セットを比較する場合、直接的な方法が迅速で、すべてのペアワイズ コンテストでの勝利数に対応するU統計量の意味を理解するのに役立ちます (以下の例のカメとウサギの例を参照)。1 つのセットの各観測値について、この最初の値が他のセットの観測値に勝った回数を数えます (この最初の値の方が大きい場合は、もう一方の値が負けます)。同点の場合は 0.5 と数えます。最初のセットの勝利と同点の合計はU (つまり、) です。他のセットのU はその逆です (つまり、)。 ${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

方法 2:

より大きなサンプルの場合:

1. すべての観測値に数値ランクを割り当てます (両方のグループの観測値を 1 つのセットにまとめます)。最小値の 1 から始まります。同点値のグループがある場合は、調整されていないランクの中間点に等しいランクを割り当てます (例: (3, 5, 5, 5, 5, 8)のランクは(1, 3.5, 3.5, 3.5, 6)であり、調整されていないランクは(1, 2, 3, 4, 5, 6)になります)。
2. ここで、サンプル 1 から得られた観測値の順位を合計します。すべての順位の合計はN ( N + 1)/2に等しくなり、ここでN は観測値の総数であるため、サンプル 2 の順位の合計が決定されます。
3. Uは次のように与えられる: ^[11]

${\displaystyle U_{1}=R_{1}-{n_{1}(n_{1}+1) \over 2}\,\!}$

ここで、n ₁はサンプル 1 のサンプル サイズ、R _{1 は}サンプル 1 の順位の合計です。

2つのサンプルのうちどちらがサンプル1であるかは問題ではないことに注意してください。Uの同様に有効な式は次のとおりです。

${\displaystyle U_{2}=R_{2}-{n_{2}(n_{2}+1) \over 2}\,\!}$

U ₁とU ₂の小さい方の値が、有意性表を参照する際に使用されます。2つの値の合計は次のように表されます。

${\displaystyle U_{1}+U_{2}=R_{1}-{n_{1}(n_{1}+1) \over 2}+R_{2}-{n_{2}(n_{2}+1) \over 2}.\,\!}$

R ₁ + R ₂ = N ( N + 1)/2かつN = n ₁ + n ₂であることと、代数計算をすると、合計は次のようになる。

U ₁ + U ₂ = n ₁ n ₂です。

Uの最大値は、2 つのサンプルのサンプル サイズの積です (つまり、)。このような場合、「その他の」U は0 になります。 ${\displaystyle U_{i}=n_{1}n_{2}}$

イソップが、1 匹のカメが 1 匹のウサギに勝ったという古典的な実験に満足せず、その結果がカメやウサギ全般に当てはまるかどうかを調べるために有意性検定を行うことにしたとします。彼は 6 匹のカメと 6 匹のウサギのサンプルを集め、一度にすべてのウサギにレースを走らせます。彼らがゴールポストに到着する順序 (ゴールラインを最初に通過した者から最後に通過した者までの順位) は次のようになります。T はカメ、H はウサギを表します。

ドゥーーーーーー

Uの値は何ですか?

• 直接法では、各カメを順番に捕まえて、そのカメがウサギに勝った数を数えると、6、1、1、1、1、1 となり、U _T = 11となります。あるいは、各ウサギを順番に捕まえて、そのカメがウサギに勝った数を数えることもできます。この場合、5、5、5、5、5、0 となり、U _H = 25となります。これら 2 つの値の合計はU = 36となり、6×6となることに注意してください。
• 間接的な方法を使用する:

コースを完了するのにかかる時間によって動物をランク付けします。つまり、最初の動物にはランク 12、2 番目の動物にはランク 11 というようにランク付けします。

カメが獲得した順位の合計は12 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 32です。

したがって、_UT = 32 − (6×7)/2 = 32 − 21 = 11（方法1と同じ）。

ウサギたちが​​到達した順位の合計は11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 1 = 46となり、 U _H = 46 − 21 = 25となります。

マン・ホイットニーU検定の結果を報告する際には、以下の点を述べることが重要である。^[12]

• 2 つのグループの中心傾向の尺度 (平均値または中央値。マン・ホイットニーU検定は順序検定であるため、通常は中央値が推奨されます)
• Uの値(共通言語効果サイズや順位双列相関などの効果サイズの尺度を使用する場合もあります)。
• サンプルサイズ
• 有意水準。

実際には、この情報の一部はすでに提供されている可能性があり、それを繰り返すかどうかは常識に基づいて判断する必要があります。典型的なレポートは次のようになります。

「E グループと C グループの平均潜時はそれぞれ 153 ミリ秒と 247 ミリ秒でした。2 つのグループの分布は有意に異なっていました (Mann–Whitney U = 10.5、n ₁ = n ₂ = 8、P < 0.05両側)。」

テストの統計的ステータスを完全に反映した声明は次のようになるだろう。

「2 つの治療法の結果は、ウィルコクソン・マン・ホイットニーの 2 サンプル順位和検定を使用して比較されました。治療法の効果 (治療法間の差) は、ウィルコクソン検定と一致するホッジス・レーマン (HL) 推定量を使用して定量化されました。^[13]この推定量 (HLΔ) は、グループ B の被験者とグループ A の被験者の結果のすべての可能な差の中央値です。HLΔ の非パラメトリック 0.95 信頼区間は、集団 B からランダムに選択された被験者が集団 A からランダムに選択された被験者よりも体重が大きい確率の推定値である ρ と同様に、これらの推定値に付随しています。治療法 A と B の被験者の体重の中央値 [四分位] は、それぞれ 147 [121, 177] と 151 [130, 180] kg です。治療法 A では、体重が HLΔ = 5 kg (0.95 CL [2, 9] kg、2 P = 0.02、ρ = 0.58）。

しかし、統計的推論が主なテーマではない文書で、このような詳細なレポートを見つけることはまれです。

大きなサンプルの場合、Uはほぼ正規分布します。その場合、標準化された値は

${\displaystyle z={\frac {U-m_{U}}{\sigma _{U}}},\,}$

ここで、m _Uとσ _UはUの平均と標準偏差であり、その有意性は正規分布の表で確認できる標準正規偏差に近い。m _Uとσ _{U は}次のように与えられる。

${\displaystyle m_{U}={\frac {n_{1}n_{2}}{2}},\,}$ ^[14]および

${\displaystyle \sigma _{U}={\sqrt {n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1) \over 12}}.\,}$ ^[14]

標準偏差の計算式は、同順位の順位がある場合にはより複雑になります。同順位の順位がある場合、σ は次のように調整する必要があります。

${\displaystyle \sigma _{\text{ties}}={\sqrt {{n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1) \over 12}-{n_{1}n_{2}\sum _{k=1}^{K}(t_{k}^{3}-t_{k}) \over 12n(n-1)}}},\,}$ ^[15]

ここで、左側は単純に分散、右側は同点の調整、 t _kはk番目のランクの同点の数、K は同点を含む一意のランクの合計数です。

n ₁ n ₂ /12を因数分解し たより計算効率の良い形式は

${\displaystyle \sigma _{\text{ties}}={\sqrt {{n_{1}n_{2} \over 12}\left((n+1)-{\sum _{k=1}^{K}(t_{k}^{3}-t_{k}) \over n(n-1)}\right)}},}$

ここでn = n ₁ + n ₂です。

同点の数が少ない場合 (特に大きな同点バンドがない場合)、手作業で計算するときに同点を無視できます。コンピュータの統計パッケージでは、正しく調整された式が日常的に使用されます。

U ₁ + U ₂ = n ₁ n ₂なので、正規近似で使用される平均n ₁ n ₂ /2は、 Uの 2 つの値の平均であることに注意してください。したがって、計算されるz統計量の絶対値は、Uのどの値を使用しても同じになります。

科学者が推論テストの効果サイズを報告することは広く推奨されている。 ^{[16] [17]}

以下の対策は同等です。

マン・ホイットニーのU検定で効果サイズを報告する方法の 1 つは、共通言語効果サイズであるf を使用することです。^{[18] [19]}標本統計量として、共通言語効果サイズは、2 つのグループ間で可能なすべてのペアを作成し、方向性 (たとえば、グループ 1 の項目がグループ 2 の項目よりも大きい) をサポートするペアの割合を見つけることによって計算されます。^[19]たとえば、10 匹のウサギと 10 匹のカメの標本を使用した研究では、順序付けられたペアの合計数は 10 の 10 倍、つまり 100 組のウサギとカメです。結果が 100 の標本ペアのうち 90 組でウサギがカメよりも速く走ったことを示しているとします。その場合、標本の共通言語効果サイズは 90% です。^[20]

fとマン・ホイットニーU (具体的には)の関係は次のとおりです。 ${\displaystyle U_{1}}$

${\displaystyle f={U_{1} \over n_{1}n_{2}}\,}$

これは、ROC 曲線の曲線下面積 (AUC) と同じです。

Uと線形関係にあり、分類（概念を含む弁別学習）の研究などで広く使用されているρと呼ばれる統計量^[21]は、 Uを与えられたサンプルサイズでの最大値（単純にn ₁ × n _2）で割ることによって計算されます。したがって、 ρは2つの分布の重なりのノンパラメトリックな尺度であり、0から1の間の値を取り、P( Y > X ) + 0.5 P( Y = X )の推定値です。ここで、XとYは2つの分布からランダムに選択された観測値です。両極端の値は分布が完全に分離していることを表しますが、ρが0.5の場合は完全に重なり合っていることを示します。ρ統計量の有用性は、上で使用した奇妙な例で確認できます。この例では、マン・ホイットニーU検定で有意に異なる 2 つの分布が、それにもかかわらずほぼ同一の中央値を持っていました。この場合の ρ 値は、ウサギに有利な約 0.723 であり、中央値のカメが中央値のウサギに勝ったにもかかわらず、ウサギの集団はカメの集団よりも優れていたという事実を正しく反映しています。^{[引用が必要]}

マン・ホイットニーU検定の効果量を報告する方法として、順位相関の尺度である順位双列相関を使用する方法があります。エドワード・キュアトンがこの尺度を導入し、この尺度に名前を付けました。^[22]他の相関尺度と同様に、順位双列相関はマイナス1からプラス1の範囲で表され、値が0の場合は関係がないことを示します。

共通言語効果サイズから順位双列相関を計算するための簡単な差分式がある。相関は仮説に有利なペアの割合（f）とその補集合（つまり、不利なペアの割合（u））の差である。この簡単な差分式は、各グループの共通言語効果サイズの差であり、次のとおりである。^[18]

${\displaystyle r=fu}$

たとえば、100 組のうち 90 組でウサギがカメよりも速く走る例を考えてみましょう。共通言語効果サイズは 90% なので、順位バイセリアル相関は 90% マイナス 10% となり、順位バイセリアル r = 0.80となります。

順位二列分布の別の計算式は、マン・ホイットニーU（または）と各グループのサンプルサイズから計算することができる：^[23]${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

${\displaystyle r=f-(1-f)=2f-1={2U_{1} \over n_{1}n_{2}}-1=1-{2U_{2} \over n_{1}n_{2}}}$

この式は、データが利用できないけれども、公表されたレポートがある場合に役立ちます。なぜなら、 Uとサンプル サイズは定期的に報告されるからです。上記の例で、ウサギを好むペアが 90 組、カメを好むペアが 10 組の場合、U _{2 は}2 つのうち小さい方なので、U ₂ = 10です。この式では、 r = 1 – (2×10) / (10×10) = 0.80となり、これは上記の単純な差分式と同じ結果になります。

マン・ホイットニーのU検定は、あるグループからランダムに抽出された観測値の確率分布が、他のグループからランダムに抽出された観測値の確率分布と同じであるという帰無仮説を、それらの分布が等しくないという対立仮説に対して検定します (マン・ホイットニーの U 検定#仮定と仮説の正式な記述を参照)。対照的に、t 検定は、2 つのグループの平均が等しいという帰無仮説を、平均が等しくないという対立仮説に対して検定します。したがって、特別な場合を除き、マン・ホイットニーのU検定と t 検定は同じ仮説を検定しないため、この点を念頭に置いて比較する必要があります。

順序データ

データが順序尺度化されていても間隔尺度化されていない場合、スケールの隣接する値間の間隔が一定であると想定できないため、 t検定よりもMann–Whitney U検定の方が適しています。

堅牢性

順位の合計を比較するため、^[24]マン・ホイットニーのU検定は外れ値の存在により誤って有意性を示す可能性がt検定よりも低い。しかし、データが異分散かつ非正規分布の場合、マン・ホイットニーのU検定ではタイプIの誤差制御が悪くなる可能性がある。 ^[25]

効率

正規性が保たれている場合、マン・ホイットニーのU検定はt検定と比較すると（漸近的）効率が3/πまたは約0.95になります。 [ 26 ]^分布が正規分布から十分に離れており、サンプルサイズが十分に大きい場合、マン・ホイットニーのU検定はt検定よりもかなり効率的です。^[27]ただし、この効率の比較は、マン・ホイットニー検定とt検定が同じ量を検定しているわけではないため、慎重に解釈する必要があります。たとえば、グループ平均の差が主な関心事である場合、マン・ホイットニー検定は適切な検定ではありません。^[28]

マン・ホイットニーU検定は、データの順位付けに対して通常のパラメトリック2標本t検定を実行するのと非常によく似た結果を与える。 ^[29]

マン・ホイットニーのU検定は、帰無仮説の下で分布が同じであると仮定せずに（つまり、 と仮定して） 、帰無仮説を対立仮説 に対して検定するのには有効ではありません。 ^[2]これらの仮説間の検定には、より優れた検定法があります。その中には、ブルンナー・ムンツェル検定とフリグナー・ポリチェロ検定があります。^[31]具体的には、より一般的な帰無仮説 の下では、マン・ホイットニーのU検定では、大規模なサンプルであってもタイプIの誤り率が膨らむ可能性があります（特に、2つの母集団の分散が等しくなく、サンプルサイズが異なる場合）。これは、より優れた代替法が解決する問題です。^[32]その結果、帰無仮説の下で分布が等しいと仮定できない場合は、代替法の1つ（具体的にはブルンナー・ムンツェル検定）を使用することが提案されています。^[32]${\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5}$${\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)\neq 0.5}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$${\displaystyle P(Y>X)+0.5P(Y=X)=0.5}$

単純なシフト解釈を望む場合、2つのサンプルの分布が大きく異なるときには、有意な結果の解釈を誤る可能性があるため、マン・ホイットニーのU検定は使用すべきではない。^[33]そのような状況では、t検定の不等分散バージョンの方がより信頼性の高い結果をもたらす可能性がある。

同様に、一部の著者（例：Conover ^{[全文引用が必要]}）は、データをランクに変換し（まだランク付けされていない場合）、変換されたデータに対してt検定を実行することを提案しています。使用されるt検定のバージョンは、母集団の分散が異なると疑われるかどうかによって異なります。ランク変換では分散は保持されませんが、ランク変換後のサンプルから分散が再計算されます。

ブラウン・フォーサイス検定は、等分散のF検定に相当する適切なノンパラメトリック検定として提案されている。^[要出典]

より強力な検定法はブルンナー・ミュンツェル検定であり、交換可能性の仮定に違反した場合にはマン・ホイットニーのU検定よりも優れた結果を示す。 ^[34]

マン・ホイットニーU検定は比例オッズモデルの特殊なケースであり、共変量調整が可能です。^[35]

コルモゴロフ・スミルノフ検定も参照してください。

マン・ホイットニーU検定は、他の多くのノンパラメトリック統計手法と関連しています。たとえば、変数の 1 つがバイナリ (つまり、2 つの値しか取れない) の場合、ケンドールのタウ相関係数と同等になります。^{[引用が必要]}

多くのソフトウェアパッケージでは、マン・ホイットニーU検定（適切な代替案に対する均等分布の仮説）の文書化が不十分である。一部のパッケージでは同点の扱いが間違っていたり、漸近的手法（連続性の補正など）が文書化されていなかったりする。2000年のレビューでは、以下のパッケージのいくつかについて議論された。^[36]

• MATLABの Statistics Toolbox には、.mw-parser-output .monospaced{font-family:monospace,monospace}ranksum があります。
• Rの統計基本パッケージは、その「stats」パッケージ内にテスト wilcox.test を実装します。
• rcompanion パッケージの R 関数 wilcoxonZ は、Wilcoxon の 2 サンプル、対応のある、または 1 サンプルのテストのz統計量を計算します。
• SAS は手順の中でテストを実装しますPROC NPAR1WAY。
• PythonにはSciPyによって提供されるこのテストの実装があります。^[37]
• SigmaStat (SPSS Inc.、イリノイ州シカゴ)
• SYSTAT (SPSS Inc.、イリノイ州シカゴ)
• JavaにはApache Commonsによって提供されるこのテストの実装がある^[38]
• Juliaにはこのテストの実装がいくつかのパッケージで用意されている。パッケージではHypothesisTests.jl、これは として見つかるpvalue(MannWhitneyUTest(X, Y))。^[39]
• JMP (SAS Institute Inc.、ノースカロライナ州ケアリー)
• S-Plus (MathSoft, Inc.、ワシントン州シアトル)
• STATISTICA (StatSoft, Inc.、オクラホマ州タルサ)
• UNISTAT（ユニスタット社、ロンドン）
• SPSS (SPSS Inc、シカゴ)
• StatsDirect (StatsDirect Ltd、英国マンチェスター) は、すべての一般的なバリアントを実装します。
• Stata (Stata Corporation、テキサス州カレッジステーション) は、ranksum コマンドでこのテストを実装しています。
• StatXact (Cytel Software Corporation、マサチューセッツ州ケンブリッジ)
• PSPP はWILCOXON 関数でテストを実装します。
• KNIME は、Wilcoxon–Mann–Whitney テスト ノードでテストを実装します。

この統計は、1914年にドイツのグスタフ・ドイヒラーが発表した論文^[40]に掲載されている（分散の項が欠落している）。

1945年の単一の論文で、フランク・ウィルコクソンは^、 1標本符号順位検定と2標本順位和検定の両方を、その相補対立仮説（等しいか等しくないか）に対する点帰無仮説による有意性検定として提案しました[41]。しかし、彼はその論文では、標本サイズが等しい場合について数点しか表に示しませんでした（ただし、後の論文ではより大きな表を示しました）。

1947年にヘンリー・マンと彼の学生ドナルド・ランサム・ホイットニーが発表した論文には、任意のサンプルサイズでの裾確率の計算を可能にする再帰や、8以下のサンプルサイズの表など、この統計の徹底的な分析が掲載されました。^[1]この論文では、確率的順序付け（累積分布関数が点ごとの不等式F _X ( t ) < F _Y ( t )を満たす）などの対立仮説について議論しました。この論文では、最初の4つのモーメントも計算し、帰無仮説の下での統計の極限正規性を確立し、漸近的に分布フリーであることを確立しました。

• ルページテスト
• クッコーニテスト
• コルモゴロフ・スミルノフ検定
• ウィルコクソンの符号順位検定
• クラスカル・ワリス一元配置分散分析
• ブルンナー・ミュンツェルテスト
• 比例オッズモデル

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• Uの臨界値表(pdf)
• Uとその重要性のインタラクティブ計算機
• 実験心理学者 Karl L. Weunsch による簡単なガイド – ノンパラメトリック効果サイズ推定値 (Copyright 2015 by Karl L. Weunsch)