符号テスト

符号検定は、被験者の治療前と治療後の体重など、観測値のペア間の一貫した差異を統計的に検定するものです。被験者ごとに観測値のペア（治療前と治療後の体重など）が与えられ、符号検定は、ペアの一方（治療前など）が、ペアのもう一方（治療後など）よりも大きい（または小さい）傾向があるかどうかを判定します。

対になった観測値はxとyで表されます。対になった観測値 ( x、y ) の比較では、比較がx > y、x = y、またはx < yとしてのみ表現できる場合に、符号検定が最も役立ちます。代わりに、観測値が数値 ( x = 7、y = 18) または順位 ( xの順位 = 1 位、 yの順位= 8 位)として表現できる場合は、通常、対になったt 検定^[1] またはWilcoxon の符号順位検定^[2]の方が、一貫した差を検出するのに符号検定よりも強力な検出力を持ちます。

XとYが量的変数である場合、XとYから対になった標本を抽出できる状況で、 2つのランダム変数XとYが連続分布していると仮定して、 XとYの差の中央値がゼロであるという仮説を符号検定で検定することができます。^[3]

符号検定では、数値の集合の中央値が指定された値よりも大幅に大きいか小さいかを検定することもできます。たとえば、クラスの生徒の成績のリストがある場合、符号検定では、成績の中央値が、たとえば 100 点満点中 75 点と大幅に異なるかどうかを判定できます。

符号検定は、検定対象の分布の性質についてほとんど仮定を行わないノンパラメトリック検定です。つまり、非常に一般的な適用性がありますが、他の検定ほどの統計的検出力がない可能性があります。

対応のあるサンプルの符号検定の 2 つの条件は、各母集団からサンプルをランダムに選択することと、サンプルが従属、つまり対応していることです。独立したサンプルは意味のある対応にすることはできません。この検定はノンパラメトリックなので、サンプルは正規分布する母集団から取得する必要はありません。また、この検定は左側検定、右側検定、両側検定で使用できます。

p = Pr( X > Y )とし、帰無仮説H ₀ : p = 0.50 を検定します。言い換えると、帰無仮説は、ランダムな測定値のペア ( x _i、y _i ) が与えられた場合、x _iとy _{i が}他方よりも大きくなる可能性が等しいというものです。

帰無仮説を検定するために、母集団{( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ), . . ., ( x _n , y _n )}から独立したサンプルデータのペアが収集されます。差がないペアは省略されるため、サンプル数はmペアに縮小される可能性があります。^[4]

次に、y _i  −  x _i > 0となるペアの数をWとする。H ₀が真であると仮定すると、Wは二項分布W ~ b( m , 0.5) に従う。

i  = 1, ...,  n に対して Z _i  =  Y _i  –  X _iとします 。

1. 差 Z _{i は} 独立していると仮定されます。
2. 各 Z _{i は} 同じ連続した集団から来ます。
3. X _i と Y _{i が}表す値は 順序付けられているため (少なくとも順序尺度)、「より大きい」、「より小さい」、「等しい」などの比較は意味を持ちます。

検定統計量は二項分布に従うと予想されるため、有意性の計算には標準的な二項検定が使用されます。二項分布の正規近似は、 m > 25の大きなサンプルサイズで使用できます。^[4]

左側の値は Pr( W ≤ w ) によって計算され、これは対立仮説 H ₁ : p < 0.50のp 値です。この対立仮説は、 X の測定値が高くなる傾向があることを意味します。

右側の値は Pr( W ≥ w ) によって計算され、これは対立仮説 H ₁ : p > 0.50の p 値です。この対立仮説は、 Y測定値が高くなる傾向があることを意味します。

両側対立仮説 H ₁の場合、p 値は小さい方の裾の値の 2 倍になります。

ザールは、マッチしたペアの符号検定の次の例を示しています。10頭の鹿の左後脚と左前脚の長さのデータが収集されます。^[5]

帰無仮説は、シカの後ろ足と前足の長さに差がないというものです。対立仮説は、後ろ足の長さと前足の長さに差があるというものです。これは、片側検定ではなく、両側検定です。両側検定の場合、対立仮説は、後ろ足の長さが前足の長さよりも長いか短いかのいずれかであるということです。片側検定では、後ろ足の長さが前足の長さよりも長いため、差は一方向 (より大きい) にしか生じないということになります。

鹿は n=10 頭います。正の差は 8 つ、負の差は 2 つです。後ろ足と前足の長さに差がないという帰無仮説が正しい場合、正の差の期待数は 10 個中 5 個です。足の長さに差がない場合、観測された 8 つの正の差、またはより極端な結果が発生する確率はどれくらいでしょうか。

この検定は両側検定であるため、8 個の正の差と同程度かそれ以上に極端な結果には、8、9、または 10 個の正の差の結果と、0、1、または 2 個の正の差の結果が含まれます。10 頭の鹿のうち 8 個以上の正の差が出る確率、または 10 頭の鹿のうち 2 個以下の正の差が出る確率は、公平なコインを 10 回投げて 8 個以上の表が出る確率、または 2 個以下の表が出る確率と同じです。確率は二項検定を使用して計算でき、表の確率 = 裏の確率 = 0.5 となります。

• 公平なコインを 10 回投げて表が 0 回出る確率 = 0.00098
• 公平なコインを 10 回投げて 1 回表が出る確率 = 0.00977
• 公平なコインを 10 回投げて 2 回表が出る確率 = 0.04395
• 公平なコインを 10 回投げて 8 回表が出る確率 = 0.04395
• 公平なコインを 10 回投げて 9 回表が出る確率 = 0.00977
• 公平なコインを 10 回投げて 10 回表が出る可能性 = 0.00098

10 のうち 8 が正の差という極端な結果の両側確率は、次の確率の合計です。

0.00098 + 0.00977 + 0.04395 + 0.04395 + 0.00977 + 0.00098 = 0.109375。

したがって、脚の長さに差がない場合、10 のうち 8 で脚の長さに正の差があるという極端な結果が観察される確率は、p = 0.109375 です。有意水準p = 0.05 では帰無仮説は棄却されません 。サンプル サイズが大きい場合、証拠は帰無仮説を棄却するのに十分である可能性があります。

観察結果は数値（実際の脚の長さ）として表現できるため、一貫した差異を検出するには、通常、対応のある t 検定または Wilcoxon の符号付き順位検定の方が符号検定よりも強力です。この例では、差異の対応のある t 検定により、後脚の長さと前脚の長さの間に有意差があることがわかります（p  = 0.007）。

観察された結果が 10 回の比較で 9 つの正の差であった場合、符号検定は有意になります。コインを投げて 0 回、1 回、9 回、または 10 回表が出る場合のみが、観察された結果と同等かそれ以上に極端になります。

• 公平なコインを 10 回投げて表が 0 回出る確率 = 0.00098
• 公平なコインを 10 回投げて 1 回表が出る確率 = 0.00977
• 公平なコインを 10 回投げて 9 回表が出る確率 = 0.00977
• 公平なコインを 10 回投げて 10 回表が出る可能性 = 0.00098

10 のうち 9 が正の差という極端な結果の確率は、次の確率の合計です。

0.00098 + 0.00977 + 0.00977 + 0.00098 = 0.0215。

一般的に、10 個の正の差のうち 8 個は有意ではない ( p  = 0.11) が、10 個の正の差のうち 9 個は有意である ( p  = 0.0215)。

Conover ^[6]は、マッチドペアの片側符号検定を用いた次の例を示しています。あるメーカーが製品AとBの2つを製造しています。メーカーは、消費者が製品Bを製品Aよりも好むかどうかを知りたいと考えています。10人の消費者のサンプルにそれぞれ製品Aと製品Bを与え、どちらの製品を好むかを尋ねます。

帰無仮説は、消費者は製品 B を製品 A より好まないというものです。対立仮説は、消費者は製品 B を製品 A より好むというものです。これは片側 (方向性) 検定です。

調査終了時には、8 人の消費者が製品 B を好み、1 人の消費者が製品 A を好み、1 人の消費者は好みがないと回答しました。

• + の数 (B が優先) = 8
• – の数 (A が優先) = 1
• 同点数（優先なし） = 1

同点のものは分析から除外され、n = + と - の数 = 8 + 1 = 9 となります。

消費者は A よりも B を好まないという帰無仮説が正しい場合、9 組のうち 8 組が B に有利という極端な結果になる確率はどれくらいでしょうか。これは、公平なコインを 9 回投げて 8 回以上表が出る確率であり、p(表) = p(裏) = 0.5 の二項分布を使用して計算できます。

P(公平なコインを 9 回投げて 8 回または 9 回表が出る) = 0.0195。帰無仮説は棄却され、製造業者は消費者が製品 A よりも製品 B を好むと結論付けます。

Sprent ^[7]は、中央値の符号検定の次の例を示しています。臨床試験で、非ホジキンリンパ腫の被験者10人の生存期間（週）が収集されました。研究が終了した362週後もまだ生きていた1人の被験者の正確な生存期間はわかりませんでした。被験者の生存期間は

49、58、75、110、112、132、151、276、281、362+

プラス記号は、研究終了時に被験者がまだ生存していることを示します。研究者は、生存期間の中央値が 200 週間未満か 200 週間以上かを判断したいと考えていました。

帰無仮説は、生存期間の中央値は 200 週間であるということです。対立仮説は、生存期間の中央値は 200 週間ではないということです。これは両側検定です。対立仮説の中央値は 200 週間より長い場合も短い場合もあります。

帰無仮説が正しい場合、すなわち生存期間の中央値が 200 週間である場合、ランダム サンプルでは、​​被験者の約半数が 200 週間未満で生存し、残りの半数が 200 週間を超えて生存することになります。200 未満の観測値にはマイナス (-) が割り当てられ、200 を超える観測値にはプラス (+) が割り当てられます。被験者の生存時間については、n=10 の被験者に対して、200 週間未満の観測値 (-) が 7 件、200 週間を超える観測値 (+) が 3 件あります。

いずれの観測値も母集団の中央値を上回るか下回る可能性は同じであるため、プラススコアの数は平均 = 0.5 の二項分布になります。10 人の被験者のうち 7 人が中央値を下回る極端な結果になる確率はどれくらいでしょうか。これは、公平なコインを 10 回投げて 7 回表が出るという極端な結果になる確率とまったく同じです。これは両側検定であるため、極端な結果は 3 回以下または 7 回以上表が出る場合のいずれかになります。

公平なコインを 10 回投げて k 回表が出る確率 (p(表) = 0.5) は、二項式で表されます。

Pr(表の数 = k ) = Choose(10, k ) × 0.5 ¹⁰

kの各値に対する確率は以下の表に示されています。

10 回投げて 0、1、2、3、7、8、9、または 10 回表が出る可能性は、それぞれの確率の合計です。

0.0010 + 0.0098 + 0.0439 + 0.1172 + 0.1172 + 0.0439 + 0.0098 + 0.0010 = 0.3438。

したがって、生存期間の中央値が 200 週間の場合、生存データで 3 個以下のプラス記号または 7 個以上のプラス記号が観測される確率は 0.3438 です。帰無仮説が正しい場合、プラス記号の期待数は 5 です。3 個以下のプラス記号、または 7 個以上のプラス記号が観測されることは、5 個と有意差はありません。帰無仮説は棄却されません。サンプル サイズが非常に小さいため、このサンプルでは差異を検出する力が低くなります。

符号検定は、帰無仮説のもとでの成功確率が p=0.5 である二項検定の特殊なケースです。したがって、符号検定は、ほとんどの統計ソフトウェア プログラムで提供されている二項検定を使用して実行できます。符号検定のオンライン計算機は、「符号検定計算機」で検索すると見つかります。多くの Web サイトが二項検定を提供していますが、通常は両側バージョンのみを提供しています。

Excel を使用した符号検定のテンプレートは、http://www.real-statistics.com/non-parametric-tests/sign-test/ で入手できます。

Rでは、関数を使用して二項検定を実行できますbinom.test()。

この関数の構文は

binom.test ( x 、n 、p = 0.5 、alternative = c ( "two.sided" 、"less" 、"greater" )、conf.level = 0.95 )            

どこ

• x= 成功数、または成功数と失敗数をそれぞれ示す長さ 2 のベクトル
• n= 試行回数。x の長さが 2 の場合は無視されます。
• p= 成功の仮定確率
• alternative=対立仮説を示し、「両側」、「より大きい」、「より小さい」のいずれかである必要があります
• conf.level= 返される信頼区間の信頼レベル。

R関数binom.testを使用した符号検定の例

^{Zar [5]}の符号検定の例では、シカの後ろ足と前足の長さを比較しました。10 頭のうち 8 頭では、後ろ足が前足より長かったです。したがって、n=10 回の試行で x=8 回の成功があります。後ろ足と前足の長さは変わらないという帰無仮説の下では、成功の仮定確率 (後ろ足が前足より長いと定義) はp  = 0.5 です。対立仮説は、後ろ足の長さが前足の長さより長いか短いかのどちらかであるというもので、これは alternative="two.sided" として指定された 2 側検定です。

R コマンドは、例のように p=0.1094 を返します。 binom.test(x=8, n=10, p=0.5, alternative="two.sided")

^{Conover [6]}の符号検定の例では、製品 A と製品 B に対する消費者の好みを調べました。帰無仮説は、消費者は製品 B を製品 A より好まないというものでした。対立仮説は、消費者は製品 B を製品 A より好むという片側検定でした。この研究では、好みを表明した 9 人の消費者のうち 8 人が製品 B を製品 A より好んでいました。

R コマンドは、例のように p=0.01953 を返します。 binom.test(x=8, n=9, p=0.5, alternative="greater")

コノバー ^[6]とスプレント ^{[7]は、1710年に}ジョン・アーバノットが符号検定を使用したことを説明しています。アーバノットは、1629年から1710年までの82年間のロンドンの出生記録を調査しました。どの年でも、ロンドンで生まれた男性の数は女性の数を上回っていました。出生数が等しいという帰無仮説が真であれば、観察された結果の確率は1/2 ⁸²となり、アーバノットは男性と女性の出生確率が正確に等しくなかったと結論付けました。

1692年と1710年の出版物により、アーバスノットは「有意性検定の最初の使用」 ^[8] 、統計的有意性と道徳的確実性についての推論の最初の例^[9]、そして「おそらくノンパラメトリック検定の最初の出版された報告」^{[6]として評価されています。}

ハルド^[9]はさらにアーバスノットの研究の影響について説明しています。

「ニコラス・ベルヌーイ (1710–1713) は、年間の男子出生数の変動の大部分がp  = 18/35 の二項式で説明できることを示し、アーバスノットのデータの分析を完了しました。これは、二項式をデータに当てはめた最初の例です。したがって、ここでは、有意性検定で仮説p = 0.5 を棄却し、その後 p を推定し、適合度について議論します...」

符号検定では、ペアの観測値が順序付けられていることだけが必要です。たとえば、x > yです。場合によっては、すべての被験者の観測値に順位値 (1、2、3、...) を割り当てることができます。観測値を順位付けでき、ペアの各観測値が対称分布からのランダムサンプルである場合は、ウィルコクソンの符号順位検定が適切です。ウィルコクソン検定は、一般に符号検定よりも差異を検出する力があります。このような状況では、符号検定とウィルコクソンの符号順位検定の漸近相対効率は0.67 です。^[6]

対になった観測値が数値（Zar の例における後脚と前脚の実際の長さなど）であり、対になった観測値間の差が単一の正規分布からのランダム サンプルである場合、対になった t 検定が適切です。対になった t 検定は一般に、符号検定よりも差を検出する力が大きくなります。このような状況では、符号検定の対になった t 検定に対する漸近相対効率は 0.637 です。ただし、対になった t 検定間の差の分布が正規分布ではなく、裾が重い分布（扁平分布）である場合、符号検定は対になった t 検定よりも高い検出力を持つ可能性があり、漸近相対効率は対になった t 検定に対して 2.0、ウィルコクソンの符号順位検定に対して 1.3 になります。^[6]

いくつかのアプリケーションでは、各ペア内の観測値は0または1の値しか取れません。たとえば、0は失敗を示し、1は成功を示します。可能なペアは4つあります：{0,0}、{0,1}、{1,0}、および{1,1}。これらの場合、符号検定と同じ手順が使用されますが、マクネマー検定として知られています。^[6]

データは、（製品A、製品B）のような対になった観測値ではなく、3つ以上のレベル（製品A、製品B、製品C）で構成される場合があります。個々の観測値が符号検定の場合と同じ順序（たとえばB > C > A）にできる場合は、フリードマン検定を使用できます。^[5]

Bian、McAleer、Wong ^[10]は2011年に、同点が多い場合の対応のあるデータに対するノンパラメトリック検定を提案した。彼らは、同点がある場合、三項検定が符号検定よりも優れていることを示しました。

• ウィルコクソン符号順位検定– 符号検定のより強力な変種ですが、対称分布と間隔データも想定します。
• 中央値検定– 符号検定の対応のない代替検定。

• Gibbons, JDおよび Chakraborti, S. (1992)。ノンパラメトリック統計推論。Marcel Dekker Inc.、ニューヨーク。
• Kitchens, LJ(2003)。「基本的な統計とデータ分析」 Duxbury。
• Conover, WJ (1980).実践ノンパラメトリック統計、第2版、Wiley、ニューヨーク。
• Lehmann, EL (1975)。ノンパラメトリック: 順位に基づく統計手法。Holden and Day、サンフランシスコ。