U統計

統計理論において、U 統計量は、固定サイズのすべての組に特定の関数を適用した場合の平均として定義される統計量の一種です。文字「U」は不偏を表します。^[要出典] 初等統計では、U 統計量は、最小分散の不偏推定量を生成する際に自然に生じます。

U-統計理論は、確率分布の大きなクラスに対して、推定可能パラメータ（あるいは統計関数）の各不偏推定量から最小分散の不偏推定量を導くことを可能にする。^{[1] [2]}推定可能パラメータは、母集団の累積確率分布の測定可能な関数である。例えば、あらゆる確率分布について、母集団の中央値は推定可能パラメータである。U-統計理論は、確率分布の一般的なクラスに適用される。

もともと特定のパラメトリック族向けに導出された統計量の多くは、一般分布のU統計量として認識されている。ノンパラメトリック統計では、U統計量の理論は、統計的手順（推定量や検定など）や、そのような量の漸近正規性や分散（有限サンプル）に関する推定量を確立するために使用される。^[3]この理論は、より一般的な統計量や、ランダムグラフなどの確率過程の研究にも使用されている。^{[4] [5] [6]}

問題に独立かつ同一に分布するランダム変数が関係し、特定のパラメータの推定が必要であるとします。少数の観測値のみに基づいて、単純な不偏推定値を構築できるとします。これにより、指定された数の観測値に基づく基本推定値が定義されます。たとえば、単一の観測値自体は平均の不偏推定値であり、観測値のペアを使用して分散の不偏推定値を導出できます。この推定値に基づく U 統計量は、サブサンプルに適用された基本推定値の平均 (観測値の全セットから指定されたサイズのすべての組み合わせ選択にわたって) として定義されます。

Pranab K. Sen (1992) は、U 統計量を紹介し、それに関連する理論を述べたWassily Hoeffding (1948) の論文のレビューを提供し、その中で Sen は統計理論における U 統計量の重要性を概説しています。Sen は次のように語っています。 ^[7]「Hoeffding (1948) の影響は現時点で圧倒的であり、今後も継続する可能性が高い」。U 統計量の理論は、^[8]独立した同一分布のランダム変数の場合やスカラーランダム変数に限定されないことに注意してください。^[9]

U 統計量という用語は、Hoeffding (1948) によって次のように定義されています。

を実数または複素数とし、を次元変数の -値関数とします。それぞれについて、関連する U 統計量は、異なるエントリを持つからのインデックスの -組の集合の値の平均として定義されます。正式には、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle f\colon (K^{d})^{r}\to K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle n\geq r}$${\displaystyle f_{n}\colon (K^{d})^{n}\to K}$${\displaystyle f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$${\displaystyle I_{r,n}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,n\}}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\prod _{i=0}^{r-1}(ni)}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in I_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$。

特に、が対称である場合、上記は次のように簡略化される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in J_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$、

ここで、 は増加するタプルのサブセットを表します。 ${\displaystyle J_{r,n}}$${\displaystyle I_{r,n}}$

各U統計量は必然的に対称関数となります。 ${\displaystyle f_{n}}$

U 統計量は、統計作業、特に Hoeffding の独立した同一分布のランダム変数のコンテキスト、またはより一般的には、有限母集団からの単純ランダムサンプリングなどの交換可能なシーケンス(定義プロパティは「平均の継承」と呼ばれます) では非常に自然です。

フィッシャーのk統計量とテューキーの多項式統計量は、同次多項式U 統計量 の例です(Fisher、1929 年、Tukey、1950 年)。

大きさNの母集団から抽出された 大きさ nの 単純ランダム標本φの場合、 U 統計量は標本値 ƒ _n ( xφ ) の平均が母集団値 ƒ _N ( x ) と正確に等しいという特性を持ちます。^{[説明が必要]}

例: U 統計量がサンプル平均である場合。 ${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle f_{n}(x)={\bar {x}}_{n}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n}$

の場合、U 統計量は に対して定義される平均ペアワイズ偏差 です。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=2/(n(n-1))\sum _{i>j}|x_{i}-x_{j}|}$${\displaystyle n\geq 2}$

の場合、U 統計量はに対して定義された、 除数 を持つサンプル分散です。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}/(n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n\geq 2}$

3 番目の統計量、つまり に対して定義される標本歪度は U 統計量です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{3,n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{3}n/((n-1)(n-2))}$${\displaystyle n\geq 3}$

次のケースは重要な点を強調しています。 が3 つの値の中央値である場合、 は値の中央値ではありません。ただし、これは 3 つの値の中央値の期待値の最小分散不偏推定値であり、母集団の中央値ではありません。同様の推定値は、確率分布の族のパラメータが確率加重モーメントまたはL モーメントによって推定される場合に中心的な役割を果たします。 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle n}$

• V統計

• ボロフスキー、Yu.V.（1996）。バナッハ空間におけるU統計。ユトレヒト: VSP。pp. xii+ 420。ISBN 90-6764-200-2. MR  1419498。
• Cox, DR, Hinkley, DV (1974)理論統計学。Chapman and Hall。ISBN 0-412-12420-3 
• フィッシャー、RA（1929）標本分布のモーメントと積モーメント ロンドン数学会誌、2、30：199-238。
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• Koroljuk, VS; Borovskich, Yu. V. (1994). U統計の理論. 数学とその応用. 第 273 巻 (1989 年のロシア語原版から PV Malyshev と DV Malyshev による翻訳). ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group. pp. x+552. ISBN 0-7923-2608-3. MR  1472486。
• Lee, AJ (1990) U-統計:理論と実践マルセル・デッカー、ニューヨーク。pp320 ISBN 0-8247-8253-4 
• Sen, PK (1992) Hoeffding (1948) 漸近正規分布による統計のクラスへの入門。Kotz, S.、Johnson, NL Breakthroughs in Statistics 、第 1 巻、pp 299–307。Springer-Verlag。ISBN 0-387-94037-5。 
• サーフリング、ロバート J. (1980)。数理統計学の近似定理。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 0-471-02403-1。
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