近似接線空間

幾何学的測度論において、近似接空間は、微分可能多様体の接空間の概念の測度論的一般化である。

微分幾何学では、接空間の定義特性は、接点付近で滑らかな多様体を1 次近似することです。同様に、接点を拡大していくと、多様体はますます直線的になり、漸近的に接空間に近づく傾向があります。これは、幾何学的測度理論における正しい観点であることがわかります。

定義。をm次元ハウスドルフ測度に関して測定可能な集合とし、その制限測度はラドン測度とする。 m次元部分空間は、と表記される特定の点における への近似接空間であると言い、 ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\llcorner M}$${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}M=P}$

${\displaystyle \left({\mathcal {H}}^{m}\llcorner M\right)_{x,\lambda }\rightharpoonup {\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$として${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

ラドン尺度の意味において。ここで任意の尺度は、再スケールされ変換された尺度 で表されます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu_{x,\lambda}}$

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }(A):=\lambda ^{-n}\mu (x+\lambda A),\qquad A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

確かに、滑らかな部分多様体への任意の古典的な接空間は近似接空間ですが、その逆は必ずしも真ではありません。

放物線

${\displaystyle M_{1}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

は滑らかな1次元部分多様体です。原点における接空間は水平線です。一方、x軸に沿った反射を取り入れると次のようになります。 ${\displaystyle (0,0)\in M_{1}}$${\displaystyle T_{(0,0)}M_{1}=\mathbb {R} \times \{0\}}$

${\displaystyle M_{2}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\cup \{(x,-x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

すると、それはもはや滑らかな 1 次元部分多様体ではなくなり、原点には古典的な接空間は存在しません。一方、原点を拡大すると、その集合は極限で重なり合う 2 本の直線にほぼ等しくなります。重複度が 2 のおおよその接空間を持つと言っても過言ではありません。 ${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$

前述の定義を一般化し、上記のセクションで説明したように多重度を考慮して、 特定のラドン測度の近似接空間を定義することができます。

定義。を上のラドン測度とする。 m次元部分空間は、の重複度（重複度 と表記）を持つ点における への近似接空間であるとは、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta (x)\in (0,\infty )}$${\displaystyle T_{x}\mu =P}$${\displaystyle \theta (x)}$

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }\rightharpoonup \theta (x)\;{\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$として${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

ラドン測度の意味での。右辺はに制限されたm次元ハウスドルフ測度の定数倍である。 ${\displaystyle P}$

この定義は、任意の集合についてその節で述べたように定義すればわかるように、集合の定義を一般化したものです。また、上記の反射放物面の例についても、重複度が 2 である となるため、説明できます。 ${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{n}\llcorner M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{1}\llcorner M_{2}}$${\displaystyle T_{(0,0)}\mu =\mathbb {R} \times \{0\}}$

近似接空間の概念は、修正可能集合の概念と非常に密接に関連しています。大まかに言えば、修正可能集合とは、ほぼどこにでも近似接空間が存在する集合のことです。次の補題はこの関係を要約しています。

補題。がm次元ハウスドルフ測度に関して測定可能であるとする。このとき、m-が修正可能であるのは、ラドン測度が${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle \theta :M\to (0,\infty )}$

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\theta (x)\,d{\mathcal {H}}^{m}(x)}$

ほぼすべてのに対して近似接空間が存在します。 ${\displaystyle T_{x}\mu }$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle x\in M}$

• サイモン、レオン（1983）、幾何学的測度論に関する講義、数学解析センター紀要、第3巻、オーストラリア国立大学特に第 3 章、セクション 11「基本概念、接線特性​​」