フィボナッチ数の一般化

数学では、フィボナッチ数は次のように再帰的に定義される数列を形成します。

${\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}}$

つまり、2 つの開始値の後の、各数値は前の 2 つの数値の合計になります。

フィボナッチ数列は広く研究され、0 と 1 以外の数字から開始したり、2 つ以上の数字を追加して次の数字を生成したり、数字以外のオブジェクトを追加したりするなど、さまざまな方法で一般化されています。

を使用すると、フィボナッチ数を負の整数まで拡張できます。したがって、次の式が得られます。 ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}}$

... −8、5、−3、2、−1、1、0、1、1、2、3、5、8、…

そして[ ^1]${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$

ネガフィボナッチ符号化も参照してください。

フィボナッチ数列には、実数（場合によっては複素数）をその定義域に含む一般化が数多く存在する。これらはいずれも黄金比 φ を含み、ビネーの公式に基づいている。

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$

分析関数

${\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

は偶数に対してという性質を持つ。^[2]同様に、解析関数: ${\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

奇数の整数に対しては満たします。 ${\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

最後に、これらをまとめると、解析関数は

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

はすべての整数に対して満たされる。^[3]${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}}$${\displaystyle n}$

すべての複素数に対して、この関数はフィボナッチ数列を複素平面全体に拡張します。したがって、複素変数の一般化フィボナッチ関数を計算できます。たとえば、 ${\displaystyle \オペレーター名 {Fib} (z+2)=\オペレーター名 {Fib} (z+1)+\オペレーター名 {Fib} (z)}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i}$

フィボナッチ数列という用語は、より一般的には、整数から となる体への任意の関数 にも適用されます。これらの関数はまさに という形式の関数であるため、フィボナッチ数列は関数 とを基底とするベクトル空間を形成します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}$${\displaystyle F(n)}$${\displaystyle F(n-1)}$

より一般的には、 の範囲は任意のアーベル群（ Z加群とみなされる）とみなすことができます。すると、フィボナッチ数列は同様に 2 次元のZ加群を形成します。${\displaystyle g}$

フィボナッチ整数列の2 次元- モジュールは、 を満たすすべての整数列で構成されます。2 つの初期値で表現すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} 、}$

黄金比は どこにありますか。${\displaystyle \varphi}$

連続する 2 つの要素の比率は、常に 0 となるシーケンスと、最初の 2 つの項の比率が となるシーケンスの場合を除き、黄金比に収束します。 ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}}$

このシーケンスは次の形式で記述できます。

${\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},}$

において、 の場合に限ります。この形式では、最も単純で自明でない例は であり、これはルーカス数のシーケンスです。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle a=b=1}$

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.}$

および があります。プロパティには次のものが含まれます。 ${\displaystyle L_{1}=1}$${\displaystyle L_{2}=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}$

すべての非自明なフィボナッチ整数列は（おそらく有限数の位置シフト後に）ウィトフ配列の行の1つとして現れる。フィボナッチ数列自体は最初の行であり、ルーカス数列のシフトは2行目である。^[4]

n を法とするフィボナッチ整数列も参照してください。

フィボナッチ数列の別の一般化は、次のように定義される ルーカス数列です。

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}}$

ここで、通常のフィボナッチ数列は、およびの特殊なケースです。別の種類のルーカス数列は、、で始まります。このような数列は、数論や素数証明 に応用されています。${\displaystyle P=1}$${\displaystyle Q=-1}$${\displaystyle V(0)=2}$${\displaystyle V(1)=P}$

のとき、この数列はPフィボナッチ数列と呼ばれ、たとえばペル数列は2 フィボナッチ数列とも呼ばれます。 ${\displaystyle Q=-1}$

3フィボナッチ数列は

0、1、3、10、33、109、360、1189、3927、12970、42837、141481、467280、1543321、5097243、16835050、55602393、183642229、606529080、...（OEISのシーケンスA006190）

4-フィボナッチ数列は

0、1、4、17、72、305、1292、5473、23184、98209、416020、1762289、7465176、31622993、133957148、567451585、2403763488、...（OEISのシーケンスA001076）

5フィボナッチ数列は

0、1、5、26、135、701、3640、18901、98145、509626、2646275、13741001、71351280、370497401、1923838285、9989688826、...（OEISのシーケンスA052918）

6フィボナッチ数列は

0、1、6、37、228、1405、8658、53353、328776、2026009、12484830、76934989、474094764、2921503573、18003116202、...（OEISのシーケンスA005668）

nフィボナッチ定数は、隣接する - フィボナッチ数が向かう比率です。これはn番目の金属平均とも呼ばれ、の唯一の正の根です。たとえば、 の場合は、つまり黄金比であり、の場合は、つまり白銀比です。一般に、 の場合はです。^[要出典]${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

一般に、は( P , −Q ) -フィボナッチ数列、V ( n )は( P , −Q ) -ルーカス数列と呼ばれる。 ${\displaystyle U(n)}$

(1,2)-フィボナッチ数列は

0、1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2731、5461、10923、21845、43691、87381、174763、349525、699051、1398101、2796203、5592405、11184811、22369621、44739243、89478485、...（OEISのシーケンスA001045）

(1,3)-フィボナッチ数列は

1、1、4、7、19、40、97、217、508、1159、2683、6160、14209、32689、75316、173383、399331、919480、2117473、4875913、11228332、25856071、59541067、...（OEISのシーケンスA006130）

（2,2）フィボナッチ数列は

0、1、2、6、16、44、120、328、896、2448、6688、18272、49920、136384、372608、1017984、2781184、7598336、20759040、56714752、...（OEISのシーケンスA002605）

(3,3)-フィボナッチ数列は

0、1、3、12、45、171、648、2457、9315、35316、133893、507627、1924560、7296561、27663363、104879772、397629405、1507527531、5715470808、...（OEISのシーケンスA030195）

n次フィボナッチ数列は、各数列要素が前の要素の合計である整数数列です(数列の最初の要素は除く)。通常のフィボナッチ数は、2 次フィボナッチ数列です。およびのケースは徹底的に調査されています。非負整数を最大で の部分に結合する合成の数は、 次フィボナッチ数列です。最大で連続する 0 を含む長さ の 0 と 1 の文字列の数の列も、 次フィボナッチ数列です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

これらの数列、その極限比、そしてこれらの極限比の限界は、1913年にマーク・バーによって研究されました。 ^[5]

トライボナッチ数はフィボナッチ数に似ていますが、2 つの所定の項で始まるのではなく、3 つの所定の項で始まり、その後の各項は前の 3 つの項の合計になります。最初のいくつかのトライボナッチ数は次のとおりです。

0、0、1、1、2、4、7、13、24、44、81、149、274、504、927、1705、3136、5768、10609、19513、35890、66012 、…（OEISのシーケンスA000073 ）​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

この数列は1914年にアグロノモフ^[6]によって初めて正式に記述されましたが^{[7] 、}チャールズ・R・ダーウィンの『種の起源』で意図せず初めて使用されました。象の個体数の増加を示す例では、ダーウィンは息子のジョージ・H・ダーウィンの計算に頼りました^[8]。トリボナッチという用語は1963年にフェインバーグによって提案されました^[9]。

トリボナッチ定数

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$（OEISの配列A058265）

は、隣接するトリボナッチ数が近づく比率です。これは多項式 の根であり、方程式 も満たします。これはスナブキューブの研究で重要です。 ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-3}=2}$

トリボナッチ定数の逆数は、関係式で表され、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1}$

${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0.543689012.}$（OEISの配列A192918）

トリボナッチ数は^{[10]によっても与えられる。}

${\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }$

ここで、は最も近い整数関数を表し、 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}$

テトラナッチ数は、 4 つのあらかじめ決められた項から始まり、その後の各項は、前の 4 つの項の合計になります。最初のいくつかのテトラナッチ数は次のとおりです。

0、0、0、1、1、2、4、8、15、29、56、108、208、401、773、1490、2872、5536、10671、20569、39648、76424、147312、283953、547337 、… （OEISのシーケンスA000078 ）​​​​​​

テトラナッチ定数は、隣接するテトラナッチ数が近づく比率です。これは多項式 の根で、およそ 1.927561975482925 ( OEISのシーケンスA086088 ) であり、方程式 も満たします。 ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-4}=2}$

テトラナッチ定数はラジカルを用いて次のように表すことができる: ^[11]

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

どこ、

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

そして三次方程式の実根である。${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169.}$

ペンタナッチ数、ヘキサナッチ数、ヘプタナッチ数、オクタナッチ数、エニアナッチ数が計算されました。

ペンタナッチ数:

0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、31、61、120、236、464、912、1793、3525、6930、13624、…（OEISのシーケンスA001591）

ペンタナッチ定数は、隣接するペンタナッチ数が近づく比率です。これは多項式 の根で、およそ 1.965948236645485 ( OEISのシーケンスA103814 ) であり、方程式 も満たします。 ${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-5}=2}$

ヘキサナッチ数:

0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、63、125、248、492、976、1936、3840、7617、15109、…（OEISのシーケンスA001592）

ヘキサナッチ定数は、隣接するヘキサナッチ数が近づく比率です。これは多項式 の根で、およそ 1.98358284342 ( OEISのシーケンスA118427 ) であり、方程式 も満たします。 ${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-6}=2}$

ヘプタナッチ数:

0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、127、253、504、1004、2000、3984、7936、15808、…（OEISのシーケンスA122189）

ヘプタナッチ定数は、隣接するヘプタナッチ数が近づく比率です。これは多項式 の根で、およそ 1.99196419660 ( OEISのシーケンスA118428 ) であり、方程式 も満たします。 ${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$${\displaystyle x+x^{-7}=2}$

オクタナッチ数:

0、0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、128、255、509、1016、2028、4048、8080、16128、...（OEISのシーケンスA079262）

エニアナッチ数:

0、0、0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、128、256、511、1021、2040、4076、8144、16272、...（OEISのシーケンスA104144）

-nacci級数の連続する項の比の極限は、方程式の根に近づきます( OEIS : A103814、OEIS : A118427、OEIS : A118428 )。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

連続する2つの-nacci数の比の極限を表す別の再帰式は次のように表される。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}}$。

特殊なケースとしては、黄金比を生み出す伝統的なフィボナッチ数列があります。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$

比の上記の式は、任意の数から生成された-nacciシリーズにも当てはまります。この比の限界は、が増加するにつれて2になります。「infinacci」シーケンスを記述できる場合、無限の数のゼロの後にシーケンスが生成されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

[...、0、0、1、] 1、2、4、8、16、32、…

これらは単純に2 の累乗です。

任意の比の極限は特性方程式の正の根である^[11]${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}$

根は区間にあります。 が偶数のとき、特性方程式の負の根は区間 (−1, 0) にあります。 この根と特性方程式の各複素根は、絶対値 を持ちます。^[11]${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2(1-2^{-n})<r<2}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{-n}<|r|<1}$

任意の正根の級数は^[11]である。${\displaystyle r}$${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}$

5 ≤ n ≤ 11のとき、特性方程式を根号で解くことはできない。^[11]

n-ナッチ数列のk番目の要素は次のように与えられる 。

${\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil \!,}$

ここで、は最も近い整数関数を表し、は-nacci 定数であり、 2 に最も近い 根です。${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x+x^{-n}=2}$

コイン投げ問題は-ナッチ数列に関連している。理想的なコインを投げたときに連続して裏が出ない確率はである。^[12]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}$

数値の場合と同様に、フィボナッチ数列は次のように定義されます。

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

ここで、 は2 つの文字列の連結を表します。フィボナッチ文字列のシーケンスは次のように始まります。 ${\displaystyle +}$

b、a、ab、aba、abaab、abaababa、abaababaabaab、… ( OEISのシーケンスA106750 )

各フィボナッチ文字列の長さはフィボナッチ数であり、同様に、各フィボナッチ数に対応するフィボナッチ文字列が存在します。

フィボナッチ文字列は、一部のコンピュータアルゴリズムにおける最悪のケースの入力として使用されます。

「a」と「b」が2つの異なる物質または原子結合長を表す場合、フィボナッチ文字列に対応する構造は、異常なスペクトル特性を持つ非周期的な準結晶構造であるフィボナッチ準結晶です。

畳み込みフィボナッチ数列は、フィボナッチ数列に畳み込み演算を1回以上適用することで得られる。具体的には、 ^{[13]で定義される。}

${\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}$

そして

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}$

最初の数シーケンスは

${\displaystyle r=1}$: 0、0、1、2、5、10、20、38、71、…（OEISの配列A001629）。

${\displaystyle r=2}$: 0、0、0、1、3、9、22、51、111、…（OEISの配列A001628）。

${\displaystyle r=3}$: 0、0、0、0、1、4、14、40、105、…（OEISの配列A001872）。

シーケンスは再帰を使用して計算できます

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}$

番目の畳み込み の生成関数は${\displaystyle r}$

${\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}.}$

これらの数列はフィボナッチ多項式の数列と次の関係で 結びついている。

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

ここで、は の番目の導関数です。同様に、が のべき乗で展開される場合、は の係数です。 ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F_{n}(x)}$${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$${\displaystyle (x-1)^{r}}$${\displaystyle F_{x}(x)}$${\displaystyle (x-1)}$

最初の畳み込みは、フィボナッチ数とルーカス数を使って次のように表すことができます。 ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

${\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}$

そして再発を追う

${\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.}$

が増加するにつれて複雑さが増す、に対する同様の式が見つかります。数字は細谷の三角形の行の和です。 ${\displaystyle r>1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$

フィボナッチ数列と同様に、これらの数列にはいくつかの組み合わせの解釈があります。たとえば、0、1、2のみを含む順序付き和（0は1回だけ使用）として表記できる方法の数はです。特に、および2は、0 + 1 + 1、0 + 2、1 + 0 + 1、1 + 1 + 0、2 + 0と表記できます。^[14]${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}$

フィボナッチ多項式は、フィボナッチ数の別の一般化です。

パドヴァン数列は再帰によって生成されます。 ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$

ナラヤナの牛のシーケンスは、繰り返しによって生成されます。 ${\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}$

ランダムなフィボナッチ数列は、数列の各位置でコインを投げ、表が出た場合と裏が出た場合を計算すれば定義できます。Furstenberg と Kesten の研究により、この数列はほぼ確実に一定の割合で指数関​​数的に増加することが保証されています。この定数はコイン投げとは無関係で、1999 年に Divakar Viswanath によって計算されました。現在ではViswanath 定数として知られています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}$${\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}$

レプフィギット、またはキース数は、その桁数でフィボナッチ数列を開始すると、最終的に元の数に到達する整数です。例として 47 が挙げられます。これは、4 と 7 で始まるフィボナッチ数列 (4、7、11、18、29、47) が 47 に到達するためです。レプフィギットは、数が 3 桁の場合はトリボナッチ数列、数が 4 桁の場合はテトラナッチ数などになります。最初のいくつかのレプフィギットは次のとおりです。

14、19、28、47、61、75、197、742、1104、1537、2208、2580、3684、4788、7385、7647、7909、…（OEISの配列A007629）

関係式を満たす数列の集合は、項ごとの加算と項ごとの定数乗算に対して閉じているため、ベクトル空間と見なすことができます。このような数列はいずれも 2 つの要素の選択によって一意に決定されるため、ベクトル空間は 2次元です。このような数列を と省略すると、フィボナッチ数列とシフトされたフィボナッチ数列がこの空間の標準基底を形成することがわかり、次の恒等式が得られます。 ${\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}$${\displaystyle (S(0),S(1))}$${\displaystyle F(n)=(0,1)}$${\displaystyle F(n-1)=(1,0)}$

${\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}$

このようなすべてのシーケンスSに対して成り立つ。例えば、Sがルーカスシーケンス2, 1, 3, 4, 7, 11, ...である場合、

${\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}$。

N生成フィボナッチ数列を定義することができます（Nは正の有理数です）。

${\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},}$

ここでp _rはr番目の素数であり、次のように定義される。

${\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}$

ならば、 であり、 ならば、 である。^[要出典]${\displaystyle n=r-1}$${\displaystyle F_{N}(n)=1}$${\displaystyle n<r-1}$${\displaystyle F_{N}(n)=0}$

セミフィボナッチ数列（OEISのA030067列）は、奇数インデックスの項とについては同じ再帰によって定義されますが、偶数インデックスの項についてはです。したがって、奇数インデックスの項の二分法 A030068 により、 と が厳密に増加することが証明されます。これにより、セミフィボナッチ数の集合が生成されます。${\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)}$${\displaystyle a(1)=1}$${\displaystyle a(2n)=a(n)}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle s(n)=a(2n-1)}$${\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)}$

1、2、3、5、6、9、11、16、17、23、26、35、37、48、53、69、70、87、93、116、119、145、154、...（OEISの配列A030068）

次のように発生する${\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...\,.}$

• 「トリボナッチ数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]