キース番号

娯楽数学において、キース数または反復フィジット数（反復フィボナッチのような数字の略）は、与えられた基数の自然数であり、最初の 項が の数字であり、後続の各項が前の項の合計であるような数列が作成されると、はその数列の一部になります。キース数は、 1987 年にマイク キースによって導入されました。^[1]キース数を 見つけるのは計算的に非常に困難で、約 100 個しか知られていません。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

を自然数とし、をを底とするの桁数とし、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b}}^{i+1}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

の各桁の値となります。 ${\displaystyle n}$

我々 は線形再帰関係によって数列を定義する。${\displaystyle S(i)}$${\displaystyle 0\leq i<k}$

${\displaystyle S(i)=d_{k-i-1}}$

そして${\displaystyle i\geq k}$

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

となるようなが存在する場合、 はキース数であるといわれます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle S(i)=n}$${\displaystyle n}$

例えば、88は6進数のキース数であり、

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

そして全体の流れ

${\displaystyle S(i)=\{2,2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}$

そして。 ${\displaystyle S(7)=88}$

特定の基数にキース数が無限に存在するかどうかは、現在のところ推測の域を出ない。キース数は稀で見つけるのが難しい。徹底的に検索すれば見つけられるが、これより効率的なアルゴリズムは知られていない。^[2] キースによれば、10 を基数とすると、平均してキース数は10 の連続する累乗の間に存在すると予想される。^[3]既知の結果はこれを裏付けているようだ。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \textstyle {\frac {9}{10}}\log _{2}{10}\approx 2.99}$

14、19、28、47、61、75、197、742、1104、1537、2208、2580、3684、4788、7385、7647、7909、31331、34285、34348、​​​​​​​​​ ​55604、62662、86935、93993、120284、129106、147640、156146、174680、183186、298320、355419、694280、925993、1084051、 7913837、 11436171、33445755、44121607、129572008、251133297、... ^[4]

2を基数とすると、すべてのキース数を構成する方法が存在する。^[3]

12進数のキース数は12進数で表記すると、

11、15、1Ɛ、22、2ᘔ、31、33、44、49、55、62、66、77、88、93、99、ᘔᘔ、ƐƐ、125、215、24ᘔ、405、42ᘔ、654、 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ、 517Ɛᘔ、157617、1ᘔ265ᘔ、5ᘔ4074、5ᘔƐ140、6Ɛ1449、6Ɛ8515、...

ここで、ᘔは10を表し、Ɛは11を表します。

キースクラスターは、あるキース数が別のキース数の倍数であるような関連したキース数の集合である。例えば、10進数では、、、はすべてキースクラスターである。これらはおそらく、 10進数でのキースクラスターの唯一の3つの例である。^[5]${\displaystyle \{14,28\}}$${\displaystyle \{1104,2208\}}$${\displaystyle \{31331,62662,93993\}}$

以下の例では、特定の基数の数が Keith 数であるかどうかを判断するために、 上記で定義したシーケンスをPythonで実装します。

def  is_repfigit ( x :  int ,  b :  int )  ->  bool : 
"""特定の基数の数がキース数であるかどうかを判断します。""" if x == 0 : Trueを返します。    
       
         

    シーケンス =  [] 
    y  =  x

     y  >  0の場合:
        シーケンス. append ( y  %  b ) 
        y  =  y  //  b

    digit_count  =  len (シーケンス)
    シーケンス.reverse ( )

     シーケンス[ len (シーケンス)  -1  ] < xの場合: n = 0、iが範囲( 0 、桁数)の場合: n = n +シーケンス[ len (シーケンス) -桁数+ i ]シーケンス.append ( n )  
          
            
                    
        

     シーケンスを返す[ len (シーケンス)  -  1 ]  ==  x

• 算術ダイナミクス
• フィボナッチ数
• 線形回帰関係