異斜眼窩

数学において、力学系の位相図において、ヘテロクリニック軌道（ヘテロクリニック接続とも呼ばれる）は、位相空間内で 2 つの異なる平衡点を結ぶ経路である。軌道の始点と終点の平衡点が同じ場合、その軌道はホモクリニック軌道である。

常微分方程式 によって記述される連続的な動的システムを考えてみましょう。 に平衡があるとします。両方の極限が満たされる 場合、解はからへのヘテロクリニック軌道です。$${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$$${\displaystyle x=x_{0},x_{1}.}$${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi (t)\rightarrow x_{0}&{\text{as}}&t\rightarrow -\infty ,\\[4pt]\phi (t)\rightarrow x_{1}&{\text{as}}&t\rightarrow +\infty .\end{array}}}$$

これは、軌道がの安定多様体との不安定多様体に含まれていることを意味します。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{0}}$

マルコフ分割 を使用することで、双曲系の長期的挙動を記号力学の手法で研究することができます。この場合、ヘテロクリニック軌道は特に単純で明確な表現を持ちます。 がM個の記号の有限集合であると仮定します。点xの力学は、記号の 双無限列によって表されます。${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

システムの周期点は、単に文字の繰り返しの列です。ヘテロクリニック軌道は、2つの異なる周期軌道を結合したものです。次のように記述できます。

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$

ここで は長さkの記号列（もちろん）であり、 は長さmの別の記号列（同じく）である。この表記は単にpの無限回の繰り返しを表す。したがって、ヘテロクリニック軌道は、ある周期軌道から別の周期軌道への遷移として理解できる。対照的に、ホモクリニック軌道は次のように書ける。 ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$${\displaystyle t_{i}\in S}$${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$${\displaystyle r_{i}\in S}$${\displaystyle p^{\omega}}$

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

中間シーケンスは空ではなく、もちろんpでもありません。そうでない場合、軌道は単に になります。 ${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$${\displaystyle p^{\omega}}$

• ヘテロクリニック接続
• ヘテロクリニックサイクル
• ヘテロクリニック分岐
• ホモクリニック軌道
• 進行波

• ジョン・グッケンハイマーとフィリップ・ホームズ、「非線形振動、動的システム、ベクトル場の分岐」（応用数学科学第42巻）、シュプリンガー