サスリンの問題

数学において、ススリンの問題は、ミハイル・ヤコブレヴィチ・ススリン(1920)が提起し 、死後に発表された全順序集合に関する問題である。この問題は、 ZFCとして知られる集合論の標準的な公理系とは独立していることが示されており、ソロベイとテネンバウム (1971) は、ZF が矛盾しないと仮定すると、この命題はそれらの公理系から証明も反証もできないことを示した。

(Suslin は、キリル文字のСуслинから派生したフランス語の音訳でSouslinと表記されることもあります。)

ススリンの問題は、次の4つの性質を持つ 空でない 全順序集合 Rが与えられたとします。

1. R には最小元も最大元もありません。
2. R上の順序は稠密である（任意の 2 つの異なる要素の間には別の要素が存在する）;
3. R上の順序は、すべての空でない有界部分集合が上限と下限を持つという意味で完全である。
4. R内の互いに素な空でない開区間の集合はすべて可算である（これはRの順序位相に対する可算連鎖条件である）。

R は必ず実数直線Rと順序同型か？

可算連鎖条件の要件を、R が可算稠密な部分集合を含む（つまり、R が可分空間である）という要件に置き換えると、答えは確かに「はい」になります。つまり、そのような集合R は必ずRと順序同型です（カントールによって証明されています）。

空でない互いに素な開集合のすべての集合が最大でも可算であるという位相空間の条件は、ススリン性質と呼ばれます。

Rと同型ではないが、特性 1 ～ 4 を満たす任意の全順序集合は、ススリン直線として知られています。ススリン仮説は、ススリン直線は存在しない、つまり、端点のない可算連鎖条件の稠密な完全線型順序はすべて、実数直線と同型である、というものです。同等のステートメントは、高さ ω _{1のすべての}木には、長さ ω ₁の枝か、濃度ℵ ₁の反連鎖がある、ということです。

一般化されたススリン仮説によれば、任意の無限正規基数 κに対して、高さκの任意の木は長さκの枝か、基数κの反鎖のいずれかを持ちます。ススリン直線の存在は、ススリン木およびススリン代数の存在と同等です。

ススリン仮説は ZFC とは独立している。Jech (1967) と Tennenbaum (1968) はそれぞれ独立に強制法を用いて、ススリン線が存在する ZFC のモデルを構築した。Jensenは後に、構成可能性公理V = Lの帰結であるダイヤモンド原理を仮定すれば、ススリン線が存在することを証明した。(Jensen の結果は意外なものだった。というのも、V = L は集合が「ほとんど」存在しないことを意味するという理由で、V = L はススリン線が存在しないことを意味すると以前に推測されていたからである。) 一方、Solovay と Tennenbaum (1971) は強制法を用いてススリン線のない ZFC のモデルを構築した。より正確には、Martin の公理と連続体仮説の否定がススリン仮説を意味することを示した。

ススリン仮説は、一般化連続体仮説（ロナルド・ジェンセンによって証明された）および連続体仮説の否定からも独立している。一般化ススリン仮説が一般化連続体仮説と整合するかどうかはわかっていないが、その組み合わせは特異な強い極限基数における平方原理の否定（実際はすべての特異基数とすべての正則後続基数における）を意味するため、決定性公理がL(R) で成り立つことを意味し、超強基数を持つ内部モデルの存在を意味すると考えられている。

• ZFC から独立したステートメントのリスト
• 連続体仮説
• 広告⁺
• カントールの同型定理

• K. Devlin と H. Johnsbråten、「スースリン問題」、数学講義ノート (405) Springer 1974。
• ジェフ、トマーシュ (1967)、「スースリンの仮説の証明不可能性」、Comment. Math. Univ. Carolinae、8 : 291–305、MR  0215729
• Souslin, M. (1920)、「問題 3」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、1 : 223、doi : 10.4064/fm-1-1-223-224
• Solovay, RM; Tennenbaum, S. (1971)、「反復コーエン拡張とスースリンの問題」、Annals of Mathematics、94 (2): 201–245、doi :10.2307/1970860、JSTOR  1970860
• Tennenbaum, S. (1968)、「スースリンの問題」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA、59 (1): 60–63、Bibcode :1968PNAS...59...60T、doi : 10.1073/pnas.59.1.60、MR  0224456、PMC  286001、PMID  16591594
• Grishin, VN (2001) [1994]、「スースリン仮説」、数学百科事典、EMS Press