表面成長

数学と物理学において、表面成長とは、通常は場の確率微分方程式を用いて表面の成長を動的に研究する際に使用されるモデルを指します。

一般的な成長モデルには以下のものがある: ^{[1] [2]}

• KPZ方程式
• 二量体モデル
• エデン成長モデル
• SOSモデル
• 自己回避歩行
• アーベル砂山モデル
• 倉本-シヴァシンスキー方程式（または炎面の表面を調べるための炎方程式） ^[3]

それらは、フラクタル特性、スケーリング挙動、臨界指数、普遍性クラス、カオス理論、動的システム、非平衡/無秩序/複雑システム との関係について研究されています。

一般的なツールには、統計力学、繰り込み群、ラフパス理論など があります。

運動モンテカルロ法(KMC) は、原子と分子が既知の物理学に基づいて制御可能な所定の速度で相互作用できるようにするコンピュータ シミュレーションの一種です。このシミュレーション方法は、通常、マイクロ電気業界で結晶表面の成長を研究するために使用され、通常マイクロ秒から数時間の時間スケールでさまざまな成長条件における表面形態の正確なモデルを提供できます。走査型電子顕微鏡 (SEM)、X 線回折、透過型電子顕微鏡 (TEM)などの実験方法や、分子動力学 (MD)、モンテカルロ シミュレーション (MC)などの他のコンピュータ シミュレーション方法が広く使用されています。

まず、モデルは、原子が表面に着地する場所と、温度や蒸気圧などの特定の環境条件でのその速度を予測しようとします。表面に着地するには、原子はいわゆる活性化エネルギー障壁を克服する必要があります。活性化障壁を通過する頻度は、アルレニウスの式で計算できます。

${\displaystyle A_{in}=A_{0,in}\exp \left(-{\frac {E_{a,in}}{kT}}\right)}$

ここで、Aは分子振動の熱周波数、は活性化エネルギー、kはボルツマン定数、Tは絶対温度です。 ${\displaystyle E_{a}}$

原子が表面に着地する場合、2 つの可能性があります。1 つ目は、原子が表面で拡散し、他の原子を見つけてクラスターを形成することです。これについては後述します。2 つ目は、原子が表面から離れる、いわゆる脱着プロセスです。脱着は、異なる活性化エネルギー障壁を除けば、吸収プロセスとまったく同じように説明されます。

${\displaystyle A_{out}=A_{0,out}\exp \left(-{\frac {E_{a,out}}{kT}}\right)}$

たとえば、結晶の表面上のすべての位置がエネルギー的に等しい場合、成長率はターンブルの式から計算できます。

${\displaystyle V_{c}=hC_{0}(A_{out}-A_{0,out})=hC_{0}\exp \left(-{\frac {E_{a,in}}{kT}}\right)\cdot \left(1-\exp \left(-{\frac {\Delta G}{kT}}\right)\right)}$

ここで、は成長率、∆G = E _in – E _out、A _out、A _{0 out は}表面上の任意の分子が結晶に出入りする周波数、h は成長方向の分子の高さ、C _{0 は}表面からの直線距離における分子の濃度です。 ${\displaystyle V_{c}}$

拡散プロセスは、アレニウスの式で計算することもできます。

${\displaystyle D=D_{0}\exp \left(-{\frac {E_{d}}{kT}}\right)}$

ここで、D は拡散係数、E _{d は}拡散活性化エネルギーです。

これら 3 つのプロセスはすべて、特定の時点における表面形態に大きく依存します。たとえば、原子は平らな表面よりも、島と呼ばれる原子群の端に集まる傾向があり、これにより総エネルギーが減少します。原子が拡散して島に集まると、島から離脱するための活性化エネルギーがはるかに高くなるため、各原子はそれ以上拡散しなくなります。さらに、原子が島の上に着地すると、拡散速度が十分でないため、原子は段を下りて島を拡大する傾向があります。

計算能力には限界があるため、時間スケールに応じてさまざまな目的に特化したシミュレーション モデルが開発されてきました。

a) 電子スケールシミュレーション（密度関数理論、第一原理分子動力学）：フェムト秒の時間スケールにおけるサブ原子長さスケール

b) 原子スケールシミュレーション（MD）：ナノ秒の時間スケールでナノからマイクロメートルの長さスケール

c) フィルムスケールシミュレーション (KMC) : マイクロメートルの長さスケール、マイクロから時間の時間スケール。

d) 原子炉スケールシミュレーション（フェーズフィールドモデル）：年単位の時間スケールでメートル長さスケール。

重複する時間スケールを処理するために、マルチスケール モデリング技術も開発されています。

滑らかで欠陥のない表面を成長させるには、プロセス全体にわたって一連の物理的条件を組み合わせる必要があります。このような条件には、結合強度、温度、表面拡散制限、過飽和(または衝突) 率などがあります。次の図は、KMC 表面成長法を使用して、さまざまな条件での最終的な表面構造を示しています。

結合強度と温度は、結晶成長プロセスにおいて重要な役割を果たします。結合強度が高いと、原子が表面に着地したときに、原子表面クラスターに近づく傾向があり、総エネルギーが減少します。この動作により、さまざまなサイズの孤立したクラスターが多数形成され、表面が粗くなります。一方、温度はエネルギー障壁の高さを制御します。

結論: 滑らかな表面を成長させるには、高い結合強度と低温が望ましい。

熱力学的には、滑らかな表面は最も低い構成であり、表面積が最小です。ただし、完全に平坦な表面を作成するには、表面拡散やバルク拡散などの運動プロセスが必要です。

結論: 表面拡散とバルク拡散を強化すると、より滑らかな表面を作成できます。

結論: 衝突率が低いほど、より滑らかな表面を作成できます。

温度、結合強度、拡散、飽和レベルなどのすべての成長条件を制御し、適切なパラメータを選択することで、望ましい形態を形成できます。次に、興味深い表面特性を得る方法を示します。

• ドミノタイル
• 拡散制限成長
• 非ユークリッド面の成長
• 確率偏微分方程式

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