アーベル砂山モデル

アーベル砂山モデル（ASM）は、元のBak–Tang–Wiesenfeldモデル（BTW）のより一般的な名称です。BTWモデルは、自己組織化臨界性を示す動的システムの最初の発見例でした。これは、 Per Bak、Chao Tang、Kurt Wiesenfeldによって1987年の論文で紹介されました。 ^{[ 1 ]}

3年後、ディーパック・ダールはBTW砂山モデルがアーベル力学に従うことを発見し、このモデルをアーベル砂山モデルと呼んだ。^{[ 2 ]}

このモデルはセルオートマトンです。元の定式化では、有限グリッド上の各サイトには、山の傾斜に対応する値が関連付けられています。この傾斜は、「砂粒」（または「チップ」）がランダムに山の上に置かれるにつれて積み上がり、傾斜が特定の閾値を超えると、そのサイトが崩壊し、砂が隣接するサイトに移動して、その傾斜が増加します。Bak、Tang、およびWiesenfeldは、グリッド上に砂粒を連続的にランダムに配置するプロセスを検討しました。特定のサイトへの砂の配置は、何の影響も及ぼさない場合もあれば、多くのサイトに影響を与える連鎖反応を引き起こす場合もあります。

ダールは、雪崩が終息した後の最終的な安定した砂山の形状は、雪崩中に起こる転倒の正確な順序に依存しないことを示した。この事実の直接的な結果として、2つの砂粒を2つの異なる順序で安定した形状に追加した場合、例えば、最初にサイトAに、次にサイトBに追加した場合と、最初にサイトBに、次にサイトAに追加した場合、最終的な砂粒の安定した形状は全く同じになることが示されている。安定した砂山の形状に砂粒を追加すると、雪崩が発生し、最終的に停止して別の安定した形状になる。ダールは、砂粒の追加を演算子と見なすことができると提案した。砂粒の追加が1つの安定した形状に作用すると、別の安定した形状が生成される。ダールは、このような追加演算子はすべてアーベル群を形成することを示した。これがアーベル砂山モデルの名前の由来である。^{[ 3 ] [ 4 ]} このモデルはその後、無限格子、その他の（非正方格子）格子、および任意のグラフ（有向多重グラフを含む）で研究されてきた。^{[ 5 ]}これは、ビッグスによって導入されたチップ発射ゲームの変種であるダラーゲームと密接に関連している。^{[ 6 ]}

砂山モデルは、もともとセルオートマトンとして定義されていました。${\displaystyle N\times M}$長方形の格子（市松模様）${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$標準正方格子${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$各頂点（サイト、フィールド）に対して${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$グリッドに対して、値（砂粒、傾斜、粒子）を関連付けます。${\displaystyle z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}}$、 と${\displaystyle z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }}$砂山の（初期）構成と呼ばれる。

反復時のオートマトンの動作${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$それらは以下のように定義される。

1. ランダムな頂点を選択する$\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Gamma }$何らかの確率分布（通常は一様分布）に従って。
2. この頂点に砂粒を1つ追加し、他のすべての頂点の砂粒数は変更しない、つまり${\displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$そして${\displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle (x,y)\neq (x_{i},y_{i})}$。
3. すべての頂点が安定している場合、つまり${\displaystyle z_{i}(x,y)<4}$すべての人々のために${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$また、構成も${\displaystyle z_{i}}$安定していると判断された場合は、次の反復処理に進みます。
4. 少なくとも１つの頂点が不安定な場合、つまり${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4}$一部の人にとって${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$全体の構成${\displaystyle z_{i}}$は不安定であると言われている。この場合、任意の不安定な頂点を選択する${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$ランダムに。この頂点の粒数を 4 減らし、直接の隣接頂点 (最大 4 つ) の粒数をそれぞれ 1 増やすことで、この頂点を倒します。${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$、 そして${\displaystyle z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1}$もし$\displaystyle (x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma }$領域の境界にある頂点が倒れると、結果として粒子の正味損失が発生します（グリッドの角では2つの粒子、それ以外の場合は1つの粒子）。
5. 粒子の再分配により、1 つの頂点が倒れると他の頂点が不安定になることがあります。したがって、すべての頂点が${\displaystyle z_{i}}$最終的に安定し、次の反復処理に進む。

1回の反復処理中に複数の頂点が倒れる現象を「雪崩」と呼びます。すべての雪崩は必ず最終的に停止します。つまり、有限回の倒れ込みの後、オートマトンが適切に定義されるような安定した構成に到達します。さらに、頂点を倒れさせる順序には多くの選択肢がある場合が多いですが、最終的な安定構成は選択された順序に依存しません。これは、砂山がアーベル的である理由の一つです。同様に、各反復処理中に各頂点が倒れる回数も、倒れる順序の選択に依存しません。

砂山モデルを、標準的な正方格子の長方形グリッドから任意の無向有限多重グラフに一般化する。${\displaystyle G=(V,E)}$特別な頂点${\displaystyle s\in V}$シンクと呼ばれるものは、転倒が許されないものとして指定される。モデルの構成（状態）は関数である。${\displaystyle z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$各非シンク頂点上の非負の粒子数を数える。非シンク頂点${\displaystyle v\in V\setminus \{s\}}$と

${\displaystyle z(v)\geq \deg(v)}$

不安定であり、倒れると、その中の粒の一つが周囲の（沈まない）粒にそれぞれ送られる。

${\displaystyle z(v)\to z(v)-\deg(v)}$

${\displaystyle z(u)\to z(u)+1}$すべての人々のために${\displaystyle u\sim v}$、${\displaystyle u\neq s}$。

セルオートマトンは次の段階まで進行し、各反復において、ランダムに選択された非シンク頂点に粒子を1つ追加し、すべての頂点が安定するまで転倒させる。

有限矩形格子に対する上記の砂山モデルの定義${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$標準正方格子${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$は、この定義の特殊なケースと見なすことができる。グラフを考えてみよう。${\displaystyle G=(V,E)}$これは以下から得られる${\displaystyle \Gamma }$シンクという追加の頂点を追加し、シンクから境界のすべての頂点にエッジを追加することで、${\displaystyle \Gamma }$シンク以外のすべての頂点の次数が${\displaystyle G}$は4です。このようにして、標準的な正方格子（または他の任意の格子）の非矩形グリッド上の砂山モデルも定義できます。ある境界付き部分集合と交差します。${\displaystyle S}$の$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$と${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.すべての端を収縮させる${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$2 つの端点が${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$残りの唯一の頂点は${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$そして、それは結果として得られる砂山グラフのシンクを構成する。

上記で定義した砂山オートマトンでは、いくつかの安定構成（${\displaystyle 0\leq z(v)<4}$すべての人々のために${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$）は無限に出現する一方、他のものは有限回しか出現しない（あるいは全く出現しない）。前者は再帰的構成と呼ばれ、後者は一時的構成と呼ばれる。再帰的構成は、頂点に砂粒を繰り返し追加して倒すことで他の安定な構成から到達できるすべての安定な非負構成から構成される。最小安定構成は容易にわかる。${\displaystyle z_{m}}$、各頂点は${\displaystyle z_{m}(v)=\オペレータ名 {deg} (v)-1}$砂粒は、他の安定した構成から到達可能です（追加）${\displaystyle \operatorname {deg} (v)-z(v)-1\geq 0}$（各頂点に砂粒を追加する）。したがって、同等に、再帰的な構成は、最小安定構成から砂粒を追加して安定化するだけで到達できる構成とまったく同じです。

すべての非負の安定構成が再帰的であるとは限りません。たとえば、少なくとも 2 つの接続された非シンク頂点からなるグラフ上のすべての砂山モデルでは、両方の頂点が砂粒を 0 個しか運んでいないすべての安定構成は非再帰的です。これを証明するには、まず、砂粒の追加は 2 つの頂点が一緒に運ぶ砂粒の総数を増やすだけであることに注意します。両方の頂点が砂粒を 0 個しか運んでいない構成に、そうでない構成から到達するには、必然的に 2 つの頂点の少なくとも 1 つが倒れるステップが含まれます。これらのステップの最後の 1 つを考えてみましょう。このステップでは、2 つの頂点のうちの 1 つが最後に倒れる必要があります。倒れると砂粒がすべての隣接する頂点に移動するため、これは両方の頂点が一緒に運ぶ砂粒の総数が 1 未満になることはないことを意味します。これで証明は完了です。

構成が与えられた場合${\displaystyle z}$、$\displaystyle z(v)\in \mathbb {N} _{0}}$すべての人々のために${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$有限連結グラフ上で不安定な非シンク頂点を倒し、不安定な非シンク頂点がなくなるまで続けると、一意の安定な構成が得られる。$\displaystyle z^{\circ }}$これは安定化と呼ばれる${\displaystyle z}$2つの安定構成が与えられた場合${\displaystyle z}$そして${\displaystyle w}$演算を定義できます${\displaystyle z*w:=(z+w)^{\circ }}$これは、頂点ごとに砂粒を追加し、その後、結果として生じる砂山を安定化させることに対応する。

非シンク頂点の順序が任意だが固定されている場合、不安定な構成の安定化中に発生する可能性のある複数の転倒操作は、グラフ・ラプラシアンを使用することで効率的に符号化できる。${\displaystyle \Delta =DA}$、 どこ${\displaystyle D}$は次数行列であり、${\displaystyle A}$はグラフの隣接行列です。${\displaystyle \Delta }$シンクに対応する縮小グラフラプラシアンが得られる${\displaystyle \Delta '}$.次に、構成を開始すると${\displaystyle z}$そして各頂点を倒す${\displaystyle v}$合計$\displaystyle \mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}}$回数によって構成が生成される${\displaystyle z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$、 どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}}$は収縮生成物です。さらに、${\displaystyle \mathbf {x} }$これは、特定の構成の安定化中に各頂点が転倒する回数に対応します。${\displaystyle z}$、 それから

${\displaystyle z^{\circ }=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$

この場合、${\displaystyle \mathbf {x} }$転倒または走行距離計機能（安定化）と呼ばれる。${\displaystyle z}$)

作戦の下で${\displaystyle *}$繰り返し構成の集合は、縮小グラフのラプラシアンの余核と同型なアーベル群を形成する。${\displaystyle \Delta '}$つまり${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$それによって${\displaystyle n}$は頂点の数（シンクを含む）を表します。より一般的には、安定構成（一時的および再帰的）の集合は、演算の下で可換モノイドを形成します。${\displaystyle *}$このモノイドの最小イデアルは、再帰的構成の群と同型である。

繰り返し構成によって形成されるグループ、およびグループ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$前者が同型である群は、最も一般的には砂山群と呼ばれます。同じ群の他の一般的な名称としては、臨界群、ヤコビアン群、または（あまり一般的ではありませんが）ピカール群があります。ただし、一部の著者は、再帰的構成によって形成される群のみを砂山群と呼び、ヤコビアン群または臨界群という名称は、によって定義される（同型な）群に限定していることに注意してください。${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$（または関連する同型定義について）。最後に、一部の著者は、砂山群とピカール群の直積を指すためにピカール群という名前を使用しています。${\displaystyle \mathbb {Z} }$これは、砂山モデルと密接に関連するセルオートマトンに自然に現れるもので、チップ発射ゲームまたはダラーゲームと呼ばれています。

上記の同型性を考慮すると、砂山群の位数は、${\displaystyle \Delta '}$これは、行列木定理により、グラフの全域木の数である。

このモデルへの当初の関心は、格子上のシミュレーションにおいて、システムパラメータを微調整することなく、システムの相関長と相関時間が無限大になる臨界状態に引き寄せられるという事実から生じた。これは、固体と液体、あるいは液体と気体間の相転移など、臨界点に到達するには（例えば温度の）精密な調整が必要となる従来の臨界現象とは対照的である。したがって、砂山モデルにおいては、臨界性は自己組織化されると言える。

砂山モデルが臨界状態に達すると、摂動に対するシステムの応答と摂動の詳細との間に相関関係はなくなります。一般的に、これは砂山に別の砂粒を落としても何も起こらない場合もあれば、砂山全体が大規模な崩落を起こす場合もあることを意味します。このモデルはまた、自然界の多くの複雑なシステムに共通する特徴である^{[ 7 ]} 1/ ƒノイズも示します。

このモデルは、2次元以上の空間でのみ臨界挙動を示します。砂山モデルは1次元でも表現できますが、臨界状態へと進化するのではなく、1次元砂山モデルは、すべての格子点が臨界勾配に向かう最小安定状態に達します。

2次元の場合、関連する共形場理論は中心電荷c = −2のシンプレクティックフェルミオンから構成されると仮説が立てられている。 ^{[ 8 ]}  

バク・タン・ヴィーゼンフェルド砂山は、ドラマ「 NUMB3RS 」のエピソード「ランページ」で、数学者のチャーリー・エップスが同僚に犯罪捜査の解決策を説明する際に言及された。

コンピュータゲーム「Hexplode」は、有限の六角形グリッド上のアーベル砂山モデルに基づいており、ランダムに砂粒を配置するのではなく、プレイヤーが砂粒を配置する。

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