和則（量子場理論）

量子場理論において、和則とは静的量と動的量の積分との間の関係を表すものです。したがって、和則は次のような形式をとります。

${\displaystyle \int A(x)dx=B}$

どこ${\displaystyle A(x)}$は動的量であり、例えば粒子を特徴付ける構造関数であり、${\displaystyle B}$は静的な量であり、例えばその粒子の質量や電荷などである。

量子場理論の和則は、量子色力学や量子力学の和則と混同してはならない。

和の法則は数多く存在する。特定の和の法則の妥当性は、その導出が確固たる仮定に基づいている場合に有効となる。逆に、導出における不適切な仮定のために、実験的に誤りであることが示された和の法則もある。以下の和の法則の一覧は、このことを示している。

和則は通常、分散関係と光学定理[ ^{1 ]を}演算子積展開または電流代数^{[ 2 ]}を用いて組み合わせることによって得られます。

量子場理論の和則は、さまざまな方法で役立ちます。例えば、量子色力学のように、和則を導出するために使用された理論や、導出のために行われた仮定（例えば、ローレンツ不変性）を検証することができます。また、粒子を研究するためにも使用できます（例えば、パートンのスピンがどのように陽子のスピンを構成するのか）。さらに、測定方法としても使用できます。静的な量が${\displaystyle B}$直接測定することは難しいので、測定する${\displaystyle A(x)}$そしてそれを統合することで、${\displaystyle B}$（特定の和の規則がリンクしているという条件付き）${\displaystyle A(x)}$に${\displaystyle B}$信頼できる）。

原則的には、${\displaystyle B}$は静的な量であり、和の法則の表記は、次の場合に拡張されています。${\displaystyle B}$確率振幅、例えばコンプトン散乱の確率振幅^{[ 1 ]}、以下の和則のリストを参照。

（このリストは網羅的なものではありません）

• アドラー和則。^{[ 3 ]}この和則は、陽子の荷電電流構造関数を関連付けます。${\displaystyle F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)}$（ここ、${\displaystyle x}$はビョルケンのスケーリング変数であり、${\displaystyle Q^{2}}$は、散乱ニュートリノと陽子の間で伝達される4元運動量の絶対値の2乗をカビボ角で割った値である。${\displaystyle \theta _{c}}$極限では${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$、 それから${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})}$.${\displaystyle {\bar {\nu }}}$そして${\displaystyle \nu }$上付き文字は、${\displaystyle F_{2}}$それぞれ反ニュートリノ-陽子散乱またはニュートリノ-陽子深非弾性散乱に関連する。
• アドラー・ワイスベルガー和則^{[ 4 ]}は、核子の軸電荷と関係づけている。${\displaystyle g_{A}}$パイオン・核子散乱量へ：${\displaystyle 1+{\frac {F_{\pi }^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\big [}\sigma _{\pi ^{+}p}(E)-\sigma _{\pi ^{-}p}(E){\big ]}{\frac {dE}{E}}=g_{A}^{2}}$、 どこ${\displaystyle F_{\pi }=92.4}$MeVはパイ中間子の崩壊定数であり、${\displaystyle \sigma _{\pi ^{+}p}}$そして${\displaystyle \sigma _{\pi ^{-}p}}$パイオンと陽子の散乱断面積は${\displaystyle \pi ^{+}}$そして${\displaystyle \pi ^{+}}$、 それぞれ。
• バルディン和則^{​​ [ 5 ]}これは、GDH和則（下記参照）の非偏極版です。粒子に吸収された光子がハドロンを生成する確率（この確率は光生成断面積と呼ばれます）と、吸収粒子の電気的および磁気的偏極率との関係を示します。和則は次のようになります。${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )}$、 どこ${\displaystyle \nu }$光子エネルギーは、${\displaystyle \nu _{0}}$は、最も軽いハドロン（つまりパイ中間子）を生成するために必要なエネルギーの最小値です。${\displaystyle \sigma _{tot}}$写真制作の断面図であり、${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$はそれぞれ粒子の電気分極率と磁気分極率である。バルディン和則​​が妥当であると仮定すると、電気分極率と磁気分極率に関する我々の知識に重要な情報を提供し、それらの直接的な計算や測定を補完する。（例えば、論文^{[ 6 ]}の図3を参照）。
• Bass- Brodsky -Schmidt 和則: ^{[ 7 ]}和則は、実光子のスピン依存構造関数の積分が、${\displaystyle g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})}$運動量伝達の任意の値に対してゼロになる${\displaystyle Q^{2}}$光子は以下のようにして調べられる。${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{\gamma }(x,Q^{2})dx=0}$この関係は非摂動的であり、アーベルゲージ理論と非アーベルゲージ理論の両方で成り立つ。
• ビョルケン和則（偏極）。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}この和則は、典型的なQCDスピン和則である。ビョルケン・スケーリング領域では、陽子のの積分から中性子のスピン構造関数の積分を引いた値は、核子の軸電荷に比例すると。具体的には：${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6}$、 どこ${\displaystyle x}$はビョルケン尺度変数であり、${\displaystyle g_{1}^{p(n)}(x)}$は陽子（中性子）の最初のスピン構造関数であり、${\displaystyle g_{A}}$は中性子β崩壊を特徴づける核子の軸電荷である。ビョルケンスケーリング領域外では、ビョルケン和則は精度5次まで既知のQCDスケーリング補正を獲得する。^{[ 2 ]}和則は10%以上の精度で実験的に検証されている。^{[ 2 ]}
• ビョルケン和則（非偏極）。 ^{[ 10 ]}摂動的QCDの主要項では、和則は次のようになる。${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},}$どこ${\displaystyle F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})}$そして${\displaystyle F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})}$これらは陽子-ニュートリノ、陽子-反ニュートリノ、中性子-ニュートリノの深非弾性散乱反応の最初の構造関数です。${\displaystyle Q^{2}}$は、反応において核子と（反）ニュートリノの間で交換される4元運動量の二乗であり、${\displaystyle \alpha _{s}}$QCD結合定数は です。
• バークハルト・コッティンガム和則。^{[ 11 ]}この和則は実験的に検証されている。^{[ 2 ]}この和則は「超収束的」であり、その形式は${\displaystyle Q^{2}}$合計ルールは次のとおりです。${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}}$どこ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$これは、研究対象物の第二スピン構造関数である。
• ${\displaystyle \delta _{LT}}$合計ルール。^{[ 12 ]}
• Close-Kumano和則^{[ 13 ]}は、Bjorken極限において、${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$と${\displaystyle Q^{2}/\nu }$有限、重水素の第一テンソル構造関数の積分、${\displaystyle b_{1}}$消える${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{1}^{\gamma }(x)dx=0}$。
• エフレモフ・テリャエフ・リーダーの合計ルール。^{[ 14 ]}
• エリス・ジャッフェ和則。^{[ 15 ]}和則は実験的に成り立たないことが示され、^{[ 2 ]}ストレンジクォークのスピンが陽子のスピンに無視できないほど寄与していることが示唆された。エリス・ジャッフェ和則は、和則の破れが物質の基本的な性質（この場合は陽子のスピンの起源）について教えてくれる例である。
• 順方向スピン分極率和則。^{[ 12 ]}
• フビニ・ファーラン・ロセッティ・サム・ルール。^{[ 16 ]}
• ゲラシモフ–ドレル–ハーン和則（GDH、DHG和則とも呼ばれる）。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}これはバルディン和則​​（上記参照）の偏極版である。和則は以下の通りである。${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}}$、 どこ${\displaystyle \nu _{0}}$は、光子が標的粒子に吸収された後にパイ中間子を生成するために必要な最小エネルギーである。${\displaystyle \sigma _{TT}}$これは、光子のスピンがターゲットのスピンと整列している場合と反整列している場合の光子吸収断面積の差です。${\displaystyle \nu }$光子エネルギーは、${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数であり、${\displaystyle \kappa }$、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle m_{t}}$は、それぞれ対象粒子の異常磁気モーメント、スピン量子数、質量です。GDH和則の導出では、対象粒子の構造を支配する理論（例えば、核子や原子核のQCD）が因果的（つまり、分散関係、あるいはGDHの場合は等価的にクラマース・クローニッヒ関係を使用できる） 、ユニタリー、ローレンツ不変、ゲージ不変であると仮定しています。これら3つの仮定は、量子場理論の非常に基本的な前提です。したがって、GDH和則を検証すると、これらの基本的な前提が検証されます。GDH和則は実験的に検証されました（10%以内の精度）。^{[ 2 ]}
• 一般化されたGDH和則。GDH和則の一般化されたバージョンがいくつか提案されている。^{[ 2 ]}最初にして最も一般的なものは次のとおりである。${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8}$、 どこ${\displaystyle g_{1}}$は対象粒子の第一スピン構造関数であり、${\displaystyle x}$はビョルケン尺度変数であり、${\displaystyle Q^{2}}$は光子の仮想性、あるいは等価的に、仮想光子を生成したビーム粒子と標的粒子との間で伝達された四元運動量の絶対値の二乗であり、${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$は最初の前方仮想コンプトン散乱振幅です。この関係を和則と呼ぶのは不適切であると主張することもできます。${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$は対象粒子の静的な性質でもなければ、直接測定可能な観測量でもない。それにもかかわらず、和の法則という名称は広く用いられている。
• ゴットフリート和則。^{[ 20 ]}和則は、重み付けされた積分が${\displaystyle x}$非分極構造関数${\displaystyle F_{2}(x,Q^{2})}$陽子の から中性子の を引いた値は、海クォークのフレーバー非対称性に関係している。${\displaystyle I_{G}=\int _{0}^{1}F_{2}^{p}(x,Q^{2})-F_{2}^{n}(x,Q^{2}){\frac {dx}{x}}={\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1}{\bar {d}}(x,Q^{2})-{\bar {u}}(x,Q^{2})dx}$味覚的に対称な海を仮定すると、ゴットフリート和則が成り立ち、${\displaystyle I_{G}=1/3}$これは測定によって否定されており、^{[ 21 ]}核子海におけるフレーバー非対称性の最初の明確な証拠をもたらしている。
• グロス-ルウェリン・スミス和則。 ^{[ 22 ]}ビョルケンスケーリング領域では、積分は${\displaystyle F_{3}(x)}$核子の構造関数は、核子を構成する価クォークの数、すなわち3に等しい。具体的には以下の通りである。${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3}$ビョルケン・スケーリング領域外では、グロス・ルウェリン・スミス和則は、ビョルケン和則と同一のQCDスケーリング補正を獲得する。グロス・ルウェリン・スミス積分は、フェルミラボのCCFR実験によって測定された。^{[ 23 ]}
• 運動量和の法則：^{[ 24 ]}運動量分数の合計は${\displaystyle x}$ハドロン内部のすべてのパートン（クォーク、反クォーク、グルーオン）の数は1に等しい。
• ジ・スムのルール：一般化パートン分布（GPD）の積分を、クォークまたはグルーオンが運ぶ全角運動量に関連付ける。^{[ 25 ]}次のように表される。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x{\big [}E_{q,g}(x,0,0)+H_{q,g}(x,0,0){\big ]}dx=J_{q,g}}$、 どこ${\displaystyle J_{q,g}}$クォークは（${\displaystyle q}$）またはグルーオン（${\displaystyle g}$）全角運動量、${\displaystyle E_{q,g}(x,\xi ,t)}$クォークまたはグルーオンは非偏極ヘリシティ保存GDPであり、${\displaystyle H_{q,g}(x,\xi ,t)}$クォークまたはグルーオンの非偏極ヘリシティ反転GDPです。運動学的変数スキューネス${\displaystyle \xi }$そしてマンデスタムの${\displaystyle t}$ゼロに設定されます。

• 陽子質量和則：^{[ 26 ] [ 27 ]}陽子質量をクォークエネルギー、クォーク質量、グルーオンエネルギー、量子異常エネルギーの4つの項に分解し、これらの各項は3次元座標空間上の積分である。
• シュウィンガー和則。^{[ 28 ]}シュウィンガー和則は、偏極レプトンが偏極標的粒子から散乱される際の理論的な結果である。それは次のように表される。${\displaystyle {\frac {8M^{2}}{Q^{2}}}\int _{0}^{x_{0}}g_{1}(x,Q^{2})+g_{2}(x,Q^{2})dx\to \kappa e{\text{ as }}Q^{2}\to 0}$、 どこ${\displaystyle M}$は標的粒子の質量であり、${\displaystyle Q^{2}}$散乱過程中に標的粒子に伝達される4元運動量の絶対値の二乗、${\displaystyle x}$ビョルケン尺度変数、${\displaystyle x_{0}}$の${\displaystyle x}$-標的粒子からパイ中間子を生成するために必要な最小エネルギーの値、${\displaystyle g_{1}(x,Q^{2})}$そして${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$それぞれ、対象粒子の第１および第２スピン構造関数。極限は${\displaystyle Q\to 0}$、 と${\displaystyle \kappa }$標的粒子の異常磁気モーメントと${\displaystyle e}$その電荷。和則の被積分関数は、${\displaystyle 1/Q}$-加重横方向-縦方向干渉断面積、${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$これは一般化されたGDH和則に似ています。^{[ 2 ]}興味深いことに、和則には、${\displaystyle Q\to 0}$極限では、実光子は横方向のスピン射影のみを持つため、和則が適用されます。したがって、${\displaystyle \sigma _{LT}=0}$極限において${\displaystyle Q\to 0}$しかし、これにもかかわらず、比率に関する積分は${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$和則によれば、この極限では有限かつゼロでない値になると予想される。和則は中性子に対して実験的に検証され、^{[ 29 ]}実験上の不確実性は存在するものの、GDH和則も成り立つことを前提として成り立つことがわかった。
• Wandzura – Wilczek合計ルール。^{[ 30 ]}

• 量子色力学
• プロトンスピン危機