最高次項

数式、式、またはモデル内の主要項（または主要項補正）は、桁数が最も大きい項です。^{[ 1 ] [ 2 ]}方程式内のさまざまな項の大きさは変数が変化すると変化するため、どの項が主要項であるかも変化する可能性があります。

さまざまな複雑な数理モデルを単純化して理解するための一般的で強力な方法は、変数とパラメータの特定のサイズに対して、どの項が最も大きいか（したがって最も重要か）を調査し、これらの項のみによって生成される挙動を分析することです（他の小さな項は無視できるものとします）。^{[ 3 ] [ 4 ]}これにより主な挙動がわかります。実際の挙動は、この挙動からわずかにずれただけです。

主要な挙動は、厳密に上位項のみで十分に捉えられる場合もあれば、より小さな項も含めるべきだと判断される場合もある。後者の場合、「上位項」という表現は、これらの項群全体を指す非公式な意味で用いられることがある。上位項群のみによって生じる挙動は、モデルの上位挙動と呼ばれる。

方程式y  = x ³ + 5 x + 0.1 を考えてみましょう。x の 5 つの異なる値に対して、この方程式の 4 つの項の大きさと、どの項が主要項であるかを表に示します。x がさらに増加すると、主要項はx ³とyのままですが、x が減少し、さらに負の値に近づくと、どの項が主要項であるかが再び変化します。     

2つの項がほぼ同じオーダーまたは大きさであるとみなすべきか否かについて、厳密な境界線はありません。経験則としては、2つの項の差が10倍（1桁）以内であればほぼ同じオーダーとみなすべきであり、100倍（2桁）以上離れている場合は同じオーダーとみなすべきではない、というものがあります。しかし、その中間には曖昧な領域があり、項がほぼ主項とみなされるべきか否かの明確な境界はありません。むしろ、変数の変化に伴って項は現れたり消えたりします。モデル内の項が主項（またはほぼ主項）であるかどうか、そしてそうでない場合、無視できるほど小さいかどうか（2つの異なる問題）を判断することは、多くの場合、調査と判断の問題であり、文脈によって異なります。

1 つの主項のみを含む方程式は可能ですが、まれです。たとえば、方程式 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (右辺は 100 個の 1 で構成されています) です。変数とパラメータの値の特定の組み合わせに対して、方程式には通常、少なくとも 2 つの主項とその他の低次の項が含まれます。この場合、低次の項と、低次の項と同じ大きさの主項の部分 (おそらく 2 番目または 3 番目の有効数字以降) が無視できると仮定すると、これらの低次の項と主項の一部をすべて削除して新しい方程式を作成できます。残りの項は、主次方程式、または主次バランス^{[ 5 ]}、または支配バランス^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}を提供し、これらの項のみを含む新しい方程式を作成することは、方程式を主次数にすると呼ばれます。この新しい方程式の解は、元の方程式の主要項解^{[ 9 ] [ 10 ]}と呼ばれます。この新しい方程式によって与えられる挙動を分析すると、これらの変数とパラメータの値に対するモデルの主要項挙動^{[ 11 ] [ 12 ]}が得られます。この近似を行う際の誤差の大きさは、通常、無視された最大の項の大きさとほぼ同じです。

上記の例の主要項の挙動を理解したいとしましょう。

• x  =  0.001の場合、 x ³と 5 xの項は無視できるものとみなされ、残りの 2 つの項の小数点以下第 3 位以降の値とともに削除できます。これにより、主要項のバランスy  = 0.1 が得られます。したがって、 x = 0.001 におけるこの方程式の主要項の挙動は、yが定数であるということです。
• 同様に、x  =  10 の場合、5xと0.1 の項は無視できるものとみなされ、残りの 2 つの項の 3 桁目以降の値とともに削除できます。これにより、主要項のバランスy  = x ^{3が得られます。したがって、} x = 10におけるこの方程式の主要項の挙動は、y がx に対して 3乗に増加するということです。 

したがって、 yの主な挙動は、xの任意の値で調べることができます。主要項の挙動は、主要項の数が増えるほど複雑になります。x =2では、 yのxに対する3 次および 1 次依存性の間に主要項のバランスが取れています。

なお、この主要項のバランスと挙動の求め方に関する説明は、あくまでもプロセスの概要を示すものであり、数学的に厳密なものではありません。

もちろん、yは実際にはx  = 0.001で完全に一定ではありません 。これは、この点の近傍での y の主な挙動にすぎません。 （たとえば、モデルを将来の予測に使用する場合など）主要項（または近似的に主要項）のみを保持し、他のすべての小さな項を無視できるとみなすことは不十分な場合があり、そのため、次に大きい項のセットも保持する必要があるかもしれません。 これらは、次主要項(NLO) または補正項と呼ばれます。^{[ 13 ] [ 14 ]}その次の項のセットは、次次主要項(NNLO) または補正項と呼ばれます。^{[ 15 ]}

• 評価、すなわち「主項」の代数的一般化