量子力学における和則

量子力学において、和則はエネルギーレベル間の遷移の式であり、遷移強度の合計が単純な形式で表現されます。和則は、固体、原子、原子核、陽子や中性子などの核構成要素を含む多くの物理システムの特性を記述するために使用されます。

和則は一般原理から導き出され、個々のエネルギー レベルの動作が複雑すぎて正確な量子力学理論で説明できない場合に役立ちます。一般に、和則はハイゼンベルクの量子力学代数を使用して演算子等式を構築することで導き出され、その後、システムの粒子またはエネルギー レベルに適用されます。

ハミルトニアンが 固有値を持つ 完全な固有関数の集合を持っていると仮定します。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle |n\rangle}$${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

エルミート演算子 の場合、繰り返し交換子を次のように反復的に定義します。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {C}}^{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {C}}^{(0)}&\equiv {\hat {A}}\\{\hat {C}}^{(1)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {A}}]={\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}}\\{\hat {C}}^{(k)}&\equiv [{\hat {H}},{\hat {C}}^{(k-1)}],\ \ \ k=1,2,\ldots \end{aligned}}}$

演算子はエルミートであると定義されているので、エルミート演算子です 。演算子は反エルミートです。 ${\displaystyle {\hat {C}}^{(0)}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {C}}^{(1)}}$

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(1)}\right)^{\dagger }=({\hat {H}}{\hat {A}})^{\dagger }-({\hat {A}}{\hat {H}})^{\dagger }={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}=-{\hat {C}}^{(1)}.}$

帰納的に次のことがわかります:

${\displaystyle \left({\hat {C}}^{(k)}\right)^{\dagger }=(-1)^{k}{\hat {C}}^{(k)}}$

そしてまた

${\displaystyle \langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle =(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle .}$

エルミート演算子の場合、

${\displaystyle |\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle ^{\ast }=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle .}$

この関係式を使用すると次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle &=\langle m|{\hat {A}}{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {C}}^{(k)}|m\rangle -\langle m|{\hat {C}}^{(k)}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}\langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|{\hat {A}}|m\rangle \\&=\sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.\end{aligned}}}$

結果は次のように書ける。

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},{\hat {C}}^{(k)}]|m\rangle ={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}k{\mbox{ is even}}\\2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2},&{\mbox{if }}k{\mbox{ is odd}}.\end{cases}}}$

これにより次のようになります: ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \langle m|[{\hat {A}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]|m\rangle =2\sum _{n}(E_{n}-E_{m})|\langle m|{\hat {A}}|n\rangle |^{2}.}$

• 発振器の強さ
• 和則（量子場理論）
• QCD和則