ウォマーズリー数

ウォマーズリー数（または）は、生体流体力学および生体流体力学における無次元数です。これは、粘性効果との関係における脈動流周波数の無次元表現です。動脈内の血流に関する研究で知られるジョン・R・ウォマーズリー（1907–1958）にちなんで名付けられました。^{[1]ウォマーズリー数は、実験を拡大縮小する際に}動的相似性を保つ上で重要です。その一例は、実験研究のために血管系を拡大することです。ウォマーズリー数は、境界層の厚さを決定して、入口効果が無視できるかどうかを確認する 際にも重要です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\text{Wo}}}$

この数の平方根は、ジョージ・ストークス卿によるストークス第二問題に関する先駆的な研究にちなんで、ストークス数とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\text{Stk}}={\sqrt {\text{Wo}}}}$

ウォマーズリー数は通常 と表記され、 の関係で定義されます。 ここで は適切な長さスケール（たとえばパイプの半径）、は振動の角周波数、 、、はそれぞれ流体の動粘性、密度、および動粘性です。^[2]ウォマーズリー数は通常、無べき形式で表記されます 。${\displaystyle \alpha}$$${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{過渡慣性力}}{\text{粘性力}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$$

心臓血管系では、脈動周波数、密度、および動粘性は一定ですが、特性長さ（血流の場合は血管径）は、大動脈と細い毛細血管の間で 3 桁（OoM）変化します。したがって、ウォマーズリー数は、血管系全体の血管サイズの変動により変化します。人間の血流のウォマーズリー数は、次のように推定できます。 ${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

以下は、さまざまな人間の血管における推定 Womersley 数のリストです。

これは、無次元レイノルズ数(Re) とストローハル数(St)で表すこともできます。 $${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$$

ウォマーズリー数は、管内の振動流（層流かつ非圧縮性であると仮定）に対する線形ナビエ・ストークス方程式の解から生じる。これは、過渡的または振動的な慣性力とせん断力の比を表す。が小さい（1 以下）場合、脈動の周波数が十分に低いため、各サイクル中に放物線状の速度プロファイルが発達する時間があり、流れは圧力勾配とほぼ同位相になり、瞬間的な圧力勾配を使用してポアズイユの法則によって良好な近似が得られることを意味する。が大きい（10 以上）場合、脈動の周波数が十分に大きいため、速度プロファイルは比較的平坦またはプラグ状になり、平均流は圧力勾配より約 90 度遅れることを意味する。レイノルズ数とともに、ウォマーズリー数は動的相似性を左右する。^[3]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

過渡加速度に関連する境界層の厚さは、ウォマーズリー数と反比例関係にあります。これは、ストークス数がウォマーズリー数の平方根であることからわかります。 ^[4] ここで、は特性長さです。 ${\displaystyle \delta}$ $${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Wo} }}}\right),}$$${\displaystyle L}$

大きな管から多数の小さな管へと進む流れの分配ネットワーク（例えば血管ネットワーク）では、周波数、密度、および動粘性は（通常）ネットワーク全体で同じですが、管の半径は変化します。したがって、ウォマーズリー数は大きな血管では大きく、小さな血管では小さくなります。血管の直径は分割ごとに減少するため、ウォマーズリー数はすぐに非常に小さくなります。ウォマーズリー数は末端動脈のレベルで1に近づきます。細動脈、毛細血管、および細静脈では、ウォマーズリー数は1未満です。これらの領域では慣性力はそれほど重要ではなくなり、流れは粘性応力と圧力勾配のバランスによって決定されます。これを微小循環と呼びます。^[4]

心拍数2Hzの犬の心血管系におけるウォマーズリー数の典型的な値は以下の通りである。^[4]

• 上行大動脈 – 13.2
• 下行大動脈 – 11.5
• 腹部大動脈 – 8
• 大腿動脈 – 3.5
• 頸動脈 – 4.4
• 細動脈 – 0.04
• 毛細血管 – 0.005
• 細静脈 – 0.035
• 下大静脈 – 8.8
• 主肺動脈 – 15

普遍的な生物学的スケーリング則（代謝率、寿命、長さなどの量の体重による変化を記述するべき乗法則の関係）は、エネルギー最小化の必要性、血管ネットワークのフラクタルな性質、および大きな血管から小さな血管に進むにつれて高ウォマーズリー数の流れから低ウォマーズリー数の流れにクロスオーバーすることの結果であると主張されてきました。^[5]