イベント（確率論）

確率論では、事象とは、確率が割り当てられる実験の結果の集合（標本空間のサブセット）である。 ^[1]単一の結果は、多くの異なる事象の要素である可能性があり、^[2]実験における異なる事象は通常、非常に異なる結果のグループを含む可能性があるため、等しく起こり得るわけではない。^[3]単一の結果のみからなる事象は、基本事象または原子事象と呼ばれる。つまり、シングルトン集合である。複数の結果の可能性がある事象は、複合事象と呼ばれる。事象は、実験（または試行）の結果が含まれる場合（つまり、の場合）に発生すると言われている。^[4]事象が発生する確率（何らかの確率測度に関して）は、実験の結果が含まれる確率である（つまり、の確率である）。事象は、相補事象、つまり相補集合（事象が発生しない）を定義し、これらを合わせてベルヌーイ試行、つまり事象が発生したかどうかを定義する。 $S$ $S$ $x$ $x\in S$ $S$ $S$ $x$ $x\in S$

通常、標本空間が有限である場合、標本空間の任意の部分集合はイベントである（つまり、標本空間の冪集合のすべての要素がイベントとして定義される）。 ^{[5]しかし、このアプローチは、標本空間が}非可算無限である場合はうまく機能しない。そのため、確率空間を定義するときに、標本空間の特定の部分集合をイベントから除外することが可能であり、多くの場合、それが必要である（以下の§ 確率空間におけるイベントを参照）。

簡単な例

ジョーカーなしのトランプ 52 枚を組み立て、その中から 1 枚のカードを引くと、各カードが起こり得る結果であるため、標本空間は 52 要素の集合になります。ただし、イベントは標本空間の任意のサブセットであり、任意のシングルトンセット(基本イベント)、空集合(あり得ないイベント、確率 0)、標本空間自体 (確実なイベント、確率 1) が含まれます。その他のイベントは、複数の要素を含む標本空間の適切なサブセットです。たとえば、起こり得るイベントには次のものがあります。

「ジョーカーではない赤と黒が同時に現れる」（0 要素）
「ハートの5」（1要素）
「王様」（4つの要素）
「フェイスカード」（12要素）
「スペード」（13要素）
「絵札または赤いスーツ」（32 要素）
「カード」（52 要素）。

すべてのイベントは集合であるため、通常は集合（たとえば、{1, 2, 3}）として記述され、ベン図を使用してグラフで表されます。サンプル空間Ωの各結果が等確率である状況では、イベントの確率は次のようになります。 $P$ $A$ 式: このルールは、上記の各例のイベントに簡単に適用できます。 $\mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)$

確率空間におけるイベント

標本空間のすべての部分集合を事象として定義することは、結果が有限個しかない場合には有効であるが、標本空間が無限の場合には問題が生じる。正規分布などの多くの標準的な確率分布では、標本空間は実数の集合または実数の一部の集合である。実数のすべての部分集合の確率を定義しようとすると、非測定集合などの「動作の悪い」集合を考慮すると困難に遭遇する。したがって、より限定された部分集合の族に注意を限定する必要がある。結合確率や条件付き確率などの確率論の標準的なツールが機能するには、 σ 代数、つまりそのメンバーの補集合と可算和集合に関して閉じた族を使用する必要がある。σ代数の最も自然な選択は、区間の和集合と交差から導かれるボレル測定集合である。しかし、ルベーグ可測集合のより大きなクラスの方が実際にはより有用であることが証明されています。

確率空間の一般的な測度論的記述では、イベントはサンプル空間のサブセットの選択された𝜎-代数の要素として定義できます。この定義では、 𝜎-代数の要素ではないサンプル空間のサブセットはイベントではなく、確率を持ちません。ただし、確率空間を適切に指定すると、関心のあるすべてのイベントは𝜎-代数の要素になります。

表記に関する注意

事象は何らかの標本空間のサブセットであるにもかかわらず、ランダム変数を含む述語または指標として記述されることが多い。例えば、が標本空間上で定義された実数値ランダム変数である場合、事象はより便利に、単に次のように記述することができる。これは、確率の式、例えばなどで特によく見られる。集合は、写像の逆像の例である。なぜなら、 $\Omega ,$ $X$ $\Omega ,$ $\{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,$ $u<X\leq v\,.$ $\Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.$ $u<X\leq v$ $X$ $\omega \in X^{-1}((u,v])$ $u<X(\omega )\leq v.$

参照

アトム（測度論） - より小さな正の測度のサブセットを含まない正の測度を持つ測定可能な集合
補完的イベント – 確率イベントの反対
基本イベント – 結果が 1 つだけ含まれるイベント
独立したイベント – あるイベントの発生が別のイベントの発生確率に影響を与えない場合
結果（確率） – 実験や試行の可能性のある結果
ペアワイズ独立イベント – 任意の2つが独立しているランダム変数の集合

注記

^ レオン・ガルシア、アルベルト（2008年）。電気工学のための確率、統計、ランダムプロセス。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：ピアソン。ISBN 9780131471221。
^ ファイファー、ポール E. (1978)。確率論の概念。ドーバー出版。p. 18。ISBN 978-0-486-63677-1。
^ Foerster, Paul A. (2006). 代数と三角法: 関数と応用、教師用版 (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . p. 634. ISBN 0-13-165711-9。
^ デッキング、フレデリック・ミシェル;クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。ルドルフ・エルヴィン、メースター (2005)。デッキング、ミシェル（編）。確率と統計の現代的な入門書: その理由と方法を理解する。統計学におけるシュプリンガーのテキスト。ロンドン[ハイデルベルク]：シュプリンガー。 p. 14.ISBN 978-1-85233-896-1。
^ Širjaev, Albert N. (2016). Probability-1 . Graduate texts in mathematical. Boas, Ralph Philip; Chibisov, Dmitry (第3版) 訳. ニューヨークハイデルベルクドルドレヒトロンドン: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4。

外部リンク

「ランダムイベント」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
Mizar システムにおける正式な定義。

[1] レオン・ガルシア、アルベルト（2008年）。電気工学のための確率、統計、ランダムプロセス。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：ピアソン。ISBN 9780131471221。

[2] ファイファー、ポール E. (1978)。確率論の概念。ドーバー出版。p. 18。ISBN 978-0-486-63677-1。

[3] Foerster, Paul A. (2006). 代数と三角法: 関数と応用、教師用版 (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . p. 634. ISBN 0-13-165711-9。

[4] デッキング、フレデリック・ミシェル;クライカンプ、コーネリス。ロプハー、ヘンドリック・ポール。ルドルフ・エルヴィン、メースター (2005)。デッキング、ミシェル（編）。確率と統計の現代的な入門書: その理由と方法を理解する。統計学におけるシュプリンガーのテキスト。ロンドン[ハイデルベルク]：シュプリンガー。 p. 14.ISBN 978-1-85233-896-1。

[5] Širjaev, Albert N. (2016). Probability-1 . Graduate texts in mathematical. Boas, Ralph Philip; Chibisov, Dmitry (第3版) 訳. ニューヨークハイデルベルクドルドレヒトロンドン: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4。