圧縮コヒーレント状態

物理学において、スクイーズドコヒーレント状態は、通常、連続した固有値のスペクトルを持つ2 つの非可換な 観測量によって記述される量子状態です。例としては、粒子の位置と運動量、および光波 (波の直交位相) の振幅(位相 0) とモード (位相 90°) における(次元のない)電場などがあります。このような 2 つの演算子の標準偏差の積は、不確定性原理に従います。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;}$ および です。${\displaystyle \;\デルタ X\デルタ Y\geq {\frac {1}{4}}}$

実際には圧縮されていない自明な例としては、量子調和振動子の基底状態とコヒーレント状態の族がある。これらの状態は上記の不確実性を飽和させ、 「自然振動子単位」との範囲内で演算子の不確実性の対称分布を持つ。^{[注 1]}${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle \Delta x_{g}=\Delta p_{g}}$${\displaystyle \Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2}$

スクイーズ状態という用語は、実際には、演算子の 1 つまたは 2 つの線形結合の基底状態よりも標準偏差が低い状態に対して使用されます。この背後にある考え方は、直交位相空間 (右を参照) におけるコヒーレント状態の不確実性を示す円が、同じ面積の楕円に「スクイーズ」されているというものです。 ^{[1] [2] [3]}スクイーズ状態では不確定性原理を飽和させる必要がないことに注意してください。

光のスクイーズ状態は1980年代半ばに初めて生成されました。^{[4] [5]}当時、分散が最大約2（3 dB）の係数による量子ノイズスクイーズが達成されました。2017年現在、10（10 dB）を超えるスクイーズ係数が直接観測されています。^{[6] [7] [8]}${\displaystyle \Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2}$

上記の恒等式を満たす最も一般的な波動関数は、スクイーズドコヒーレント状態である（単位は） ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)}$

ここで、は定数（正規化定数、波束の中心、その幅、およびその運動量の期待値）です。コヒーレント状態に対する新しい特徴は、幅 の自由値であり、これが状態が「スクイーズ」と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle C,x_{0},w_{0},p_{0}}$${\displaystyle w_{0}}$

上記の圧縮状態は線形演算子の 固有状態である。

${\displaystyle {\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2}}$

対応する固有値は に等しい。この意味で、これは基底状態とコヒーレント状態の一般化である。 ${\displaystyle x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}}$

量子調和振動子のスクイーズドコヒーレント状態の一般的な形は次のように与えられる。

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }$

ここでは真空状態、は変位演算子、はスクイーズ演算子であり、次のように表される。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle S(\zeta )}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}}$

ここで、およびはそれぞれ消滅演算子と生成演算子である。角周波数の量子調和振動子の場合、これらの演算子は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)}$

実数 の場合（、^[9] rはスクイージングパラメータであることに注意）、 ^{[説明が必要]}およびの不確実性は次のように与えられる。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \zeta =re^{2i\phi }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad ( \Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }}$

したがって、圧縮されたコヒーレント状態はハイゼンベルクの不確定性原理 を飽和させ、その直交成分の 1 つにおける不確定性が減少し、もう 1 つにおける不確定性が増加します。 ${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$

圧縮コヒーレント状態の期待値は、

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha \cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh (r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}\cosh ^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }\sinh ^{2}(r)-(1+2{|\alpha) |}^{2})e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}\cosh ^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})\sinh ^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })\cosh(r)\sinh(r)}$

量子調和振動子の 変位スクイーズ状態の一般的な形は次のように表される。

${\displaystyle |\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }$

変位圧縮状態の期待値は、

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+\sinh ^{2}(r)}$

と は相互に交換できない ので、${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}$${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$

${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )}$

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle }$

ここで、^[10]${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$

状態の幅が縮小される位相角に応じて、振幅スクイーズ状態、位相スクイーズ状態、および一般的な直交スクイーズ状態を区別できます。スクイーズ演算子をコヒーレント状態ではなく真空に直接適用すると、その結果はスクイーズ真空と呼ばれます。以下の図^{[要説明]は、スクイーズ状態と}ハイゼンベルクの不確定性関係との密接な関係を視覚的にわかりやすく示しています。波の特定の直交 (位相) で量子ノイズを減少させると、直接的な結果として、相補直交、つまり^[要説明]位相シフトしたフィールドのノイズが増大します。 ${\displaystyle \tau /4}$

図からわかるように、コヒーレント状態とは対照的に、スクイーズ状態の量子ノイズはもはや光波の位相から独立していません。 1 振動周期中のノイズの特徴的な広がりと狭まりが見られます。 スクイーズ状態の確率分布は、前の段落で述べた波動関数のノルムの 2 乗として定義されます。 これは、古典的な光波の電場 (および磁場) 強度の 2 乗に対応します。 移動する波束は、分布の広がりと狭まりを組み合わせた振動運動を示します。これが波束の「呼吸」です。 振幅スクイーズ状態では、波束の分布が最も狭くなるのは場の最大値で、その結果、振幅はコヒーレント状態よりも正確に定義されます。 位相スクイーズ状態では、分布が最も狭くなるのは場のゼロで、その結果、平均位相値はコヒーレント状態よりも正確に定義されます。

位相空間では、量子力学的な不確実性はウィグナー準確率分布によって表すことができます。光波の強度、つまりそのコヒーレント励起は、原点からのウィグナー分布の変位によって与えられます。スクイーズド積分位相の変化は、分布の回転をもたらします。

量子ノイズが最小となる位相であるスクイージング角は、光波の光子数分布や位相分布にも大きな影響を与えます。

振幅スクイーズド光の場合、光子数分布は通常、同じ振幅のコヒーレント状態よりも狭く、サブポアソン光になりますが、位相分布は広くなります。位相スクイーズド光の場合はその逆で、強度（光子数）ノイズは大きくなりますが、位相分布は狭くなります。しかし、振幅スクイーズド光の統計は、実験の難しさから、光子数分解検出器で直接観測されていません。^[13]

圧縮真空状態では、光子数分布は奇偶振動を示します。これは、 2 光子生成および消滅プロセスの演算子に似た圧縮演算子の数学的形式によって説明できます。圧縮真空状態の光子は、ペアで現れる可能性が高くなります。

光のスクイーズ状態は、その過程に関与する電磁場のモードの数に応じて、シングルモードスクイーズ状態と2モードスクイーズ状態に大別されます^[14]。最近の研究では、2つ以上のモード間の量子相関を示すマルチモードスクイーズ状態も研究されています。

シングルモードスクイーズド状態は、その名前が示すように、電磁場の単一モードから成り、その1つの直交位相はショットノイズレベル^{[説明が必要]}以下の変動を持ち、直交位相は過剰なノイズを持ちます。具体的には、シングルモードスクイーズド真空(SMSV)状態は、数学的に次のように表すことができます。

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle =S(\zeta )|0\rangle }$

ここで、圧縮演算子Sは、上記の演算子表現のセクションで紹介したものと同じです。光子数基底では、これを次のように記述できます。 ${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cosh r}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}{\frac {\sqrt {(2n)!}}{2^{n}n!}}|2n\rangle }$

これは純粋なSMSVが偶数光子フォック状態の重ね合わせで構成されていることを明示的に示しています。シングルモードスクイーズド状態は、通常、光パラメトリック発振器の縮退パラメトリック発振によって生成されるか、^[15]または四光波混合を使用して生成されます。^[4]

2 モード スクイージングは​​、2 つの電磁場の 2 つのモードが関係し、 2 つの場の直交位相の線形結合でショット ノイズ レベル^{[明確化が必要]}を下回る量子ノイズ低減を示します。たとえば、しきい値を超える非縮退パラメトリック発振器によって生成される場は、振幅差直交位相でスクイージングを示します。光学における 2 モード スクイージングの最初の実験的実証は、Heidmann らによって行われました。 [ ^16]最近では、しきい値を超える 4 波混合 OPO を使用して、2 モード スクイージングがオンチップで生成されました。^[17] 2 モード スクイージングは​​、連続変数エンタングルメントの前兆と見なされることが多く、したがって、連続的な位置と運動量の観測量に関する元の定式化でのアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼンのパラドックスの実証です。 ^{[18] [19]} 2 モード スクイージング真空 (TMSV) 状態は、数学的に次のように表すことができます。

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle =S_{2}(\zeta )|0,0\rangle =\exp(\zeta ^{*}{\hat {a}}{\hat {b}}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger })|0,0\rangle }$、

そして、光子数基底でを書き表すと、 ^[20]${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle ={\frac {1}{\cosh r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}|nn\rangle }$

TMSVの個々のモードを別々に考えると（すなわち）、モードの1つをトレースまたは吸収すると、残りのモードは熱状態になる。${\displaystyle |nn\rangle =|n\rangle _{1}|n\rangle _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=\mathrm {Tr} _{2}[|\mathrm {TMSV} \rangle \langle \mathrm {TMSV} |]\\&={\frac {1}{\cosh ^{2}(r)}}\sum _{n=0}^{\infty }\tanh ^{2n}(r)|n\rangle \langle n|,\end{aligned}}}$

有効平均光子数を持つ。 ${\displaystyle {\widetilde {n}}=\sinh ^{2}(r)}$

スクイーズド状態の光は、非ゼロ平均場（キャリアとも呼ばれる）の有無に応じて、スクイーズド真空と明るいスクイーズド光に分けられる。閾値以下で動作する光パラメトリック発振器はスクイーズド真空を生成するが、閾値以上で動作する同じOPOは明るいスクイーズド光を生成する。明るいスクイーズド光は、位相基準を提供するために局部発振器を送る必要がないため、特定の量子情報処理アプリケーションに有利であるが、スクイーズド真空は量子強化センシングアプリケーションに適していると考えられている。AdLIGOおよびGEO600重力波検出器は、スクイーズド真空を使用して、標準の量子限界を超える感度の向上を実現している。^{[21] [22]}

2準位中性原子集団のスクイージングでは、原子をスピン1/2粒子として考え、対応する角運動量演算子を次のように定義すると 便利である。

${\displaystyle J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}}$

ここで、 と は- 方向の単一スピン演算子です。ここで は2 レベル システムの人口差、つまりアップ状態とダウン状態 の等しい重ね合わせに対応します。−平面は 2 つの状態間の位相差を表します。これはブロッホ球図としても知られています。次に、 などの不確定性関係を定義できます。コヒーレント (エンタングルメントのない) 状態の場合、です。ここで、スクイージングは​​、1 つの変数 (通常は) から別の変数 (通常は ) への不確定性の再分配と見なされます。 方向を指す状態を考えると、スクイージング、またはスクイージングされた状態の計測学的強化に対する ワインランド基準^{[23]を次のように定義できます。}${\displaystyle v={x,y,z}}$${\displaystyle j_{v}^{(i)}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{z}=0}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle \Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2}$${\displaystyle \Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{x}}$

${\displaystyle \chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}}$。

この基準には 2 つの要素があります。最初の要素はスピン ノイズの削減、つまりコヒーレント (エンタングルメントのない) 状態に比べて量子ノイズがどの程度削減されるかです。2 番目の要素は、コヒーレンス (ブロッホ ベクトルの長さ) がスクイージング手順によってどの程度削減されるかです。これらの量を合わせると、スクイージング手順によってどの程度の計測性能が向上するかがわかります。ここで、計測性能の向上とは、特定の不確実性の測定に必要な平均時間または原子数の削減です。20 dB の計測性能の向上は、同じ精度の測定を 100 倍少ない原子数または 100 倍短い平均時間で実行できることを意味します。 ${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle \left|J_{x}\right|}$

スクイーズド状態の実証には、さまざまな成功例がある。最初の実証は、レーザーと非線形光学を用いた光場の実験であった（光パラメトリック発振器を参照）。これは、結晶を用いた四光波混合という単純なプロセスによって達成される。同様に、進行波位相敏感増幅器は、信号がない状態で結晶を励起すると、空間的にマルチモードの直交スクイーズド光状態を生成する。半導体レーザーダイオードを駆動するサブポアソン電流源は、振幅スクイーズド光につながった。^[24]${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

スクイーズド状態は、トラップ内のイオンの運動状態、結晶格子内のフォノン状態、中性原子集団内のスピン状態によっても実現されている。^{[25] [26]}中性原子とイオンの集団におけるスピンスクイーズド状態の生成と観測については大きな進歩があり、これを使用して時間、加速度、場の測定を増強することができ、測定増強の現在の最先端技術^{[説明が必要]}は20 dBである。^{[27] [28] [29] [30]}スピンスクイーズド状態の生成は、コヒーレントスピン状態のコヒーレントな発展と、射影的なコヒーレンス保存測定の両方を使用して実証されている。巨視的な振動子でさえ、スクイーズドコヒーレント状態に非常によく似た古典的な運動状態に駆動された。スクイーズド光を用いたレーザー放射のノイズ抑制における現在の最先端技術は15dB（2016年現在）に達し、^{[31] [7]}これは以前の記録である12.7dB（2010年）を破ったものである。^[32]

光場のスクイーズ状態は、測定精度の向上に利用できます。例えば、位相スクイーズ光は干渉測定の位相読み出しを改善できます（重力波の例を参照）。振幅スクイーズ光は非常に弱い分光信号の読み出しを改善できます。^[33]

原子のスピンスクイーズ状態は原子時計の精度を向上させるために使用できます。^{[34] [35]}これは、量子射影ノイズがセンサーの精度の根本的な制限となる、冷却原子の小さな集団を使用する原子時計やその他のセンサーでは重要な問題です。^[36]

多くの自由度の場合に一般化された様々なスクイーズドコヒーレント状態は、ウンルー効果やホーキング放射、一般的には曲がった背景での粒子生成やボゴリュボフ変換など、量子場の理論における様々な計算に使用されます。

最近、連続変数（CV）領域における量子情報処理のためのスクイーズ状態の使用が急速に増加している。^[37]連続変数量子光学は、量子通信、無条件量子テレポーテーション、一方向量子コンピューティングのためのCVプロトコルを実現するために、光のスクイージングを重要なリソースとして使用する。^{[38] [39]}これは、単一光子または光子対を量子ビットとして使用する量子情報処理とは対照的である。CV量子情報処理は、スクイージングが量子エンタングルメントと密接に関連しているという事実に大きく依存しており、スクイージング状態の直交位相はサブショットノイズ^{[説明が必要]}の量子相関を示す。

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