反対の広場

項論理学（哲学論理学の一分野）において、対立の四角形は、 4つの基本的な定言命題の関係を表す図です。対立の四角形の起源は、アリストテレスの『解釈について』と、その中で矛盾と相反という2つの対立を区別したことに遡ります。しかし、アリストテレスは図を描いておらず、数世紀後にアプレイウスとボエティウスが図を描きました。

まとめ

伝統的な論理学では、命題（ラテン語：propositio）は、現代の言語と論理学の哲学のように、主張の意味ではなく、口頭での主張（oratio enunciativa ）です。定言命題 $は、主語（ S$ ）と述語（ $P$ ）の2つの用語を含む単純な命題であり、述語は主語に対して主張または否定されます。

すべての定言命題は、肯定命題 A と I を表すラテン語 $の$ aff $i$ rmo (私は肯定します) と、否定命題 E と O を表すラテン語の n e g o (私は否定します) に基づいて、A、 E $、$ $I$ 、 $O$ という4つの $論理$ 形式 $の$ いずれ $か$ に還元できます。これらは次のとおりです。

$A$ 命題は普遍肯定 ( universalis acknowledgemativa ) であり、ラテン語の形は「omne $S$ est $P$ 」で、通常は「すべての $Sは$ $P$ である」と翻訳されます。
$E$ 命題は普遍否定 ( universalis negativa ) であり、ラテン語形式は「nullum $S$ est $P 」で、通常は「$ $Sは$ $P$ ではない」と翻訳されます。
$I$ 命題、特定肯定 ( specificis affermativ ) は、ラテン語では「quoddam $S$ est $P 」で、通常は「ある$ $S$ は $P$ 」と訳されます。
$O$ 命題、特定否定 ( specificis negativa )、ラテン語では「quoddam $S$ nōn est $P$ 」、通常は「ある $Sは$ $P$ ではない」と訳されます。

表形式では：

*命題 $A は「すべての$ $S は$ $P$ である」と表現されることがあります。しかし、命題 $E は「すべての$ $S は$ $P$ ではない」と表現される場合、 $E$ 命題にも $O$ 命題にもなり得るため、形式を決定するには文脈が必要となるため、曖昧です^[2]。標準形式「どの $Sも$ $P$ ではない」は曖昧ではないため、こちらが推奨されます。命題 $Oは、「$ $Sが$ $P$ でない場合もあります」や「特定の $Sが$ $P$ でない場合もあります」という形式も取ります(文字通りラテン語の「Quoddam $S$ nōn est $P$ 」)。

**は、現代語では、文がオブジェクトに適用されることを意味します。多くの場合、単に「 is 」と解釈できます。はとも書くことができます。 $Sx$ $S$ $x$ $x$ $S$ $Sx$ $S(x)$

アリストテレスは（ペリ・ヘルメーネイアス（ラテン語De Interpretatione 、英語では「解釈について」）の第 6 章と第 7 章で））、これら 4 種類の命題の間には特定の論理的関係があると述べている。彼によれば、すべての肯定には正確に 1 つの否定が対応しており、すべての肯定とその否定は「対立」しており、常に一方が真で他方が偽である必要があるという。肯定文とその否定のペアを、彼は「矛盾」（中世ラテン語ではcontradictio）と呼ぶ。矛盾の例には、「すべての人は白人である」と「すべての人が白人であるわけではない」（「一部の人は白人ではない」とも読む）、「誰も白人ではない」と「一部の人は白人である」がある。

$下記の関係、すなわち、反意、副反意、副交替、および上交替は、 S$ として述べられるもの(または現代論理における文 $S$ を満たすもの) が存在するという伝統的な論理の仮定に基づいて成立します。この仮定が取り除かれると、これらの関係は成立しなくなります。

「相反する」（中世：contrariae）ステートメントは、両方のステートメントが同時に真になることができないステートメントです。これらの例としては、普遍的な肯定文「すべての男性は白人である」と普遍的な否定文「白人の男性はいない」があります。これらは同時に真になることはできません。ただし、両方が偽である可能性があるため、これらは矛盾ではありません。たとえば、すべての男性は白人であるというのは偽です。なぜなら、一部の男性は白人ではないからです。しかし、一部の白人の男性はいるので、誰も白人ではないというのも偽です。

すべての文には矛盾する反対（その否定）があり、矛盾する文は、その反対が偽であるときに真となるため、矛盾の反対（中世では副矛盾、副矛盾と呼んでいた）は両方とも真になり得るが、両方とも偽になることはできないということになります。副矛盾は普遍的な文の否定であるため、中世の論理学者はこれを「個別」文と呼んでいました。

アリストテレスは明示的には言及していないが、これによって暗示されるもう一つの論理関係は「交替」（alternatio）であり、「下位交替」と「上位交替」から成る。下位交替とは、特定の陳述と、同じ性質（肯定または否定）の普遍的な陳述との関係であり、特定の陳述は普遍的な陳述によって暗示されるのに対し、上位交替とは、普遍的な陳述の偽（つまり、普遍の否定）が特定の陳述の偽（つまり、個別の否定）によって暗示されるような関係である。^[3]（上位交替は下位交替の対偶である。）これらの関係において、特定の陳述は普遍的な陳述の下位であり、普遍的な陳述は特定の陳述の上位である。たとえば、「すべての人間は白人である」が真である場合、その反対である「白人はいない」は偽である。したがって、矛盾する「一部の人間は白人である」は真である。同様に、普遍的な「白人はいない」は、特定の「すべての人間が白人ではない」ということを暗示しています。^[4]^[5]

要約すれば：

普遍的な陳述は相反するものです。つまり、「すべての人は正義である」と「正義の人間などいない」は、一方が正しく他方が偽である可能性はありますが、同時に真であることはできません。また、両方とも偽である可能性もあります (少なくとも 1 人の人間が正義であり、少なくとも 1 人の人間が正義でない場合)。
個々の陳述は相反する。「ある人は正義である」と「ある人は正義ではない」は、同時に偽ではあり得ない。
ある性質の個別的な陳述は、同じ性質の普遍的な陳述の下位であり、普遍的な陳述は個別的な陳述の上位である。なぜなら、アリストテレス意味論では、「あらゆる $A$ は $Bである」は「何らかの$ $Aは$ $B$ である」を意味し、「いかなる $A も$ $B$ ではない」は「何らかの $Aは$ $B$ ではない」を意味するからである。英語の文章の現代の形式的な解釈では、「あらゆる $Aは$ $B$ である」は「任意の $xについて、$ $xが$ $A$ であるという陳述は、 $xが$ $B$ である陳述を意味する」と解釈され、「何らかの $x は$ $A$ である」を意味しないことに注意。ただし、これは意味解釈の問題であり、時々主張されるように、アリストテレス論理が「間違っている」ことを意味するものではない。
普遍肯定 ( $A$ ) と個別否定 ( $O$ ) は矛盾している。ある $Aが$ $B$ でなければ、すべての $A$ が $B$ であるわけではない。逆に、現代の意味論ではそうではないが、すべての $Aが$ $B$ でなければ、ある $Aが$ $B$ ではないと考えられていた。この解釈は困難を引き起こした (下記参照)。アリストテレスのギリシア語では個別否定を「ある $Aが$ $B で$ はない」ではなく「すべての $A$ が $Bではない」と表現しているが、$ ペリ・ヘルマネイスの注釈で、特定の否定を「quoddam A nōn est $B$ 」、つまり文字通り「ある $Aは$ $B$ ではない」と訳している者がおり、中世の論理学の著作では、特定の命題をこのように表現するのが通例となっている。

これらの関係は、ボエティウスが考案した図の基礎となり、中世の論理学者が論理関係を分類するために使用しました。命題は正方形の4つの角に配置され、関係はそれらの間に引かれた線として表されるため、「対立の正方形」と呼ばれます。したがって、次のようなケースが考えられます。^[6]

$A$ が真であれば、 $E$ は偽、 $I$ は真、 $O$ は偽です。
$E$ が真であれば、 $A$ は偽、 $I$ は偽、 $O$ は真です。
$I が$ 真であれば、 $E$ は偽、 $A$ と $O は$ 不確定です。
$O$ が真であれば、 $A$ は偽、 $E$ と $I は$ 不確定です。
$A$ が偽の場合、 $O$ は真、 $E$ と $I は$ 不確定です。
$E$ が偽の場合、 $I は$ 真となり、 $A$ と $O は$ 不確定になります。
$I$ が偽であれば、 $A$ は偽、 $E$ は真、 $O$ は真です。
$O$ が偽であれば、 $A$ は真、 $E$ は偽、 $I$ は真です。

それらを暗記するために、中世の人々は次のようなラテン語の韻文を発明した。^[7]

$adfirmat$ 、negat $E$ 、sed universaliter ambae;
$私は$ 、 $O$ を否定し、特定のアンベを設定します。

これは、上記の各ケースにおいて、 $A$ と $E が両方とも真でも両方とも偽でもないことを断言します。同じことが$ $I$ と $Oにも当てはまります。最初の 2 つは普遍的なステートメントですが、$ $I$ / $O の$ 組み合わせは特定のステートメントを指します。

対立の四角形は、ギリシャの哲学者アリストテレスが述べた定言推論、すなわち転換、転置、対置に使用されました。これら 3 種類の定言推論はそれぞれ、ボエティウスの 4 つの論理形式、つまり $A$ 、 $E$ 、 $I$ 、 $O$ に適用されました。

実存的輸入の問題

中世の論理学者が「quoddam $A$ est $B$ 」（ある特定の $A$ は $B$ ）および「quoddam $A$ non est $B$ 」（ある特定の $Aは$ $B$ ではない）の形式で表した副矛盾（ $I$ および $O$ ）は、普遍的な矛盾ステートメント（どの $A も$ $B$ ではない/ すべての $Aは$ $B$ である）が両方とも真であることはできないため、両方が偽であることはできません。これは、ピーター・アベラール（1079年 - 1142年4月21日）によって最初に特定された困難につながります。「ある $A$ は $B$ である」は「何かが $A$ である」、つまり $A$ である何かが存在することを暗示しているようです。たとえば、「ある男性は白人である」は、「ある男性は白人である」が真である場合、存在する少なくとも1つのもの、つまり白人でなければならない男性を意味しているようです。しかし、「ある男性は白人ではない」も、ステートメント「ある男性は白人ではない」が真である場合、男性として何か、つまり白人ではない男性が存在することを暗示しています。しかし、アリストテレス論理学は、必然的に、これらの文（より一般的には「ある特定の $Aは$ $B$ である」と「ある特定の $Aは$ $B$ ではない」）の1つが真であることを要求する。つまり、両方が偽であることはあり得ない。したがって、両方の文は少なくとも1つの人間が存在することを意味するので、1人または複数の人間が存在することになる。しかし、アベラールが『弁証法』で指摘しているように、人間は存在しないかもしれないのではないだろうか？^[8]

なぜなら、人間が全く存在しない以上、「すべての人間は人間である」という命題も「人間ではない人間もいる」という命題も真ではないからである。^[9]

アベラールはまた、「石である男」のように、何も意味しない主語を含む副対立語は両方とも誤りであると指摘しています。

「すべての石人は石である」が真であるならば、偶然の転化も真である（「いくつかの石は石人である」）。しかし、いかなる石も石人ではない。なぜなら、この人もあの人も石ではないからである。しかし、この「ある石人は石ではない」も必然的に偽である。なぜなら、それが真であると想定することは不可能だからである。^[10]

テレンス・パーソンズ(1939 年生まれ) は、古代の哲学者は存在的重要性の問題を経験しなかったと主張しています。存在的重要性を持つのは A (全称肯定) と I (個別肯定) の形式だけだったからです。(文に用語が含まれており、その用語にインスタンスがない場合、つまり用語に関連付けられているものが存在しない場合は文が偽になる場合、その文はその用語に関して 存在的重要性を持つと言われます。)

肯定には実存的な意味があり、否定にはそれがない。したがって、古代人はアリストテレスが定式化した正方形の矛盾に気づかなかった。なぜなら、矛盾が見当たらなかったからである。^[11]

彼はさらに中世の哲学者ウィリアム・オブ・モールベーケ（1215-35- 1286年頃）を引用し、

肯定命題では、項は常に何かを前提としていると主張される。したがって、項が何も前提としない場合は、その命題は偽である。しかし、否定命題では、項が何かを前提としていないか、述語が真に否定されている何かを前提としているかのいずれかが主張される。したがって、否定命題には2つの真理原因がある。^[12]

そして、ボエティウスによるアリストテレスの著作の翻訳が、 $O$ 形式が実存的な意味を持つという誤った考えを生み出したと指摘しています。

しかし、ボエティウス（477年 - 524年）がこのテキストについてコメントしたとき、彼はアリストテレスの教義を今では有名な図で説明し、「ある人は正しくない」という表現を使っています。ですから、これはラテン語の自然な同義語だと彼には思われたに違いありません。英語では奇妙に聞こえますが、彼は気にしませんでした。^[13]

現代の反対派の広場

フレーゲの反対四角以下の
conträrは訂正です。
正しくは*subconträr*です。

19 世紀、ジョージ・ブール(1815 年 11 月 - 1864 年 12 月 8 日)は、個別の主張 ( $I$ と $O$ )の両方の項に存在的重要性が必要であるが、普遍的な主張 ( $A$ と $E$ )のすべての項には存在的重要性がなくてもよいと主張しました。この決定により、ベン図は項論理で特に使いやすくなりました。このブールの一連の仮定の下での対立の正方形は、しばしば現代の対立の正方形と呼ばれます。現代の対立の正方形では、 $A$ と $O$ の主張は矛盾しており、 $E$ と $I$ も同様ですが、他のすべての形式の対立は成立しなくなります。つまり、反論、副反論、副交替、超交替は存在しません。したがって、現代的な観点からは、古い論理学者が主張には複数の異なる反論があり、それらが主張と異なる種類の対立関係にあると主張するよりも、主張の「その」対立について話すことが理にかなっている場合が多いです。

ゴットロープ・フレーゲ（1848年11月8日 - 1925年7月26日）の『Begriffsschrift』にも、古典的な対立構図とほぼ同じように構成された対立構図が示されており、全称量化、否定、含意から構成される4つの公式間の矛盾、副次的代替、反対が示されている。

アルギルダス・ジュリアン・グレイマス（1917年3月9日 - 1992年2月27日）の記号論的四角形は、アリストテレスの著作から派生したものです。

伝統的な対立の四角形は、現在では内否定と外否定に基づく四角形とよく比較される。^[14]

論理六角形とその他の双単体

反対の正方形は、6つの文の関係を含む論理六角形に拡張されました。これは、オーギュスタン・セスマ（1885年4月7日 - 1957年12月12日）とロバート・ブランシェ（1898年 - 1975年）の両者によって独立に発見されました。^[15]正方形と六角形、それに続く「論理立方体」は、「 $n$ 次元の論理双単体」と呼ばれるn次元オブジェクトの規則的なシリーズに属することが証明されています。このパターンは、これをさらに超えることもあります。^[16]

対立の四角形（または論理の四角形）と様相論理

論理正方形は、対立正方形またはアプレイウスの正方形とも呼ばれ、三段論法で使用される次の 4 つのマークされた文に由来しています。「すべての人間は悪い」という全称肯定文 - 「すべての人間は悪いわけではない」(または「一部の人間は悪くない」) - 「一部の人間は悪い」という個別肯定文 - 最後に、「誰も悪くない」という個別肯定文の否定。ロバート・ブランシェは1966 年にヴリンと共著の Structures intellectuelles を出版し、それ以来多くの学者が、4 つの値を表す論理正方形または対立正方形は、6 つの値を表すことで論理と自然言語についてより多くのことを説明する力を持つ、より強力な図形である論理六角形に置き換えられるべきだと考えています。

カテゴリカルステートメントの集合論的解釈

現代の数学的論理では、集合のような議論領域を想定すると、「すべて」、「一部」、「いいえ」という単語を含むステートメントは、集合論の観点から述べることができます。すべての $A$ の集合を、すべての $B$ の集合をとラベル付けすると、次のようになります。 $s(A)$ $s(B)$

「すべての $Aは$ $B$ である」(AaB) は、「はのサブセットである」、またはと同等です。 $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\subseteq s(B)$
「 $A は$ $B$ ではない」(AeB) は、「との共通部分は空である」、つまりと同等です。 $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\cap s(B)=\emptyset$
「ある $Aは$ $B$ である」(AiB) は、「との積集合は空ではない」、つまりと同等です。 $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\cap s(B)\neq \emptyset$
「 $Aは$ $B$ ではない」(AoB) は、「のサブセットではない」、またはと同等です。 $s(A)$ $s(B)$ $s(A)\nsubseteq s(B)$

定義により、空集合はすべての集合のサブセットです。この事実から、この数学的慣習によれば、 $A$ が存在しない場合は、「すべての $A$ は $B$ である」および「どの $A も$ $B$ ではない」という文は常に真ですが、「一部の $A$ は $B$ である」および「一部の $Aは$ $B$ ではない」という文は常に偽になります。これはまた、AaB は AiB を伴わないことを意味し、上記の三段論法のいくつかは $A$ が存在しない場合は有効ではありません( )。 $\emptyset$ $s(A)=\emptyset$

参照

参考文献

^ スタンフォード哲学百科事典の「伝統的な対立の四角形：1.1 四角形の現代的改訂」より
^ ケリー、デイビッド（2014年）。推論の芸術：論理と批判的思考入門（第4版）。ニューヨーク、ニューヨーク：WWノートン＆カンパニー、Inc。p。150。ISBN 978-0-393-93078-8。
^ 「論理学入門 - 7.2.1 平方完成と即時推論」。2021年8月10日。
^ パリー＆ハッカー『アリストテレス論理学』（SUNY Press、1990年）、158ページ。
^ コーエン＆ナーゲル『論理学入門第2版』（ハケット出版、1993年）、55ページ。
^ レアーレ、ジョバンニ;アンティセリ、ダリオ(1983)。イル・ペンシエロ・オクシデンターレ・ダッレ・オリジン・ア・オッジ。 Vol. 1. ブレシア：エディトリス・ラ・スクオラ。 p. 356.ISBN 88-350-7271-9. OCLC 971192154.
^ マサーロ、ドメニコ (2005)。真実の質問: 知識と知識に関する基本的な論理。スクリプト（イタリア語）。 Vol. 2. メープルズ: Liguori Editore Srl. p. 58.ISBN 9788820738921. LCCN 2006350806. OCLC 263451944.
^ 『弁証法』および『ペリヘルマネアス』の注釈において
^ Re enim hominis prorsus nonexistente neque ea vera est quae ait: オムニス・ホモ・エスト・ホモ、ニーク・エア・クエ・プロポニット: quidam homo non est homo
^ Si enim vera est: Omnis homo qui lapis est, est lagis, et eius conversa per accidens vera est: Quidam lagis est homo qui est lagis. Sed nullus lagis est homo qui est lagis、quia neque hic neque ille など Sed etillam: Quidam homo qui est lagis、non est lagis、falsam esse necesse est、cum impossibile ponat
^ スタンフォード哲学百科事典の「伝統的な対立の四角形」より
^ (SL I.72) ルークス 1974, 206
^ 伝統的な反対の広場
^ Westerståhl、「古典的対現代的対立四角形、そしてそれ以降」、Beziau および Payette (編)、『対立四角形: 認知の一般的な枠組み』、Peter Lang、ベルン、195-229 ページ。
^ N-対立理論論理六角形
^ モレッティ、ペリシエ
^ 「octagon of prophecies - Google 検索」。www.google.com 。 2024年10月29日閲覧。

外部リンク

パーソンズ、テレンス。「伝統的な対立の四角形」。ザルタ、エドワード N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。
反対の広場に関する国際会議
ロジカ・ユニバーサリス第2巻第1号（2008年）「対立の四角形」特集号
Catlogic: カテゴリカル命題と三段論法を構築、調査、計算するための Ruby で書かれたオープンソースのコンピュータスクリプト
Periermenias Aristotelisには、アリストテレスの『解釈について』のボエティウスによるラテン語訳のビデオとデジタル化された写本 LJS 101 へのリンクがあり、これには 36r 葉と 36v 葉にあるアリストテレスの反対称の四角形の 9 世紀/11 世紀の写本 (一部はカラー) が含まれています。

[1] スタンフォード哲学百科事典の「伝統的な対立の四角形：1.1 四角形の現代的改訂」より

[2] ケリー、デイビッド（2014年）。推論の芸術：論理と批判的思考入門（第4版）。ニューヨーク、ニューヨーク：WWノートン＆カンパニー、Inc。p。150。ISBN 978-0-393-93078-8。

[3] 「論理学入門 - 7.2.1 平方完成と即時推論」。2021年8月10日。

[4] パリー＆ハッカー『アリストテレス論理学』（SUNY Press、1990年）、158ページ。

[5] コーエン＆ナーゲル『論理学入門第2版』（ハケット出版、1993年）、55ページ。

[6] レアーレ、ジョバンニ;アンティセリ、ダリオ(1983)。イル・ペンシエロ・オクシデンターレ・ダッレ・オリジン・ア・オッジ。 Vol. 1. ブレシア：エディトリス・ラ・スクオラ。 p. 356.ISBN 88-350-7271-9. OCLC 971192154.

[7] マサーロ、ドメニコ (2005)。真実の質問: 知識と知識に関する基本的な論理。スクリプト（イタリア語）。 Vol. 2. メープルズ: Liguori Editore Srl. p. 58.ISBN 9788820738921. LCCN 2006350806. OCLC 263451944.

[8] 『弁証法』および『ペリヘルマネアス』の注釈において

[9] Re enim hominis prorsus nonexistente neque ea vera est quae ait: オムニス・ホモ・エスト・ホモ、ニーク・エア・クエ・プロポニット: quidam homo non est homo

[10] Si enim vera est: Omnis homo qui lapis est, est lagis, et eius conversa per accidens vera est: Quidam lagis est homo qui est lagis. Sed nullus lagis est homo qui est lagis、quia neque hic neque ille など Sed etillam: Quidam homo qui est lagis、non est lagis、falsam esse necesse est、cum impossibile ponat

[11] スタンフォード哲学百科事典の「伝統的な対立の四角形」より

[12] (SL I.72) ルークス 1974, 206

[13] 伝統的な反対の広場

[14] Westerståhl、「古典的対現代的対立四角形、そしてそれ以降」、Beziau および Payette (編)、『対立四角形: 認知の一般的な枠組み』、Peter Lang、ベルン、195-229 ページ。

[15] N-対立理論論理六角形

[16] モレッティ、ペリシエ

[17] 「octagon of prophecies - Google 検索」。www.google.com 。 2024年10月29日閲覧。