論理六角形

哲学的論理学において、論理六角形（対立六角形とも呼ばれる）は、6つの文の真理値間の関係の概念モデルである。これはアリストテレスの対立四角形の拡張である。これはオーギュスタン・セスマとロベール・ブランシェの両者によって独立に発見された。^[1]

この拡張は、 2 つのステートメントUとY を導入することから構成されます。U はAとEの論理和ですが、Y は2 つの従来の個別項目IとOの論理積です。

伝統的な対立の四角形は、アリストテレスの定義に従って、2 つの矛盾のセットAとO、およびEとI (つまり、両方とも真であり、両方とも偽であることはできない)、2 つの相反AとE (つまり、両方とも偽である可能性があるが、両方とも真であることはできない)、および 2 つの副相反IとO (つまり、両方とも真である可能性があるが、両方とも偽であることはできない) を示します。ただし、論理的な六角形は、UとYも矛盾することを規定します。

論理六角形は、伝統的な論理、数量化、様相論理、順序理論、または矛盾のない論理のモデルとしてなど、さまざまな方法で解釈できます。

たとえば、文 A は「x が何であれ、x が男性であれば、x は白人である」と解釈できます。

   (x)(M(x) → W(x))

文 E は、「x が何であれ、x が男性であれば、x は白人ではない」と解釈できます。

   (x)(M(x) → ~W(x))

文 I は、「男性であり白人である x が少なくとも 1 つ存在する」と解釈できます。

   (∃x)(M(x) & W(x))

文 O は、「男性であり、かつ白人ではない x が少なくとも 1 人存在する」と解釈できます。

   (∃x)(M(x) & ~W(x))

ステートメント Y は、「男性であり白人である x が少なくとも 1 人存在し、男性であり非白人である x が少なくとも 1 人存在する」と解釈できます。

   (∃x)(M(x) & W(x)) & (∃x)(M(x) & ~W(x))

文 U は、「2 つのうちの 1 つ。つまり、x が何であれ、x が男性であれば x は白人である。または、x が何であれ、x が男性であれば x は非白人である。」と解釈できます。

   (x)(M(x) → W(x)) w (x)(M(x) → ~W(x)) 

論理六角形は、様相論理のモデルとして解釈することができ、

• Aは必要性として解釈される
• Eは不可能と解釈される
• Iは可能性として解釈される
• Oは不必要であると解釈される
• Uは非偶発性として解釈される
• Yは偶然性として解釈される

正方形と六角形、そしてそれに続く「論理立方体」は、「n次元の論理双単体」と呼ばれるn次元オブジェクトの規則的なシリーズに属することが証明されています。このパターンは、さらにこれを超越しています。^[2]

• ラムダキューブ
• 論理キューブ
• 反対の広場
• 対立の三角形

• ジャン＝イヴ・ベジオー『対立の広場とその無名の隅への新たな光』
• Jean-Yves Beziau (2012)、「六角形の力」、Logica Universalis 6、2012、1-43。doi :10.1007/ s11787-012-0046-9