波及効果（実験）

偏りのない推論の重要な前提の 1 つは非干渉の前提であり、個人の潜在的な結果は、他者の治療割り当てではなく、自分自身の治療割り当てによってのみ明らかになるというものです。^{[ 7 ]この前提は、個人主義的治療反応[ 8 ]}または安定した単位治療値前提とも呼ばれています。非干渉は、被験者が治療、決定、または経験について互いにコミュニケーションを取り、それによって互いの潜在的な結果に影響を与えることができる場合に破られます。非干渉の前提が成り立たない場合、単位はもはや 2 つの潜在的な結果 (治療群と対照群) だけではなく、他の単位の治療割り当てに依存するさまざまな他の潜在的な結果を持つことになります^{[ 9 ]}これにより、平均治療効果の推定が複雑になります。

波及効果を推定するには、非干渉の仮定を緩和する必要がある。これは、ある単位の結果が、その単位の処置割り当てだけでなく、その隣の単位の処置割り当てにも依存するためである。研究者は、干渉の種類を制限する一連の潜在的結果を想定する必要がある。例として、大学生の政治参加を促進するために政治情報を送付する実験を考えてみよう。研究対象集団が大学の寮でルームメイトと暮らすすべての学生である場合、学生本人またはパートナーのどちらが情報を受け取ったかによって、4つの潜在的結果のセットを想定できる（各2人部屋以外では波及効果はないと仮定する）。

• Y _{0,0 は}、個人が治療を受けなかった場合 (0) と、ルームメイトも治療を受けなかった場合 (0) の潜在的な結果を表します。
• Y _{0,1 は}、個人が治療を受けなかった場合 (0) で、ルームメイトが治療を受けた場合 (1) の潜在的な結果を表します。
• Y _{1,0 は}、個人が治療を受けた場合 (1) で、ルームメイトが治療を受けなかった場合 (0) の潜在的な結果を指します。
• Y _{1,1 は}、個人が治療を受けた場合 (1) と、そのルームメイトが治療を受けた場合 (1) の潜在的な結果を指します。

個人の結果は、本人が治療を受けたかどうかと、ルームメイトが治療を受けたかどうかの両方によって影響を受けます。個人が直接治療を受けていない場合、ルームメイトが治療を受けたかどうかによって結果がどのように変化するかを調べることで、ある種の波及効果を推定できます。これは、Y _0,1 - Y _{0,0の差で表されます。同様に、個人自身が治療を受けている場合、ルームメイトの治療状況によって結果がどのように変化するかを測定できます。これは、Y 1,1} - Y _1,0の差を取ることに相当します。

研究者は、実験の方が前提条件が緩いため、実験を積極的に採用する傾向があるが、スピルオーバーは「範囲が無限で、形式を特定することは不可能」である。^{[ 10 ]}研究者は、どのようなタイプのスピルオーバーが作用しているかについて、具体的な仮定を立てる必要がある。特定の状況でスピルオーバーがどのように発生すると考えられるかに応じて、非干渉の仮定をさまざまな方法で緩和することができる。スピルオーバー効果をモデル化する1つの方法は、上記の例のように、すぐ隣の個体も治療を受けたかどうかを示すバイナリ指標を用いることである。また、治療を受けたすぐ隣の個体の数に依存するスピルオーバー効果、いわゆるkレベル効果を想定することもできる。^{[ 11 ]}

治療がランダム化されている実験環境では、ランダム化推論を用いてスピルオーバー効果の存在を検定することができます。このアプローチの主な利点は、ランダム化推論が有限サンプルでも有効であり、正しいモデル仕様や正規漸近性を必要としないことです。具体的には、前述の大学の寮の部屋での実験例を考えてみましょう。そして、次のことを検定したいとします。 $${\displaystyle H_{0}:Y_{0,1}=Y_{0,0}}$$ この仮説は、情報を受け取っていない学生（つまり、実験においてコントロール群に属する学生）には波及効果がないと主張している。この仮説を否定すると、学生が情報メッセージを直接受け取っていない場合でも、治療を受けたルームメイトから間接的に情報を受け取る可能性があり、したがって波及効果が存在することになる。

次のような仮説を検証するには${\displaystyle H_{0}}$条件付きフィッシャーランダム化検定を適用できます。^{[ 12 ]}${\displaystyle R_{ij}=1}$学生が${\displaystyle i,j}$はルームメイトであり、ここでは簡略化のため、各学生にはルームメイトがちょうど1人いると仮定します。これは完全にランダム化されたデザインであると仮定し、${\displaystyle D_{i}}$学生の二値的扱いを表す${\displaystyle i}$。 それから：

1. 定義する${\displaystyle I_{1}=\{i:\sum _{j}R_{ij}(1-D_{i})D_{j}=1\}}$そして${\displaystyle I_{0}=\{i:\sum _{j}R_{ij}(1-D_{i})(1-D_{j})=1\}}$。
2. 波及効果の推定値を計算してください。${\displaystyle T(I_{1},I_{0})={\big |}{\frac {\sum _{i\in I_{1}}Y_{i}}{|I_{1}|}}-{\frac {\sum _{i\in I_{0}}Y_{i}}{|I_{0}|}}{\big |}}$これは検定統計量です。
3. のために${\displaystyle l=1,2,\ldots ,L}$
   1. ユニットをランダムにシャッフルする${\displaystyle I_{1},I_{0}}$新しいランダム化セットを生成する${\displaystyle I_{1}^{(l)},I_{0}^{(l)}}$順列テストに似ている。
   2. 検定統計量を再計算する${\displaystyle T^{(l)}=T(I_{1}^{(l)},I_{0}^{(l)})}$。
4. ランダム化p値を計算します。

$${\displaystyle \mathrm {pval} ={\frac {1}{L+1}}[1+\sum _{l}1(T^{(l)}>T^{obs})].}$$

この手順を説明するために、ステップ1では、対象となるサブグループを定義します。 ${\displaystyle I_{1}}$は、コントロール権を持つがルームメイトは扱われる学生の集合であり、${\displaystyle I_{0}}$学生がルームメイトと共にコントロール権を握っている場合、これらは「焦点単位」として知られています。^{[ 13 ]} ステップ2では、波及効果の推定値を次のように定義します。${\displaystyle {\bar {Y}}_{0,1}-{\bar {Y}}_{0,0}}$集団間の結果の違い${\displaystyle I_{1},I_{0}}$重要な点として、ランダム化推論では、この推定量の標本分布を導出する必要はありません。この手順の妥当性は、ステップ 3 で真の実験的変動に従って処理を再サンプリングすること (ここでは、「曝露」01 と 00 を単純に入れ替えること) から生じ、帰無仮説の下では結果を固定します。最後に、ステップ 4 でランダム化p 値を計算します。${\displaystyle 1/(L+1)}$この項は、検定統計量の値が繰り返される問題を回避するための有限サンプル補正です。前述のように、ランダム化p値は任意の有限サンプルサイズに対して有効であり、正しいモデル仕様に依存しません。このランダム化手順は、任意の設計やスピルオーバー効果のより一般的な定義に拡張できますが、すべてのユニットのペア間の干渉構造を適切に考慮するように注意する必要があります。^{[ 14 ]}

上記の手順は、検定反転によって一定の波及効果の区間推定値を得るためにも使用できます。さらに、同じ手順は、ステップ 2 で適切なスチューデント化された検定統計量を使用することで、「平​​均」波及効果がゼロであるかどうかを検定するために修正することもできます。^{[ 15 ]}

露出マッピング

関心のある因果推定量を再定義した後の次のステップは、治療割り当てのベクトルが与えられた場合に、分析内の各被験者のスピルオーバー曝露の確率を特徴付けることです。AronowとSamii（2017）^{[ 16 ]}は、分析内の各ユニットの曝露確率のマトリックスを取得する方法を提示しています。

まず、治療割り当て確率のベクトルを持つ対角行列を定義します。${\displaystyle \mathbf {P} =\operatorname {diag} \left(p_{\mathbf {z} _{1}},p_{\mathbf {z} _{2}},\dots ,p_{\mathbf {z} _{|\Omega |}}\right).}$

第二に、指標行列を定義する。${\displaystyle \mathbf {I} }$ユニットがスピルオーバーにさらされているかどうか。これは、右図に示す隣接行列を使用することで行われ、ネットワークに関する情報を指標行列に変換できます。この結果として得られる指標行列には、次の値が含まれます。${\displaystyle d_{k}}$ランダムな二値変数の実現値${\displaystyle D_{i}=f\left(\mathbf {Z} ,\theta _{i}\right)}$これは、そのユニットがスピルオーバーにさらされたかどうかを示します。

第三に、サンドイッチ製品を入手する${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{k}^{\prime }}$2 つの要素を含むN  × N行列: 個々の曝露確率 ${\displaystyle \pi _{i}\left(d_{k}\right)}$対角線上に、そして同時曝露確率${\displaystyle \pi _{ij}\left(d_{k}\right)}$斜め方向以外では：

$${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{k}^{\prime }=\left[{\begin{array}{cccc}{\pi _{1}(d_{k})}&\pi _{12}(d_{k})&\cdots &\pi _{1N}(d_{k})\\\pi _{21}(d_{k})&\pi _{2}(d_{k})&\cdots &\pi _{2N}(d_{k})\\\vdots &\vdots &\ddots &\\\pi _{N1}(d_{k})&\pi _{N2}(d_{k})&{}&\pi _{N}(d_{k})\end{array}}\right]}$$同様に、iが曝露状態にあるという同時確率${\displaystyle d_{k}}$jは異なる曝露条件下にある${\displaystyle d_{l}}$計算によって得られる${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{l}^{\prime }}$:

$${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{l}^{\prime }=\left[{\begin{array}{c c c c }{0}&{\pi _{12}\left(d_{k},d_{l}\right)}&{\dots }&{\pi _{1N}\left(d_{k},d_{l}\right)}\\{\pi _{21}\left(d_{k},d_{l}\right)}&{0}&{\ldots }&{\pi _{2N}\left(d_{k},d_{l}\right)}\\{\vdots }&{\vdots }&{\ddots }&{}\\\pi _{N1}(d_{k},d_{l})&\pi _{N2}(d_{k},d_{l})&&0\end{array}}\right]}$$2番目の行列の対角要素が0になっていることに注目してください。これは、被験者が同時に2つの異なる曝露条件にさらされることはできないのと同様に、被験者が同時に2つの異なる潜在的な結果を明らかにすることもできないためです。

得られた暴露確率${\displaystyle \pi }$そして、逆確率重み付け（IPW、後述）に使用でき、Horvitz–Thompson推定量などの推定量に使用できます。

重要な注意点として、この手順では、曝露確率がゼロのユニット（例えば、他のどのユニットにも接続されていないユニット）はすべて除外されます。なぜなら、これらの数値はIPW回帰の分母に含まれることになるからです。

波及効果の推定には、より慎重な検討が必要です。治療は直接的に割り当てられますが、波及効果の有無は間接的に割り当てられるため、対象者によって波及効果の割り当て確率が異なる場合があります。例えば、友人とのつながりが10人いる対象者は、友人とのつながりが1人しかいない対象者よりも、間接的に治療に曝される可能性が高くなります。波及効果の曝露確率のばらつきを考慮しないと、平均的な波及効果の推定値に偏りが生じる可能性があります。

図 1 は、ユニットがスピルオーバー状態に割り当てられる確率が異なる例を示しています。サブ図 A は、緑色のユニットが治療を受ける資格がある 25 個のノードからなるネットワークを示しています。スピルオーバーは、治療を受けたユニットと少なくとも 1 つのエッジを共有しているものとして定義されます。たとえば、ノード 16 が治療を受けた場合、ノード 11、17、および 21 はスピルオーバー ユニットとして分類されます。これらの 6 つの緑色のユニットのうち 3 つがランダムに選択されて治療を受けると仮定すると、${\displaystyle {\binom {6}{3}}=20}$治療割り当てにはさまざまな組み合わせが考えられます。この場合、図Bは各ノードがスピルオーバー条件に割り当てられる確率を示しています。ノード3は、治療を受ける3つのユニットとエッジを共有しているため、ランダム化の95%でスピルオーバーに割り当てられます。このノードがコントロールノードになるのは、ランダム化の5%のみです。つまり、治療を受ける3つのノードが14、16、18の場合です。一方、ノード15は50%の確率でスピルオーバーに割り当てられます。ノード14が直接治療を受けない場合、ノード15はスピルオーバーに割り当てられません。