ホルヴィッツ・トムソン推定量

統計学において、ダニエル・G・ホルヴィッツとドノバン・J・トンプソンにちなんで名付けられたホルヴィッツ・トンプソン推定量^[1]は、収集されたデータと対象母集団の標本分布の差を考慮するために逆確率重み付けを適用することにより、層別標本内の疑似母集団の合計^[2]と平均を推定する方法です。ホルヴィッツ・トンプソン推定量は調査分析で頻繁に適用され、欠損データや不均等な選択確率の多くの原因を考慮するために使用できます。

正式には、N ≥ n 個の異なる層 からn 個の独立したサンプルを抽出し、平均μが共通であるとする。さらに、超集団からランダムに抽出された個体がi番目の層に属する包含確率をとする。全体の Horvitz–Thompson 推定値は次のように与えられる: ^{[3] : 51}${\displaystyle Y_{i},i=1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle \pi_{i}}$

${\displaystyle {\hat {Y}}_{HT}=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}^{-1}Y_{i},}$

平均のHorvitz-Thompson推定値は次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{HT}=N^{-1}{\hat {Y}}_{HT}=N^{-1}\sum _{i=1}^{ n}\pi _{i}^{-1}Y_{i}.}$

ベイズ確率論的枠組みでは、 i番目の層に属する対象集団の個人の割合が考慮される。したがって、i番目の層内の完全なサンプルの推定値と考えることができる。Horvitz-Thompson 推定量は、平均値の加重ブートストラップ再サンプリング推定の限界として表現することもできる。また、多重代入アプローチの特殊なケースとして見ることもできる。^[4]${\displaystyle \pi_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}^{-1}Y_{i}}$

後層別化研究設計では、との推定は別々のステップで行われます。このような場合、 の分散を計算するのは簡単ではありません。ブートストラップやジャックナイフなどの再サンプリング手法を適用して、Horvitz-Thompson 推定量の分散の一貫した推定値を得ることができます。^[5] Rの「survey」パッケージは、Horvitz-Thompson 推定量を使用して後層別化データの分析を行います。^[6]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\hat {\mu}}_{HT}}$

Horvitz–Thompson 推定量は、次のように Horvitz–Thompson 推定量の期待値を評価するときに、偏りがないことが示されます。${\displaystyle \operatorname {E} {\bar {X}}_{n}^{HT}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} {\bar {X}}_{n}^{HT}=\operatorname {E} {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {X} _{I_{i}}}{\pi _{I_{i}}}}\\[6pt]={}&\operatorname {E} {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}}\\[6pt]={}&\sum _{b=1}^{B}P(D_{n}^{(b)})\left[{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}^{(b)}}\right]\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\sum _{b=1}^{B}1_{i\in D_{n}^{(b)}}P(D_{n}^{(b)})\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\right)\pi _{i}\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\\[6pt]&{\text{ここで}}D_{n}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\end{aligned}}}$

ハンセン・ハーウィッツ（1943）戦略は、サイズに比例した包含確率（IPPS）サンプリング手順を伴うホルヴィッツ・トンプソン（1952）戦略よりも劣ることが知られています。^[7]

• R の調査パッケージ Web サイト