スペクトル不変量

シンプレクティック幾何学において、スペクトル不変量は、フレアー理論とホーファー幾何学に閉じた関係にあるシンプレクティック多様体のハミルトン微分同相写像の群に対して定義される不変量です。

( M , ω ) がシンプレクティック多様体である場合、M上の滑らかなベクトル場Yは、縮約ω ( Y , ·) が正確な 1 形式 (つまり、ハミルトン関数Hの微分) であれば、ハミルトンベクトル場です。シンプレクティック多様体 ( M , ω )のハミルトン微分同相写像は、ハミルトンベクトル場Y _tの滑らかな経路の積分であるMの微分同相写像 Φ です。ウラジミール・アーノルドは、コンパクトなシンプレクティック多様体 ( M , ω )の一般的なハミルトン微分同相写像の不動点の数は、モース不等式に類似したMの何らかの位相定数によって下から制限されるはずだと予想しました。このいわゆるアーノルド予想は、 1980 年代に アンドレアス・フローアーによるハミルトン・フローアーホモロジーの発明のきっかけとなりました。

フローアーの定義は、モース理論におけるウィッテンの観点から採用された。彼は、Mの収縮可能なループの空間を考慮し、ハミルトン関数の族に関連付けられた作用関数A _Hを定義し、ハミルトン微分同相写像の不動点が作用関数の臨界点に対応するようにした。フローアーは、モース理論におけるモース・スメール・ウィッテン複合体に類似した鎖複合体を構築して、ホモロジー群を定義することに成功し、それが多様体 Mの通常のホモロジー群と同型であることも示した。

フロイヤーホモロジー群HF( M )と通常のホモロジー群H ( M )の間の同型性は標準的である。したがって、任意の「良い」ハミルトンパスH _tに対して、 Mのホモロジー類αはフロイヤー連鎖複体のサイクル、つまり形式的には線形結合で表すことができる。

${\displaystyle \alpha _{H}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots }$

ここで、a _{i は}ある環の係数であり、x _{i は}対応するハミルトン微分同相写像の不動点である。正式には、スペクトル不変量は最小最大値によって定義される。

${\displaystyle c_{H}(\alpha )=\min \max\{A_{H}(x_{i})\ :\ a_{i}\neq 0\}.}$

_{ここで、最大値はα H}の線形結合に現れる不動点上の作用関数A _Hのすべての値に対して取られ、最小値はクラスαを表すすべてのフロイヤーサイクルに対して取られます。