Conglomerate (mathematics)

In mathematics, in the framework of a one-universe foundation for category theory,^[1]^[2] the term conglomerate is applied to arbitrary sets as a contraposition to the distinguished sets that are elements of a Grothendieck universe.^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Definition

The most popular axiomatic set theories, Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG), and Morse–Kelley set theory (MK), admit non-conservative extensions that arise after adding a supplementary axiom of existence of a Grothendieck universe $U$ . An example of such an extension is the Tarski–Grothendieck set theory, where an infinite hierarchy of Grothendieck universes is postulated.

The concept of conglomerate was created to deal with "collections" of classes, which is desirable in category theory so that each class can be considered as an element of a "more general collection", a conglomerate. Technically this is organized by changes in terminology: when a Grothendieck universe $U$ is added to the chosen axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) it is considered convenient^[9]^[10]

to apply the term "set" only to elements of $U$ ,
to apply the term "class" only to subsets of $U$ ,
to apply the term "conglomerate" to all sets (not necessary elements or subsets of $U$ ).

As a result, in this terminology, each set is a class, and each class is a conglomerate.

Corollaries

Formally this construction describes a model of the initial axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) in the extension of this theory ("ZFC/NBG/MK+Grothendieck universe") with $U$ as the universe.^[1]^:195^[2]^:23

If the initial axiomatic set theory admits the idea of a proper class (i.e. an object that can't be an element of any other object, like the class $セット$ NBG および MK のすべての集合の）の場合、これらのオブジェクト（真クラス）は新しい理論（「NBG/MK+グロタンディーク宇宙」）の考察から除外されます。しかし、（存在の追加公理によって引き起こされる可能性のある問題を除けば） $U$ これはある意味では、古い理論（NBGまたはMK）の対象に関する情報の損失にはつながりません。なぜなら、新しい理論（「NBG/MK+Grothendieck宇宙」）におけるモデルとしての表現は、NBG/MKでクラスと呼ばれる通常の対象（真クラスを含む）について証明できることは、「NBG/MK+Grothendieck宇宙」でもそのクラス（つまり部分集合）について証明できることを意味するからです。 $U$ 要素ではない部分集合を含む $U$ （NBG/MK の適切なクラスの類似物である）。同時に、クラスに関するいくつかの追加命題は「NBG/MK+Grothendieck ユニバース」では証明できるが NBG/MK では証明できないため、新しい理論は最初の理論と等価ではない。

用語

用語の変更は「コングロマリット慣習」と呼ばれることもある。^{[ 7 ]}^{: 6} Mac Lane ^{[ 1 ]} : ¹⁹⁵^[²^]^:²³ による最初のステップは、「クラス」という用語をサブセットにのみ適用することである^。 $U.$ マック・レーンは既存の集合論用語を再定義するのではなく、クラスのない集合論（NBG/MKではなくZFC）で作業し、メンバーを $U$ 彼は「小さな集合」について述べ、小さな集合とクラスがNBGの公理を満たすと述べている。集合は必ずしも小さくなくてもよいので、「集合体」は必要ない。

「コングロマリット」という用語は、1970年代と1980年代のMathematical Reviews ^{[ 11 ]}のレビューに定義、説明、参照なしに潜んでおり、論文にも時々登場する^{[ 12 ] 。}

コングロマリット規約が有効である限り、曖昧さを避けるために、この規約のみを使用しなければなりません。つまり、コングロマリットは、ZFCの通常のやり方で「集合」と呼ばれてはなりません。^{[ 7 ]}^{： 6}

参考文献

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↑レビュー48#5965、56 # 3798、82f : 18003、83d : 18010、84c : 54045、87m : 18001
↑レビュー済み: 89e:18002、96g : 18002

[ML1969-1] 1 2 3 Mac Lane, Saunders (1969). 「一つの宇宙を圏論の基礎とする」.中西部圏論セミナーIII報告. 数学講義ノート、第106巻. 第106巻. Springer、ベルリン、ハイデルベルク. pp. 192–200 . doi : 10.1007/BFb0059147 . ISBN 978-3-540-04625-7。

[ML1998-2] 1 2 3 Mac Lane、Saunders (1998)。『働く数学者のためのカテゴリー』。大学院数学テキスト。第5巻（第2版）。Springer 、ニューヨーク、 NY。ISBN 978-0-387-90036-0。

[joyofcats1-3] アダメク、ジリ。Herrlich, ホルスト;ジョージ・ストレッカー (1990)。抽象的および具体的なカテゴリ: 猫の喜び(PDF)。ドーバー出版。13、15、16、259ページ。ISBN 978-0-486-46934-8。

[HS-4] ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ・ストレッカー (2007)。「セット、クラス、コングロマリット」(PDF)。圏論(第 3版)。ヘルダーマン・フェルラーク。9～ 12ページ。

[Osbome-5] オズボーン、M.スコット（2012年12月6日）。『基礎ホモロジー代数学』。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。151 ～ 153ページ。ISBN 9781461212782。

[Preuß-6] Preuß, Gerhard (2012-12-06). Theory of Topological Structures: An Approach to Categorical Topology . Springer Science & Business Media. p. 3. ISBN 9789400928596。

[Murfet-7] 1 2 3 Murfet, Daniel (2006 年 10 月 5 日). 「圏論の基礎」(PDF) .

[Zhang-8] 張金文 (1991). 「公理系 ACG と QM および ZF# の一貫性の証明」 .中国計算機科学進歩. 第3 巻. pp. 153–171 . doi : 10.1142/9789812812407_0009 . ISBN 978-981-02-0152-4。

[HS2-9] ヘルリッヒ、ホルスト;ジョージ・ストレッカー (2007)。「付録. 基礎」(PDF)。圏論(第 3版)。ヘルダーマン・フェルラーク。328–3300ページ。

[CT-10] ネル、ルイス (2016年6月3日)。連続性理論。シュプリンガー。31ページ。ISBN 9783319311593。

[11] レビュー48#5965、56 # 3798、82f : 18003、83d : 18010、84c : 54045、87m : 18001

[12] レビュー済み: 89e:18002、96g : 18002

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