セミセット

集合論において、半集合とは、集合のサブクラスである真クラスのことである。ツェルメロ＝フレンケル集合論の典型的な基礎においては、仕様の公理図式のため、半集合は存在し得ない。

半集合の理論は、チェコの数学者ペトル・ヴォペンカとペトル・ハジェクによって1972年に提唱・発展されました。これはフォン・ノイマン・ベルナイズ・ゲーデル集合論の修正に基づいています。標準的なNBGでは、分離公理によって半集合の存在は否定されます。

半集合の概念は、代替集合論の定式化への道を開く。特に、ヴォペンカの代替集合論（1979年）は、いくつかの追加原理を補足した上で、半集合の概念を公理化している。

半集合は、境界が不明確な集合を表現するために使用できます。ノヴァク（1984）は、半集合をファジィ集合で近似することを研究しました。ファジィ集合は、不確実性のモデリングの実用的な応用により適している場合が多いです。

ヴォペンカの「代替集合論」は、半集合論のいくつかのアイデアに基づいているが、より根本的な変更も導入している。例えば、すべての集合は「形式的に」有限であり、これはASTの集合が集合式に関する数学的帰納法則を満たすことを意味する（より正確には、集合のみに関連する公理からなるASTの部分は、無限公理がその否定に置き換えられたツェルメロ・フレンケル（またはZF）集合論と同等である）。しかし、これらの集合の中には集合ではない部分クラスを含むものがあり、それがカントール（ZF）有限集合と異なり、ASTでは無限集合と呼ばれる。

集合については、以下の公理が成り立つ。

• 外延性― 同じ要素を持つ集合は同じである。
• 空集合： ∅が存在する。
• 後継者:任意のセットの場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、${\displaystyle x\cup \{y\}}$存在する。
• 帰納法：すべての公式${\displaystyle \phi }$集合の言語のみで表現され（すべてのパラメータは集合であり、すべての量化子は集合に限定される）、∅ に対して真であり、${\displaystyle x\cup \{y\}}$もしそれが真実ならば${\displaystyle x}$これは全ての集合に当てはまる。
• 規則性：すべての集合には、その集合と互いに素な要素が必ず存在する。

以下の公理は、すべてのクラスに当てはまります。

• クラスの存在:${\displaystyle \phi (x)}$が任意の式である場合、クラス${\displaystyle \phi (x)}$すべての集合 x のうち、${\displaystyle \phi (x)}$存在する。（集合${\displaystyle x}$は、${\displaystyle x}$.) クラトフスキーの集合のペアは集合であるため、通常どおり集合の宇宙上で（クラス）関係と関数を定義できることに注意してください。
• クラスに対する外延性：同じ要素を持つクラスは等しい。
• 真半集合の公理：真半集合が存在する。
• 拡張公理：可算関数Fはすべて集合関数に拡張できる。
• 外延的符号化の公理：符号化可能なクラスの集合はすべて外延的に符号化可能である。ヴォペンカは、集合上の関係を用いてクラスのスーパークラスの表現を考察する。クラスA上のクラス関係Rは、RによるAの要素の逆像のスーパークラスを符号化すると言われる。クラスA上のクラス関係Rは、Aの異なる要素が異なる逆像を持つ場合、このスーパークラスを外延的に符号化すると言われる。
• 基数公理： 2つのクラスが非可算である場合、それらのクラスは同じ大きさである。

• Vopěnka, P. および Hájek, P.半集合の理論。アムステルダム: 北オランダ、1972 年。
• Vopěnka, P.代替集合論における数学。Teubner、ライプツィヒ、1979年。
• Holmes, MR 「代替公理的集合論」§9.2「ヴォペンカの代替集合論」EN Zalta編「スタンフォード哲学百科事典（2014年秋版）」
• Novák, V.「ファジィ集合―半集合の近似」ファジィ集合とシステム14（1984）：259–272。
• 第1回シンポジウム「代替集合論における数学」議事録。JSMF、ブラチスラバ、1989年。