可逆結び目

数学、特に結び目理論として知られる位相幾何学の分野では、可逆結び目とは、向きが反転した状態で連続的に変形できる結び目を指します。非可逆結び目とは、この特性を持たない結び目を指します。結び目の可逆性は、結び目の不変量です。可逆リンクは、可逆結び目のリンクと同等です。

結び目の対称性には、キラリティーと可逆性によって示される5つのタイプしかありません。完全キラリティー、可逆性、正の両キラリティー非可逆性、負の両キラリティー非可逆性、完全の両キラリティー可逆性です。^[1]

背景

三つ葉結び目や8の字結び目など、単純な結び目のほとんどが可逆であることは昔から知られていました。1962年にラルフ・フォックスはいくつかの結び目が不可逆であると推測しましたが、1963年にヘイル・トロッターが可逆でないプレッツェル結び目の無限の族を発見するまで、不可逆な結び目が存在することは証明されませんでした。 ^{[2]現在では、}ほとんどすべての結び目が不可逆であることがわかっています。^[3]

可逆結び目

交差数が7以下のすべての結び目は可逆であることが知られています。与えられた結び目が可逆かどうかを区別できる一般的な方法は知られていません。 ^[4]この問題は代数的な用語に翻訳できますが、^[5]残念ながらこの代数問題を解くアルゴリズムは知られていません。

結び目が可逆かつ両キラルである場合、それは完全に両キラルである。この性質を持つ最も単純な結び目は8の字結び目である。可逆なキラル結び目は可逆結び目として分類される。^[6]

強く可逆な結び目

可逆結び目を定義するより抽象的な方法は、3次元球面の向きを保存する同相写像があり、これは結び目をそれ自身に引き寄せるが、結び目に沿って向きを反転させる、というものである。同相写像が反転でもある、つまり3次元球面の同相写像群で周期2を持つというより強い条件を課すことで、強く可逆な結び目の定義に到達する。三つ葉結び目や8の字結び目など、トンネル番号が1であるすべての結び目は強く可逆である。^[7]

非可逆結び目

非可逆結び目の最も単純な例は、結び目 8 ₁₇ (アレクサンダー・ブリッグス表記法) または .2.2 (コンウェイ表記法) である。プレッツェル結び目7, 5, 3 は非可逆であり、 (2 p + 1)、(2 q + 1)、(2 r + 1)の形式のすべてのプレッツェル結び目も同様である。ここでp、q、r は異なる整数であり、これはトロッターによって非可逆であることが証明された無限族である。^[2]

参照

カイラルノット

参考文献

^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998)、「最初の 1,701,936 ノット」(PDF)、The Mathematical Intelligencer、20 (4): 33–48、doi :10.1007/BF03025227、MR 1646740、S2CID 18027155、2013-12-15のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ ab Trotter, HF (1963)、「非可逆結び目が存在する」、トポロジー、2 (4): 275–280、doi : 10.1016/0040-9383(63)90011-9、MR 0158395。
^ 村杉邦夫 (2007)、結び目理論とその応用、Springer、p. 45、ISBN 9780817647186。
^ Weisstein, Eric W.「可逆結び目」。MathWorld。アクセス日: 2013 年 5 月 5 日。
^ Kuperberg, Greg (1996)、「結び目の可逆性の検出」、Journal of Knot Theory and Its Ramifications、5 (2): 173–181、arXiv : q-alg/9712048、doi :10.1142/S021821659600014X、MR 1395778、S2CID 15295630。
^ Clark, W. Edwin; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico; Yeatman, Timothy (2013)、「結び目のクワンドル着色とその応用」、Journal of Knot Theory and Its Ramifications、23 (6)、arXiv : 1312.3307、Bibcode :2013arXiv1312.3307C、doi :10.1142/S0218216514500357、PMC 4610146、PMID 26491208 。
^ 森本寛治 (1995)、「連結和の下でトンネル数が減少する結び目がある」、アメリカ数学会紀要、123 (11): 3527–3532、doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4、JSTOR 2161103、MR 1317043特に補題5を参照。

外部リンク

Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. 基本的なグラフ理論: 非可逆な結び目とリンク Archived 2011-01-18 at the Wayback Machine , LinKnot。
ビデオによる説明、Nrich.Maths.org。

[htw-1] Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998)、「最初の 1,701,936 ノット」(PDF)、The Mathematical Intelligencer、20 (4): 33–48、doi :10.1007/BF03025227、MR 1646740、S2CID 18027155、2013-12-15のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[trotter-2] Trotter, HF (1963)、「非可逆結び目が存在する」、トポロジー、2 (4): 275–280、doi : 10.1016/0040-9383(63)90011-9、MR 0158395。

[3] 村杉邦夫 (2007)、結び目理論とその応用、Springer、p. 45、ISBN 9780817647186。

[mathworld-4] Weisstein, Eric W.「可逆結び目」。MathWorld。アクセス日: 2013 年 5 月 5 日。

[5] Kuperberg, Greg (1996)、「結び目の可逆性の検出」、Journal of Knot Theory and Its Ramifications、5 (2): 173–181、arXiv : q-alg/9712048、doi :10.1142/S021821659600014X、MR 1395778、S2CID 15295630。

[6] Clark, W. Edwin; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico; Yeatman, Timothy (2013)、「結び目のクワンドル着色とその応用」、Journal of Knot Theory and Its Ramifications、23 (6)、arXiv : 1312.3307、Bibcode :2013arXiv1312.3307C、doi :10.1142/S0218216514500357、PMC 4610146、PMID 26491208 。

[7] 森本寛治 (1995)、「連結和の下でトンネル数が減少する結び目がある」、アメリカ数学会紀要、123 (11): 3527–3532、doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4、JSTOR 2161103、MR 1317043特に補題5を参照。