ニュートンポテンシャル

数学において、ニュートンポテンシャル（またはニュートンポテンシャル）は、ベクトル解析における演算子であり、滑らかで無限遠で十分に急速に減衰する関数に対して負のラプラシアンの逆演算子として作用する。そのため、ポテンシャル理論における基本的な研究対象となっている。一般的に、ニュートンポテンシャルは、原点に数学的な特異点を持つ関数（ニュートン核）との畳み込みによって定義される特異積分演算子である。${\displaystyle \Gamma }$これはラプラス方程式の基本解です。最初にこれを発見し、3変数の特殊な場合において調和関数であることを証明したアイザック・ニュートンにちなんで名付けられました。この場合、これはニュートンの万有引力の法則における基本重力ポテンシャルとして機能します。現代のポテンシャル理論では、ニュートンポテンシャルは静電ポテンシャルとして考えられています。

コンパクト台を持つ積分可能関数のニュートンポテンシャル${\displaystyle f}$畳み込みとして定義される

$${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)f(y)\,dy}$$

ニュートン核が${\displaystyle \Gamma }$寸法${\displaystyle d}$定義される

$${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}}$$

ここ$\displaystyle \omega _{d}}$は単位d球の体積です(符号の慣例は異なる場合があります。( Evans 1998 )および( Gilbarg & Trudinger 1983 )を参照してください)。たとえば、${\displaystyle d=3}$我々は持っています${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|)}$。

ニュートンポテンシャル${\displaystyle w}$の${\displaystyle f}$はポアソン方程式の解である

$${\displaystyle \Delta w=f,}$$

つまり、関数のニュートンポテンシャルを取る操作は、ラプラス演算子の部分的な逆演算である。${\displaystyle w}$2回微分可能な古典的な解となるのは、${\displaystyle f}$オットー・ヘルダーが示したように、有界かつ局所的にヘルダー連続である。連続性だけで十分かどうかは未解決の問題であった。ヘンリック・ペトリーニは、連続な例を挙げて、これが誤りであることを示した。${\displaystyle f}$そのために${\displaystyle w}$は2回微分可能ではない。 は、任意の調和関数を に加えると一意にならない。${\displaystyle w}$方程式には影響しません。この事実は、適切な正則領域および適切な性質を持つ関数におけるポアソン方程式のディリクレ問題の解の存在と一意性を証明するために使用できます。${\displaystyle f}$まずニュートンポテンシャルを適用して解を求め、次に調和関数を追加して調整することで正しい境界データを得る。

ニュートンポテンシャルは、より広義には畳み込みとして定義される。

$${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (xy)\,d\mu (y)}$$

いつ${\displaystyle \mu }$これはコンパクトな台を持つラドン測度である。これはポアソン方程式を満たす。

$${\displaystyle \Delta w=\mu }$$

分布の意味において。さらに、測度が正の場合、ニュートンポテンシャルは劣調和である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$。

もし${\displaystyle f}$は回転不変なコンパクト台を持つ連続関数（またはより一般的には有限測度）であり、 の畳み込みは${\displaystyle f}$と${\displaystyle \Gamma }$満足する${\displaystyle x}$の支援の外で${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$$

寸法${\displaystyle d=3}$これは、より大きな球対称な質量分布の外側にある小さな質量の位置エネルギーは、より大きな物体のすべての質量がその中心に集中している場合と同じであるというニュートンの定理に帰着する。

測定が${\displaystyle \mu }$十分に滑らかな超曲面上の質量分布に関連付けられている${\displaystyle S}$（ヘルダークラスのリアプノフ曲面）${\displaystyle C^{1,\alpha }}$) 分割する$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$2つの地域に${\displaystyle D_{+}}$そして${\displaystyle D_{-}}$すると、ニュートンポテンシャルは${\displaystyle \mu }$これは単純層電位と呼ばれます。単純層電位は連続であり、ラプラス方程式を満たしますが、例外があります。${\displaystyle S}$これらは、閉曲面上の電荷分布に関連する静電ポテンシャルの文脈において、静電気学の研究において自然に現れる。${\displaystyle \mathrm {d} \mu =f\mathrm {d} H}$連続関数の積${\displaystyle S}$と共に${\displaystyle (d-1)}$次元ハウスドルフ測度、そして点において${\displaystyle y}$の${\displaystyle S}$通常の導関数はジャンプ不連続を起こす。${\displaystyle f(y)}$層を横切るとき。さらに、法線微分は${\displaystyle w}$は、上の明確に定義された連続関数である。${\displaystyle S}$このため、単純な層構造は、ラプラス方程式のノイマン問題の研究に特に適している。

• 二重層電位
• グリーン関数
• リースの可能性
• 3変数ラプラス方程式に対するグリーン関数

• エヴァンス、LC（1998）偏微分方程式、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0772-2。
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7。
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ニュートンポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「単純層ポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「表面ポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press