粒子フィルター

粒子フィルタ、または逐次モンテカルロ法は、信号処理やベイズ統計的推論などの非線形状態空間システムのフィルタリング問題の近似解を見つけるために使用されるモンテカルロアルゴリズムのセットです。^[1]フィルタリング問題は、部分的な観測が行われ、センサーと動的システムの両方にランダムな摂動が存在する場合に、動的システムの内部状態を推定することです。目的は、ノイズの多い部分的な観測を与えられた場合に、マルコフ過程の状態の事後分布を計算することです。「粒子フィルタ」という用語は、1960年代初頭から流体力学で使用されている平均場相互作用粒子法について、1996年にピエールデルモラルによって最初に造られました。 ^[2]「逐次モンテカルロ」という用語は、1998年にジュンS.リウとロンチェンによって造られました。^[3]

粒子フィルタリングは、粒子のセット（サンプルとも呼ばれる）を使用して、ノイズや部分的な観測が与えられた場合の確率過程の事後分布を表します。状態空間モデルは非線形にすることができ、初期状態とノイズ分布は必要な任意の形式を取ることができます。粒子フィルタ技術は、状態空間モデルや状態分布に関する仮定を必要とせずに、必要な分布からサンプルを生成するための確立された方法論^{[2] [4] [5]}を提供します。ただし、これらの方法は非常に高次元のシステムに適用するとうまく機能しません。

粒子フィルタは、近似的（統計的）な方法で予測を更新します。分布からのサンプルは粒子の集合で表されます。各粒子には、確率密度関数からその粒子がサンプリングされる確率を表す尤度重みが割り当てられています。重みの不均衡による重みの崩壊は、これらのフィルタリング アルゴリズムでよく発生する問題です。ただし、重みが不均一になる前に再サンプリング ステップを含めることで、この問題を軽減できます。重みの分散や一様分布に関する相対エントロピーなど、いくつかの適応型再サンプリング基準を使用できます。^[6]再サンプリング ステップでは、無視できる重みを持つ粒子が、重みの高い粒子の近くにある新しい粒子に置き換えられます。

統計的および確率論的な観点からは、粒子フィルタは、ファインマン-カック確率測度の平均場粒子解釈として解釈できる。 ^{[7] [8] [9] [10] [11]}これらの粒子積分技術は、分子化学および計算物理学において、 1951 年にセオドア E. ハリスとハーマン カーン、1955年にマーシャルN. ローゼンブルースとアリアナ W. ローゼンブルース、^[12]さらに最近では 1984 年にジャック H. ヘザリントンによって開発されました^{。 [13]}計算物理学では、これらのファインマン-カック型パス粒子積分法は、量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法でも使用されています。^{[14] [15] [16]ファインマン-カック相互作用粒子法は、複雑な最適化問題を解決するために現在}進化計算で使用されている突然変異選択遺伝的アルゴリズムにも深く関連しています。

パーティクルフィルタ法は、隠れマルコフモデル（HMM）および非線形フィルタリング問題を解決するために使用されます。線形ガウス信号観測モデル（カルマンフィルタ）またはより広いクラスのモデル（ベネスフィルタ^[17]）の顕著な例外を除いて、ミレイユ・シャレイアット・モーレルとドミニク・ミシェルは1984年に、観測（別名最適フィルタ）が与えられた場合の信号のランダム状態の事後分布のシーケンスには有限再帰がないことを証明しました。^[18]固定グリッド近似、マルコフ連鎖モンテカルロ法、従来の線形化、拡張カルマンフィルタ、または（予想されるコスト誤差の意味で）最良の線形システムを決定することに基づくその他のさまざまな数値手法は、大規模システム、不安定なプロセス、または十分に滑らかでない非線形性に対処できません。

粒子フィルタとファインマン-カック粒子法は、信号処理と画像処理、ベイズ推論、機械学習、リスク分析と稀なイベントのサンプリング、工学 とロボット工学、人工知能、バイオインフォマティクス、^[19] 系統学、計算科学、経済学 と 数理ファイナンス、分子化学、計算物理学、薬物動態学、定量的リスクと保険^{[20] [21]}などの分野に 応用されています。

統計的および確率的観点から、粒子フィルタは分岐/遺伝的タイプのアルゴリズム、および平均場タイプの相互作用粒子方法論のクラスに属します。これらの粒子法の解釈は、科学分野によって異なります。進化コンピューティングでは、平均場遺伝的タイプの粒子方法論は、ヒューリスティックおよび自然探索アルゴリズム（別名メタヒューリスティック）としてよく使用されます。計算物理学および分子化学では、ファインマン-カック経路積分問題を解いたり、ボルツマン-ギブス測度、トップ固有値、シュレーディンガー演算子の基底状態を計算したりするために使用されます。生物学および遺伝学では、ある環境における個体または遺伝子の集団の進化を表します。

平均場型進化計算手法の起源は、1950年と1954年のアラン・チューリングの遺伝型突然変異選択学習機械に関する研究^[22]と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所のニルス・オール・バリチェリの論文[ ^23]に遡ります。^[24]統計手法における粒子フィルタの最初の痕跡は、1950年代半ばに遡ります。1954年にハマーズリーらが提案した「貧者のモンテカルロ法」 ^{[25]には、今日使用されている遺伝型粒子フィルタリング法のヒントが含まれていました。 1963年、}ニルス・オール・バリチェリは、個体が単純なゲームをプレイする能力を模倣する遺伝型アルゴリズムをシミュレートしました。^[26]進化計算の文献では、遺伝的突然変異選択アルゴリズムは、1970年代初頭のジョン・ホランドの独創的な研究、特に1975年に出版された著書^[27]を通じて人気を博しました。

1957年、オーストラリアの遺伝学者アレックス・フレイザーも生物学と遺伝学の分野で、生物の人為選択の遺伝子型シミュレーションに関する一連の論文を発表しました。 ^[28]生物学者による進化のコンピュータシミュレーションは1960年代初頭に一般的になり、その方法はフレイザーとバーネル（1970年）^{[29]とクロスビー（1973年） [30]}の書籍で説明されました。フレイザーのシミュレーションには、現代の突然変異選択遺伝粒子アルゴリズムの重要な要素がすべて含まれていました。

数学的な観点からは、部分的かつノイズの多い観測が与えられた場合の信号のランダム状態の条件付き分布は、一連の尤度ポテンシャル関数によって重み付けされた信号のランダム軌道上のファインマン-カック確率によって記述されます。^{[7] [8]} 量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法は、ファインマン-カック経路積分の平均場遺伝型粒子近似として解釈することもできます。^{[7] [8] [9] [13] [14] [31] [32]}量子モンテカルロ法の起源は、1948年に中性子連鎖反応の平均場粒子解釈を開発したエンリコ・フェルミとロバート・リヒトマイヤーに帰せられることが多いが、^[33]量子システムの基底状態エネルギーを推定する（縮小行列モデルにおける）最初のヒューリスティックな遺伝的粒子アルゴリズム（別名、再サンプルモンテカルロ法または再構成モンテカルロ法）は、1984年のジャック・H・ヘザリントンによるものである。^{[13]また、1951年に発表された、粒子物理学における}セオドア・E・ハリスとハーマン・カーンの初期の独創的な研究を引用することもできる。この研究では、平均場だがヒューリスティックな遺伝的方法を使用して粒子透過エネルギーを推定している。^[34]分子化学において、遺伝的ヒューリスティックのような粒子手法（別名、剪定と濃縮戦略）の使用は、1955年のマーシャル・N・ローゼンブルースとアリアナ・W・ローゼンブルースの先駆的な研究にまで遡ることができます。^[12]

遺伝的粒子アルゴリズムが高度な信号処理やベイズ推論に利用されるようになったのは最近のことである。1993 年 1 月、北川源四郎は「モンテカルロ フィルタ」を開発し、^[35]この論文の若干の修正版が 1996 年に発表された。^[36] 1993 年 4 月、Gordon らは、その独創的な論文^[37]で、ベイズ統計推論における遺伝的型アルゴリズムの応用を発表した。著者らは、このアルゴリズムを「ブートストラップ フィルタ」と名付け、他のフィルタリング方法と比較して、ブートストラップ アルゴリズムでは状態空間やシステムのノイズに関する仮定を必要としないことを示した。これとは独立して、Pierre Del Moral ^[2]と、Himilcon Carvalho、Pierre Del Moral、André Monin、Gérard Salut ^[38]による粒子フィルタに関する論文が 1990 年代半ばに発表された。粒子フィルタは、1989年から1992年初頭にLAAS-CNRSのP. Del Moral、JC Noyer、G. Rigal、G. Salutによって信号処理でも開発されました。STCAN（Service Technique des Constructions et Armes Navales）、IT企業DIGILOG、LAAS-CNRS（システム分析およびアーキテクチャ研究所）との共同研究で、RADAR/SONARおよびGPS信号処理の問題に関する一連の限定的かつ機密扱いの研究報告書が発表されました。^{[39] [40] [41] [42] [43] [44]}

1950 年から 1996 年にかけて、計算物理学と分子化学で導入された剪定と再サンプルのモンテカルロ法を含む粒子フィルタと遺伝的アルゴリズムに関するすべての出版物では、さまざまな状況に適用された自然でヒューリスティックなアルゴリズムが提示されていますが、その一貫性の証明は 1 つもなく、推定値の偏りや系図および祖先ツリーベースのアルゴリズムに関する議論もありません。

これらの粒子アルゴリズムの数学的基礎と最初の厳密な分析は、1996年にピエール・デル・モラル^{[2] [4]}によって行われました。論文^[2]には、尤度関数の粒子近似と非正規化条件付き確率測度の不偏特性の証明も含まれています。この記事で紹介されている尤度関数の不偏粒子推定量は、現在ベイズ統計的推論で使用されています。

Dan Crisan、Jessica Gaines、およびTerry Lyons ^{[45] [46] [47]、}ならびにPierre Del Moral、およびTerry Lyons ^[48]は、1990年代の終わり頃に、様々な集団サイズを持つ分岐型粒子技術を考案しました。P. Del Moral、A. Guionnet、およびL. Miclo ^{[8] [49] [50]} は、2000年にこの主題でさらなる進歩を遂げました。Pierre Del MoralとAlice Guionnet ^[51]は1999年に最初の中心極限定理を証明し、Pierre Del MoralとLaurent Miclo ^[8]は2000年にそれを証明しました。粒子フィルタの時間パラメータに関する最初の一様収束結果は、1990年代の終わりにPierre Del MoralとAlice Guionnetによって開発されました。^{[49] [50]}系図ツリー型粒子フィルタスムーザーの最初の厳密な分析は、2001年にP.デルモラルとL.ミクロによって行われた^[52]。

ファインマン-カック粒子方法論と関連する粒子フィルタアルゴリズムの理論は、2000年と2004年に書籍で展開されました。^{[8] [5]}これらの抽象的な確率モデルには、遺伝型アルゴリズム、粒子およびブートストラップフィルタ、相互作用カルマンフィルタ（別名ラオ-ブラックウェル化粒子フィルタ^[53]）、重要度サンプリングおよび再サンプリングスタイルの粒子フィルタ技術（フィルタリングおよびスムージング問題を解決するための系図ツリーベースおよび粒子後方方法論を含む）がカプセル化されています。その他の粒子フィルタリング手法としては、系図ツリーベースモデル、^{[10] [5] [54]}後方マルコフ粒子モデル、^{[10] [55]}適応平均場粒子モデル、^[6]島型粒子モデル、^{[56] [57]}粒子マルコフ連鎖モンテカルロ手法、^{[58] [59]}シーケンシャルモンテカルロサンプラー^{[60] [61] [62]}およびシーケンシャルモンテカルロ近似ベイズ計算法^{[63]およびシーケンシャルモンテカルロ ABC ベースベイズブートストラップ[64] など}があります。

粒子フィルタの目的は、観測変数が与えられた場合に状態変数の事後密度を推定することです。粒子フィルタは、隠れマルコフモデルで使用することを目的としています。隠れマルコフモデルでは、システムに隠れ変数と観測可能変数の両方が含まれます。観測可能変数 (観測プロセス) は、既知の関数形式を介して隠れ変数 (状態プロセス) にリンクされています。同様に、状態変数の進化を定義する動的システムの確率的記述も既知です。

一般的な粒子フィルタは、観測測定プロセスを使用して隠れ状態の事後分布を推定します。以下のような状態空間に関して:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}X_{0}&\to &X_{1}&\to &X_{2}&\to &X_{3}&\to &\cdots &{\text{信号}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &\\Y_{0}&&Y_{1}&&Y_{2}&&Y_{3}&&\cdots &{\text{観測}}\end{array}}}$

フィルタリング問題は、任意の時間ステップkにおける観測プロセスの値が与えられた場合に、隠れ状態の値を順次推定することです。 ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Y_{0},\cdots ,Y_{k},}$

のすべてのベイズ推定は事後密度から得られます。粒子フィルタ法は、遺伝的タイプの粒子アルゴリズムに関連付けられた経験的尺度を使用して、これらの条件付き確率の近似値を提供します。対照的に、マルコフ連鎖モンテカルロ法または重要度サンプリング法は、完全な事後密度をモデル化します。 ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$${\displaystyle p(x_{0},x_{1},...,x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$

粒子法では多くの場合、次のような仮定が立てられ、観測結果は次のような形式でモデル化できます。 ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Y_{k}}$

• ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$は、遷移確率密度に従って進化する（ある に対して）上のマルコフ過程である。このモデルは、次のように合成的に記述されることも多い。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}}}$${\displaystyle d_{x}\geqslant 1}$${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$

  ${\displaystyle X_{k}|X_{k-1}=x_{k}\sim p(x_{k}|x_{k-1})}$

初期確率密度 を持つ。${\displaystyle p(x_{0})}$

• 観測値は（ある に対して） 上の何らかの状態空間で値を取り、 が既知であれば条件付きで独立である。言い換えれば、それぞれはのみに依存する。さらに、与えられたに対する条件付き分布が絶対連続であると仮定し、合成的に次のように表される。 ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\cdots }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{y}}}$${\displaystyle d_{y}\geqslant 1}$${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle X_{k}=x_{k}}$

  ${\displaystyle Y_{k}|X_{k}=y_{k}\sim p(y_{k}|x_{k})}$

これらのプロパティを持つシステムの例は次のとおりです。

${\displaystyle X_{k}=g(X_{k-1})+W_{k-1}}$

${\displaystyle Y_{k}=h(X_{k})+V_{k}}$

ここで、と は両方とも既知の確率密度関数を持つ相互に独立したシーケンスであり、gとh は既知の関数です。これらの 2 つの方程式は状態空間方程式として見ることができ、カルマン フィルタの状態空間方程式に似ています。上記の例の関数gとh が線形で、 と が両方ともガウス分布である場合、カルマン フィルタは正確なベイズ フィルタリング分布を見つけます。そうでない場合、カルマン フィルタ ベースの方法は、1 次近似 ( EKF ) または 2 次近似 (一般にUKFですが、確率分布がガウス分布の場合は 3 次近似が可能です) になります。 ${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle V_{k}}$

ルベーグ測度では、初期分布とマルコフ連鎖の遷移が連続的であるという仮定は緩和できます。粒子フィルタを設計するには、マルコフ連鎖の遷移をサンプリングできると仮定し、尤度関数を計算すればよいだけです(たとえば、以下に示す粒子フィルタの遺伝子選択突然変異の説明を参照してください)。マルコフ遷移の連続仮定は、条件付き密度のベイズ則を使用して、事後分布間の異なる式を非公式 (かなり乱用的) な方法で導出するためにのみ使用されます。 ${\displaystyle X_{k-1}\to X_{k}}$${\displaystyle X_{k},}$${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$${\displaystyle X_{k}}$

特定の問題では、信号のランダムな状態を与えられた観測値の条件付き分布は密度を持たない可能性がある。後者は計算不可能または複雑すぎる可能性がある。^[19]このような状況では、追加の近似レベルが必要になる。1つの戦略は、信号をマルコフ連鎖に置き換え、次の形式の仮想観測を導入することで ある。${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{k}=Y_{k}+\epsilon {\mathcal {V}}_{k}\quad {\mbox{あるパラメータに対して}}\quad \epsilon \in [0,1]}$

既知の確率密度関数を持つ独立確率変数の列に対して、中心となる考え方は次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{法則}}\left(X_{k}|{\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k}\right)\approx _{\epsilon \downarrow 0}{\text{法則}}\left(X_{k}|Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{k}=y_{k}\right)}$

部分観測が与えられたマルコフ過程に関連する粒子フィルタは、明らかに乱用的な表記で与えられる尤度関数で に進化する粒子によって定義されます。これらの確率的手法は、近似ベイズ計算(ABC)と密接に関連しています。粒子フィルタの文脈では、これらの ABC 粒子フィルタリング手法は、1998 年に P. Del Moral、J. Jacod、P. Protter によって導入されました。^[65]これらは、P. Del Moral、A. Doucet、A. Jasra によってさらに開発されました。^{[66] [67]}${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}+d_{y}}}$${\displaystyle p({\mathcal {Y}}_{k}|{\mathcal {X}}_{k})}$

条件付き確率に関するベイズの規則は次のようになります。

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})}{p(y_{0},\cdots ,y_{k})}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p(y_{0},\cdots ,y_{k})&=\int p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})dx_{0}\cdots dx_{k}\\p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})&=\prod _{l=0}^{k}p(y_{l}|x_{l})\\p(x_{0},\cdots ,x_{k})&=p_{0}(x_{0})\prod _{l=1}^{k}p(x_{l}|x_{l-1})\end{aligned}}}$

粒子フィルタも近似値であるが、十分な粒子があればより正確な値が得られる。^{[2] [4] [5] [49] [50]}非線形フィルタリング方程式は再帰式で与えられる。

k = 0の規則に従います。非線形フィルタリングの問題は、これらの条件付き分布を順番に計算することです。 ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=p(x_{0})}$

時間範囲 n と観測シーケンスを固定し、各k = 0, ..., nに対して次のように設定します。 ${\displaystyle Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{n}=y_{n}}$

${\displaystyle G_{k}(x_{k})=p(y_{k}|x_{k}).}$

この表記では、原点k = 0から時刻k = nまでの軌道の集合上の任意の有界関数Fに対して、ファインマン-カックの公式が成り立ちます。 ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}&={\frac {\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})\left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}{\int \left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}}\\&={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}\end{aligned}}}$

ファインマン-カック経路統合モデルは、計算物理学、生物学、情報理論、コンピュータサイエンスなど、さまざまな科学分野で登場しています。^{[8] [10] [5]}これらの解釈は、アプリケーションドメインに依存します。たとえば、状態空間のサブセットの指標関数を選択した場合、それらは、特定のチューブ内に留まるマルコフ連鎖の条件付き分布を表します。つまり、次のようになります。 ${\displaystyle G_{n}(x_{n})=1_{A}(x_{n})}$

${\displaystyle E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})|X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}}$

そして

${\displaystyle P\left(X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)=E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}$

正規化定数が厳密に正であれば。

最初に、このようなアルゴリズムは、共通の確率密度を持つN個の独立したランダム変数から始まる。遺伝的アルゴリズムの選択突然変異遷移^{[2] [4]}${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$${\displaystyle p(x_{0})}$

${\displaystyle \xi _{k}:=\left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{selection}}{\longrightarrow }}{\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{mutation}}{\longrightarrow }}\xi _{k+1}:=\left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

最適フィルタ進化の更新予測遷移を模倣/近似する（式1）：

• 選択更新遷移中に、共通の（条件付き）分布を持つN個の（条件付き）独立ランダム変数をサンプリングする。${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

ここで、は与えられた状態 a における ディラック測度を表します。${\displaystyle \delta _{a}}$

• 突然変異予測遷移の間、選択された各粒子から独立して遷移をサンプリングする。${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\longrightarrow \xi _{k+1}^{i}\sim p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i}),\qquad i=1,\cdots ,N.}$

上記の式では、 は で評価された尤度関数を表し、は で評価された条件付き密度を表します。 ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i})}$${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$${\displaystyle x_{k}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

各時刻kにおいて、粒子近似は次のようになる。

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

そして

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

遺伝的アルゴリズムと進化的コンピューティングのコミュニティでは、上記の突然変異選択マルコフ連鎖は、比例選択を伴う遺伝的アルゴリズムと呼ばれることが多い。論文では、ランダムな集団サイズを含むいくつかの分岐バリアントも提案されている。^{[5] [45] [48]}

粒子法は、他のすべてのサンプリングベースのアプローチ（例えば、マルコフ連鎖モンテカルロ）と同様に、フィルタリング密度を近似するサンプルのセットを生成する。

${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}).}$

たとえば、の近似事後分布からN 個のサンプルを取得するとします。ここで、サンプルには次のように上付き文字のラベルが付けられます。 ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{1},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k}^{N}.}$

そして、フィルタリング分布に関する期待値は次のように近似される。

と

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

ここで、は与えられた状態aにおけるディラック測度を表す。モンテカルロ法の通常の方法と同様に、関数fは、ある程度の近似誤差を除けば、分布のすべてのモーメントなどを与えることができる。近似方程式（式2 ）が任意の有界関数fに対して満たされるとき、次のように書くこと ができる。${\displaystyle \delta _{a}}$

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k}\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

粒子フィルタは、突然変異と選択の遷移とともに進化する遺伝的粒子アルゴリズムとして解釈できます。祖先の系統を追跡することができます。

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$

粒子の。下側のインデックスl=0,...,kを持つランダム状態は、レベルl=0,...,kの個体の祖先を表す。この状況では、近似式は次のようになる。 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{l,k}^{i}}$${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

経験的尺度で

${\displaystyle {\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))}$

ここでFは信号の経路空間上の任意の基礎関数を表す。より合成的な形式（式3）は次式と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{0}\cdots dx_{k}\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\end{aligned}}}$

粒子フィルタはさまざまな方法で解釈できます。確率論的観点からは、非線形フィルタリング方程式の平均場粒子解釈と一致します。最適なフィルタ進化の更新予測遷移は、個体の古典的な遺伝子型選択-突然変異遷移として解釈することもできます。シーケンシャル重要度再サンプリング技術は、重要度サンプリングとブートストラップ再サンプリングステップを組み合わせたフィルタリング遷移の別の解釈を提供します。最後に、粒子フィルタはリサイクルメカニズムを備えた受け入れ拒否方法論と見なすことができます。^{[10] [5]}

非線形フィルタリングの進化は、確率分布の集合からそれ自身への写像を表す形の確率測度の集合における動的システムとして解釈することができる。例えば、1ステップ最適予測子の進化は、${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)}$${\displaystyle \Phi _{n+1}}$${\displaystyle \eta _{n}(dx_{n})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})dx_{n}}$

は確率分布から始まる非線形発展を満たす。これらの確率測度を近似する最も簡単な方法の1つは、共通の確率分布を持つ N個の独立したランダム変数から始めることである。次のように N個のランダム変数の列を定義したとしよう。${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$${\displaystyle \left(\xi _{n}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})\approx _{N\uparrow \infty }\eta _{n}(dx_{n})}$

次のステップでは、共通法則に従ってN 個の（条件付き）独立したランダム変数をサンプリングします。 ${\displaystyle \xi _{n+1}:=\left(\xi _{n+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}\right)\approx _{N\uparrow \infty }\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$

この平均場粒子原理を、1ステップ最適予測子の進化の文脈で説明する。

k = 0の場合、規則 を使用します。 ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1}):=p(x_{0})}$

大数の法則によれば、

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{0}^{i}}(dx_{0})\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{0})dx_{0}}$

という意味で

${\displaystyle \int f(x_{0}){\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{0}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{0})p(dx_{0})dx_{0}}$

任意の有界関数に対して。さらに、あるランクkの粒子の列を構築し、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }~p(x_{k}~|~y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

任意の有界 関数に対して、${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{k}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

この状況では、 （式4 ）で述べた1ステップ最適フィルタの発展方程式の経験的尺度を置き換えると、次の式が得られる。 ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

${\displaystyle p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}}$

上記の式の右側の項は重み付き確率混合であることに注意する。

${\displaystyle \int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})=:{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

ここで はにおける密度、 はにおける密度を表します。${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})}$${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle i=1,\cdots ,N.}$

次に、共通の確率密度を持つN個の独立したランダム変数をサンプリングし 、 ${\displaystyle \left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$${\displaystyle {\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k+1}^{i}}(dx_{k+1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}}$

この手順を繰り返して、次のようなマルコフ連鎖を設計します。

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

最適なフィルタは、ベイズの公式を使用して各時間ステップkで近似されることに注意してください。

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x'_{k}){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}~\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

「平均場近似」という用語は、各時間ステップで確率測度を経験的近似に置き換えるという事実に由来しています。フィルタリング問題の平均場粒子近似は、決して唯一のものではありません。書籍ではいくつかの戦略が開発されています。^{[10] [5]}${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

粒子フィルタの収束の解析は1996年に^{[2] [4]}、2000年に書籍^[8]と一連の論文[48]で開始された。^{[49] [ 50 ] [51] [52] [68] [69]}最近の開発については書籍^{[10] [5]}に記載されている。フィルタリング方程式が安定している場合（誤った初期条件を修正するという意味）、粒子推定値のバイアスと分散は

${\displaystyle I_{k}(f):=\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}(f):=\int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

非漸近一様推定値によって制御される

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}\left\vert E\left({\widehat {I}}_{k}(f)\right)-I_{k}(f)\right\vert \leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{N}}}$

1で制限される任意の関数fといくつかの有限定数に対して さらに、任意のに対して: ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {x\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

漸近的バイアスと粒子推定値の分散に関連するいくつかの有限定数と、いくつかの有限定数c。1ステップの最適予測子を最適フィルタ近似に置き換えても、同じ結果が得られます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

祖先の系譜を遡る

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right),\quad \left(\xi _{0,k}^{i},\xi _{1,k}^{i},\cdots ,\xi _{k-1,k}^{i},\xi _{k,k}^{i}\right)}$

個体の、そして各時間ステップkにおいて、粒子近似も得られる。 ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\left(={\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$${\displaystyle \xi _{k}^{i}\left(={\xi }_{k,k}^{i}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\ \\{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{0},\cdots ,dx_{k}\end{aligned}}}$

これらの経験的近似は粒子積分近似と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\ \\\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\end{aligned}}}$

信号のランダム軌道上の任意の有界関数Fに対して。 ^[54]に示されているように、系図の進化は、信号軌道の事後密度に関連する進化方程式の平均場粒子解釈と一致しています。これらのパス空間モデルの詳細については、書籍を参照してください。^{[10] [5]}

我々は製品式を使用する

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

と

${\displaystyle p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

慣例とk = 0の場合。経験的近似 に置き換えると${\displaystyle p(y_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(y_{0})}$${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(x_{0}),}$${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

上記の式では、尤度関数の次の不偏粒子近似を設計する。

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}{\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

と

${\displaystyle {\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$

ここで はで評価された密度を表します。この粒子推定の設計と不偏性は、1996年に論文^{[2]で証明されました。改良された分散推定は[5]}と^[10]に記載されています。${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$

ベイズの定理を用いると、次の式が得られる。

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})p(x_{n-1}|x_{n},y_{0},\cdots ,y_{n-1})\cdots p(x_{1}|x_{2},y_{0},y_{1})p(x_{0}|x_{1},y_{0})}$

注意してください

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\propto p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1})&\propto p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})\end{aligned}}}$

これは、

${\displaystyle p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})p(x_{k}|x'_{k-1})p(x'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})dx'_{k-1}}}}$

1ステップの最適予測子を粒子経験的尺度に置き換える${\displaystyle p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\left(\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})):={p}(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}\right)}$

私たちは、

${\displaystyle {\begin{aligned}p(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\&:={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1}){\widehat {p}}(dx_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})~p(x_{k}|x'_{k-1}){\widehat {p}}(dx'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{i})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{j})}}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\end{aligned}}}$

我々は次のように結論づける。

${\displaystyle p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

後方粒子近似を用いると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{1}|x_{2},(y_{0},y_{1})){\widehat {p}}(dx_{0}|x_{1},y_{0})\end{aligned}}}$

確率の測定

${\displaystyle {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

は、時間k=nから時間k=0まで逆方向に進み、粒子の集団に関連付けられた状態空間で各時間ステップkで進化するマルコフ連鎖のランダムパスの確率である。${\displaystyle \left(\mathbb {X} _{k,n}^{\flat }\right)_{0\leqslant k\leqslant n}}$${\displaystyle \xi _{k}^{i},i=1,\cdots ,N.}$

• 最初に（k=nの時点で）、チェーンは分布に従ってランダムに状態を​​選択する。${\displaystyle \mathbb {X} _{n,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})}$

• 時刻kから時刻(k-1)まで、時刻kにある状態から始まる連鎖は、時刻(k-1)に離散重み付き確率で選択されたランダムな状態に移動する。${\displaystyle \mathbb {X} _{k,n}^{\flat }=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle \mathbb {X} _{k-1,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))=\sum _{j=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum _{l=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})}}~\delta _{\xi _{k-1}^{j}}(dx_{k-1})}$

上記の式では、は で評価された 条件付き分布を表します。同様に、はで評価された条件付き密度と を表します。これらのモデルにより、上で説明した連鎖のマルコフ遷移に関する行列演算によって、密度に関する積分を減らすことができます。 ^[55]たとえば、任意の関数について、粒子推定値が得られます 。${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}$${\displaystyle p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}$${\displaystyle p(y_{k-1}|x_{k-1})}$${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$${\displaystyle x_{k-1}=\xi _{k-1}^{j}.}$${\displaystyle p((x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})&|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&=\int {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k+1},(y_{0},\cdots ,y_{k}))f_{k}(x_{k})\\&=\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbb {M} _{k}=(\mathbb {M} _{k}(i,j))_{1\leqslant i,j\leqslant N}:\qquad \mathbb {M} _{k}(i,j)={\frac {p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})~p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum \limits _{l=1}^{N}p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})}}}$

これはまた、もし

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x_{k})}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\\&={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\mathbb {M} _{n-2}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

フィルタリング方程式は、誤った初期条件を修正するという意味において安定していると仮定します。

この状況では、尤度関数の粒子近似は不偏であり、相対分散は

${\displaystyle E\left({\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})\right)=p(y_{0},\cdots ,y_{n}),\qquad E\left(\left[{\frac {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}{p(y_{0},\cdots ,y_{n})}}-1\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {cn}{N}},}$

ある有限定数cに対して。さらに、任意の に対して: ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\vert {\frac {1}{n}}\log {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}-{\frac {1}{n}}\log {p(y_{0},\cdots ,y_{n})}\right\vert \leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

粒子推定値の漸近的バイアスと分散に関連するいくつかの有限定数、およびいくつかの有限定数c。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

系図の祖先系統に基づく粒子推定値のバイアスと分散

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{k}^{path}(F)&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\\&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\end{aligned}}}$

非漸近一様推定値によって制御される

${\displaystyle \left|E\left({\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\right)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant {\frac {c_{1}k}{N}},\qquad E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}k}{N}},}$

1で制限される任意の関数Fといくつかの有限定数に対してさらに、任意のに対して: ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c_{1}{\frac {kx}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {kx}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {xn\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

漸近的バイアスと粒子推定値の分散に関連する有限定数と有限定数cについて。同じタイプのバイアスと分散の推定が、後方粒子スムーザーにも当てはまります。次の形式の加法関数について ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{0\leqslant k\leqslant n}f_{k}(x_{k})}$

と

${\displaystyle I_{n}^{path}({\overline {F}})\approx _{N\uparrow \infty }I_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}}):=\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

1で制限される関数の場合、 ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \sup _{n\geqslant 0}{\left\vert E\left({\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}})\right)-I_{n}^{path}({\overline {F}})\right\vert }\leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

そして

${\displaystyle E\left(\left[{\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}(F)-I_{n}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{nN}}+{\frac {c_{3}}{N^{2}}}}$

いくつかの有限定数については、指数関数的に小さい誤差の確率を含むより洗練された推定値が開発されている。^[10]${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}.}$

逐次重要度再サンプリング（SIR）、モンテカルロフィルタリング（Kitagawa 1993 ^[35]）、ブートストラップフィルタリングアルゴリズム（Gordon et al. 1993 ^[37]）、および単一分布再サンプリング（Bejuri WMYB et al. 2017 ^[70]）も一般的に適用されるフィルタリングアルゴリズムであり、フィルタリング確率密度を重み付きNサンプル セットで近似する。${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle \left\{\left(w_{k}^{(i)},x_{k}^{(i)}\right)\ :\ i\in \{1,\cdots ,N\}\right\}.}$

重要度の重み は、サンプルの相対的な事後確率（または密度）の近似値であり、 ${\displaystyle w_{k}^{(i)}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}=1.}$

逐次重要度サンプリング（SIS）は、重要度サンプリングの逐次的（再帰的）バージョンである。重要度サンプリングと同様に、関数fの期待値は加重平均として近似できる。

${\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})dx_{k}\approx \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}f(x_{k}^{(i)}).}$

有限のサンプルセットの場合、アルゴリズムのパフォーマンスは提案分布の選択に依存する。

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})\,}$。

「最適な」提案分布は目標分布として与えられる

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})={\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}~p(x_{k}|x_{k-1}).}$

この特定の提案遷移の選択は、1996年と1998年にP.デルモラルによって提案されました。^[4]分布に従って遷移をサンプリングすることが難しい場合、 1つの自然な戦略は次の粒子近似を使用することです。 ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}&\simeq _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})}}{\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|X_{k}^{i}(x_{k-1}))}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|X_{k}^{j}(x_{k-1}))}}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})\end{aligned}}}$

経験的近似値

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})~\simeq _{N\uparrow \infty }p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}$

与えられたランダム状態の条件付き分布を持つN個（または任意の多数のサンプル）の独立したランダムサンプルに関連付けられます。この近似の結果として得られる粒子フィルタの一貫性と他の拡張はで開発されています。^[4]上記の表示では、与えられた状態aでのディラック測度を表します。 ${\displaystyle X_{k}^{i}(x_{k-1}),i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k-1}=x_{k-1}}$${\displaystyle \delta _{a}}$

ただし、遷移事前確率分布は、粒子（またはサンプル）を描画し、その後の重要度重み計算を実行する方が簡単なため、重要度関数としてよく使用されます。

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1}).}$

遷移事前確率分布を重要度関数として使用する SIR ( Sequential Importance Resampling ) フィルターは、一般にブートストラップ フィルターや凝縮アルゴリズムとして知られています。

再サンプリングは、アルゴリズムの退化の問題を回避するために、つまり、1つを除いてすべての重要度の重みがゼロに近づく状況を回避するために使用されます。アルゴリズムのパフォーマンスは、再サンプリング方法の適切な選択によっても影響を受ける可能性があります。Kitagawa （1993 ^{[35] ）によって提案された}層別サンプリングは、分散の点で最適です。

順次重要度再サンプリングの 1 つのステップは次のとおりです。

1)提案配布からの抽出サンプル${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle x_{k}^{(i)}\sim \pi (x_{k}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}$

2)重要度の重みを正規化定数まで更新します。 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}{\frac {p(y_{k}|x_{k}^{(i)})p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}}.}$

遷移事前確率分布を重要度関数として使用する場合、

${\displaystyle \pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})=p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)}),}$

これを簡略化すると次のようになります。

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(y_{k}|x_{k}^{(i)}),}$

3)正規化された重要度の重みを計算するには、 ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle w_{k}^{(i)}={\frac {{\hat {w}}_{k}^{(i)}}{\sum _{j=1}^{N}{\hat {w}}_{k}^{(j)}}}}$

4) 有効粒子数の推定値を次のように計算する。

${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}\left(w_{k}^{(i)}\right)^{2}}}}$

この基準は重みの分散を反映しています。その他の基準については、厳密な分析や中心極限定理など、論文^{[6]に記載されています。}

5) 有効な粒子数が指定されたしきい値より少ない場合は、再サンプリングを実行します。 ${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}<N_{thr}}$

a)現在の粒子セットから、重みに比例した確率でN 個の粒子を抽出します。現在の粒子セットをこの新しい粒子セットに置き換えます。

b)セットの場合${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$${\displaystyle w_{k}^{(i)}=1/N.}$

SIRフィルタを指すときに「サンプリング・インポータンス・リサンプリング」という用語も時々使用されるが、 「リサンプリング」という言葉は最初のサンプリングがすでに行われていることを意味するため、「インポータンス・リサンプリング」という用語の方が正確である。^[71]

• 順次重要度再サンプリングと同じですが、再サンプリング段階はありません。

「直接バージョン」アルゴリズム^{[引用が必要]は、他の粒子フィルタリングアルゴリズムと比較してかなり単純であり、合成と拒否を使用します}。kで単一のサンプルx を生成するには、 次の操作を行います。${\displaystyle p_{x_{k}|y_{1:k}}(x|y_{1:k})}$

1) n = 0を設定します(これにより、これまでに生成された粒子の数をカウントします)

2)範囲からインデックスiを一様に選択する${\displaystyle \{1,...,N\}}$

3)分布からテストを生成する${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$${\displaystyle x_{k-1}=x_{k-1|k-1}^{(i)}}$

4)測定値がどこからの確率を生成するか${\displaystyle {\hat {y}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle p(y_{k}|x_{k}),~{\mbox{with}}~x_{k}={\hat {x}}}$${\displaystyle y_{k}}$

5) 別の均一なuを生成する。${\displaystyle [0,m_{k}]}$${\displaystyle m_{k}=\sup _{x_{k}}p(y_{k}|x_{k})}$

6) uと${\displaystyle p\left({\hat {y}}\right)}$

6a) uが大きい場合は手順2から繰り返します

6b) uが小さい場合は名前を付けて保存し、nを増分する${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle x_{k|k}^{(i)}}$

7) n == Nの場合は終了する

目標は、からの粒子のみを使用して、kに P 個の「粒子」を生成することです。そのためには、 のみに基づいてを生成するマルコフ方程式を記述 (および計算) できる必要があります。このアルゴリズムは、 からの P 個の粒子の構成を使用してkに粒子を生成し、 kに P 個の粒子が生成されるまで (手順 2 ～ 6) を繰り返します。 ${\displaystyle k-1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{k-1}}$${\displaystyle k-1}$

x を2 次元配列として見ると、これをより簡単に視覚化できます。1 つの次元はkで、もう 1 つの次元は粒子番号です。たとえば、は におけるi^番目の粒子であり、 と書くこともできます(上記のアルゴリズムで行ったように)。ステップ 3 では、時刻におけるランダムに選択された粒子 ( )に基づいてポテンシャルを生成し、ステップ 6 でそれを拒否または受け入れます。つまり、値は、以前に生成された を使用して生成されます。 ${\displaystyle x(k,i)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{k-1}^{(i)}}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{k-1}}$

粒子フィルタとファインマン-カック粒子法は、次のようなノイズの多い観測や強い非線形性に対処するための効果的な手段として、さまざまな状況で応用されています。

• ベイズ推論、機械学習、リスク分析、稀少イベントサンプリング
• バイオインフォマティクス^[19]
• 計算科学
• 経済学、金融数学、数理ファイナンス：粒子フィルタは、マクロ経済学やオプション価格設定における動的確率一般均衡モデルなどの問題に関連する高次元および/または複雑な積分を計算するために必要なシミュレーションを実行できます^[72]
• エンジニアリング
• 感染症疫学では、季節性インフルエンザの流行予測など、多くの流行予測問題に適用されている^[73]
• 障害検出と分離：オブザーバーベースのスキーマでは、粒子フィルタは予想されるセンサー出力を予測し、障害の分離を可能にする^{[74] [75] [76]}
• 分子化学と計算物理学
• 薬物動態^[77]
• 系統学
• ロボット工学、人工知能：モンテカルロ法は移動ロボットの位置推定における事実上の標準である^{[78] [79] [80]}
• 信号と画像処理：視覚的位置特定、追跡、特徴認識^[81]

• 補助粒子フィルタ^[82]
• コスト参照粒子フィルター
• 指数関数的自然粒子フィルタ^[83]
• ファインマン-カック法と平均場粒子法^{[2] [10] [5]}
• ガウス粒子フィルタ
• ガウス・エルミート粒子フィルター
• 階層的/スケーラブル粒子フィルタ^[84]
• ナッジ粒子フィルタ^[85]
• 粒子マルコフ連鎖モンテカルロ法については、擬似周辺メトロポリス-ヘイスティングスアルゴリズムなどを参照してください。
• ラオ・ブラックウェル粒子フィルタ^[53]
• 正規化された補助粒子フィルタ^[86]
• 拒否サンプリングに基づく最適粒子フィルタ^{[87] [88]}
• 無香料粒子フィルター

• アンサンブルカルマンフィルタ
• 一般的なフィルタリング
• 遺伝的アルゴリズム
• 平均場粒子法
• モンテカルロローカリゼーション
• 移動地平線推定
• 再帰ベイズ推定

• Del Moral, Pierre (1996). 「非線形フィルタリング: 相互作用粒子解法」(PDF) .マルコフ過程と関連分野. 2 (4): 555–580. 2016-03-04 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015-05-31に取得。
• デル モラル、ピエール (2004)。ファインマン-カック公式。系譜的および相互作用粒子近似。シュプリンガー。p. 575。「シリーズ: 確率と応用」
• デル・モラル、ピエール (2013)。モンテカルロ積分の平均場シミュレーション。チャップマン＆ホール/CRC プレス。p. 626。「統計と応用確率に関するモノグラフ」
• Cappe, O.; Moulines, E.; Ryden, T. (2005).隠れマルコフモデルにおける推論. Springer.
• Liu, JS; Chen, R. (1998). 「動的システムのための逐次モンテカルロ法」(PDF) .アメリカ統計学会誌. 93 (443): 1032–1044. doi :10.1080/01621459.1998.10473765.
• Liu, JS (2001).科学計算におけるモンテカルロ戦略. Springer.
• Kong, A.; Liu, JS; Wong, WH (1994). 「逐次代入とベイズ欠損データ問題」(PDF) .アメリカ統計学会誌. 89 (425): 278–288. doi :10.1080/01621459.1994.10476469.
• Liu, JS; Chen, R. (1995). 「シーケンシャル代入によるブラインドデコンボリューション」(PDF) .アメリカ統計学会誌. 90 (430): 567–576. doi :10.2307/2291068. JSTOR  2291068.
• Ristic, B.; Arulampalam, S.; Gordon, N. (2004).カルマン フィルタを超えて: 追跡アプリケーション用の粒子フィルタ。Artech House。
• Doucet, A.; Johansen, AM (2008 年 12 月)。「粒子フィルタリングとスムージングに関するチュートリアル: 15 年後」(PDF)。技術レポート。
• Doucet, A.; Godsill, S.; Andrieu, C. (2000). 「ベイジアンフィルタリングのための逐次モンテカルロサンプリング法について」.統計とコンピューティング. 10 (3): 197–208. doi :10.1023/A:1008935410038. S2CID  16288401.
• Arulampalam, MS; Maskell, S.; Gordon, N.; Clapp, T. (2002). 「オンライン非線形/非ガウスベイジアントラッキングのための粒子フィルタに関するチュートリアル」. IEEE Transactions on Signal Processing . 50 (2): 174–188. Bibcode :2002ITSP...50..174A. CiteSeerX  10.1.1.471.8617 . doi :10.1109/78.978374. S2CID  55577025.
• Cappe, O.; Godsill, S.; Moulines, E. (2007). 「シーケンシャルモンテカルロにおける既存の方法と最近の進歩の概要」。Proceedings of the IEEE . 95 (5): 899–924. doi :10.1109/JPROC.2007.893250. S2CID  3081664。
• Kitagawa, G. (1996). 「非ガウス非線形状態空間モデルのためのモンテカルロフィルタとスムーザ」.計算およびグラフィカル統計ジャーナル. 5 (1): 1–25. doi :10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
• Kotecha, JH; Djuric, P. (2003). 「ガウス粒子フィルタリング」. IEEE Transactions on Signal Processing . 51 (10).
• Haug, AJ (2005). 「非線形および非ガウス過程に適用可能なベイズ推定および追跡手法のチュートリアル」(PDF)。The MITRE Corporation、米国、Tech. Rep.、2005 年 2 月。2021年 12 月 22 日時点のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2021年 12 月 22 日閲覧。
• Pitt, MK; Shephard, N. (1999). 「シミュレーションによるフィルタリング: 補助粒子フィルタ」. Journal of the American Statistical Association . 94 (446): 590–591. doi :10.2307/2670179. JSTOR  2670179. 2007-10-16 にオリジナルからアーカイブ。2008-05-06に取得。
• Gordon, NJ; Salmond, DJ; Smith, AFM (1993). 「非線形/非ガウスベイズ状態推定への新しいアプローチ」IEE Proceedings F - レーダーおよび信号処理. 140 (2): 107–113. doi :10.1049/ip-f-2.1993.0015.
• Chen, Z. (2003). 「ベイジアンフィルタリング: カルマンフィルタからパーティクルフィルタまで、そしてその先へ」CiteSeerX  10.1.1.107.7415 . {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です
• Vaswani, N. ; Rathi, Y.; Yezzi, A.; Tannenbaum, A. (2007). 「幾何学的動的輪郭のための粒子フィルタリングを使用した変形オブジェクトの追跡」. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 29 (8): 1470–1475. doi :10.1109/tpami.2007.1081. PMC  3663080. PMID  17568149 .