フーリエ正弦・余弦級数

数学、特に微積分とフーリエ解析の分野において、フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数は、ジョセフ・フーリエにちなんで名付けられた2 つの数学級数です。

この記事では、f は周期 2 Lで周期的な実数値関数を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

f が周期 の奇関数である場合、 fのフーリエ半範囲正弦級数は と定義されます。 これは、と がゼロであるという点のみが異なる完全フーリエ級数 の一種であり、級数は区間の半分に対して定義されます。 ${\displaystyle 2L}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{n}}$

式では $${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx,\quad n\in \mathbb {N} .}$$

fが周期 の偶関数である場合、フーリエ余弦級数は次のように定義される 。ここで ${\displaystyle 2L}$$${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$$

この概念は偶数でも奇数でもない関数に一般化できますが、その場合上記の式は異なって見えます。

• フーリエ級数
• フーリエ解析
• 最小二乗スペクトル解析

• バイアリー、ウィリアム エルウッド (1893)。「第 2 章: 三角級数の展開」。フーリエ級数に関する初等論文: 球面、円筒、楕円体の調和関数と数理物理学の問題への応用(第 2 版)。Ginn。30 ページ。
• Carslaw, Horatio Scott (1921)。「第 7 章: フーリエ級数」。フーリエ級数と積分の理論入門、第 1 巻(第 2 版)。Macmillan and Company。196 ページ。